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5.3.1函数的单调性
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.会用导数求函数的单调区间.
一、函数的单调性
函数单调性的判定方法：
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
注意：
①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
二、求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
三、函数在区间上单调与求函数单调区间
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
考点01 函数与导函数图象间的关系
1．函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解.
【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为，
当，，当，,
当，，当，，
所以在区间，单调递减，故A、C错误；
在区间,单调递增，故B错误，故D正确.
故选：D.
2．的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
3．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.
【详解】由函数的图象可知当或时，；
当时，，
等价于或，
故不等式的解集为，
故选：A
4．已知三次函数的图象如图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（ ）

A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】分、讨论结合导函数和原函数图象的关系可得答案.
【详解】有图可知，所以即解，
当时得，函数是单调递增函数，故满足条件的为，
当时，，函数是单调递减函数，故满足条件的为.
所以综合可得的解集为或.
故选：D.
【点睛】方法点睛：导函数大于零则原函数递增，导函数小于零则原函数递减，本题考查导函数与原函数的关系.
5．（多选）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小可得答案．
【详解】从导函数的图象可知两个函数在处切线斜率相同，可以排除C，
再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出的导函数的值在减小，
∴原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A，
选项BD中的图象，都符合题意.
故选:BD．
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．

【答案】
【分析】根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案.
【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，当时，；当时，；当时，；当时，.
当时，由可得，此时；
当时，由可得，此时.
综上所述，解集为.
故答案为：.
考点02 求不含参函数的单调区间
7．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出导函数，由得减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，由得，∴减区间为，
故选：A．
8．函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对求导后，解不等式即可.
【详解】因为(),
所以,
令,解得：,
故函数()的单调增区间是 .
故选：B.
9．函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【答案】A
【分析】运用导数求解.
【详解】函数的导数 ，由得，
即，
所以函数的单调递减区间为；
故选：A.
10．函数在上的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】求的导数，由，即可求得答案.
【详解】，令得：，
.
，函数的单调递增区间为.
故答案为：
11．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
【分析】（1）由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程；
（2）按步骤利用导数求函数的单调区间.
【详解】（1）由，的定义域为.
则，
所以，又，
所以在点处的切线方程为.
（2），
由，得，或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递增区间为；
单调递减区间为.
12．求函数的单调区间．
【答案】的单调递增区间为和，单调递减区间为
【分析】利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为.
．
令，则，解得，或．
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
考点03 利用单调性比较大小或解不等式
13．已知，，（其中e为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造，由导数求得最大值为，然后用作差法比较，的大小即可.
【详解】设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，，中最大.
又，所以，.
故选：B.
14．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数研究其单调性，运用函数单调性比较大小即可.
【详解】易知，，，
令，
则，
，
所以在上单调递减，
又因为，
所以，即．
故选：D.
15．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，根据函数的单调性求解.
【详解】只需比较，，的大小；令，则 ，
当时， 单调递减，当时 单调递增，
又，故 ，即；
故选：A.
16．已知函数是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，求导后得，由在上为增函数，所以，从而在上为增函数，又由，从而可求解.
【详解】由题意知在上为增函数，所以恒成立，
构造函数，所以恒成立，
所以在上单调递增，又因为，
所以当时，，即，
所以的解集为.
故答案为：.
17．已知函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得函数为增函数，且为奇函数，进而可由得，解得答案.
【详解】函数，定义域为，
函数恒成立，
故函数为增函数，
又由，
故函数为奇函数，
，
则，
解得：.
故选：C.
18．已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为
【答案】
【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式.
【详解】由得，，
所以在上为减函数，
由得， 解得或.
故答案为：
19．设，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】定义法判断奇偶性，利用导数研究单调性，结合奇偶性、单调性解不等式.
【详解】，函数定义域为R，
由，为奇函数，
，则有，
，在R上为增函数，
所以，可得.
故答案为：
考点04 已知函数的单调区间求参数
20．若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数的定义域为，，
要使函数恰有三个单调区间，
则有两个不相等的实数根，∴，解得且，
故实数a的取值范围为，
故选：C.
21．若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】求导得到导函数，确定，1是的两根，解得答案.
【详解】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
22．若函数的单调递减区间为，实数 ．
【答案】
【分析】求出导函数，先排除，当时求出函数的单调区间，结合函数的单调递减区间为可得答案.
【详解】的定义域为．．
若，，所以的单调增区间为，无单调减区间，不合题意．
若，令，得．
当时，有；当时，有．
所以的单调增区间为，单调减区间为．
又因为函数的单调递减区间为，所以．
故答案为：2.
23．已知函数的单调递减区间是，则 .
【答案】
【分析】求导，根据函数单调递减区间是，可得为导函数的两个零点，从而可得出答案.
【详解】，
因为函数单调递减区间是，
所以，解得，
则，令，得，
所以函数单调递减区间是，
所以.
故答案为：.
24．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据 求解.
【详解】 ，显然 ，即 ；
故答案为： .
考点05 已知函数在区间上单调求参数
25．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得在上恒成立，分离参数即可得解.
【详解】在上恒成立，即，所以，则的取值范围是.
故选：B.
26．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数在区间上是减函数，转化为，对恒成立求解.
【详解】解：因为函数在区间上是减函数，
所以，对恒成立，
即，对恒成立，
令，由对勾函数的性质得，
所以，
故选：D
27．已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】借助导数研究函数的单调性并运用充分不必要条件的定义即可得到.
【详解】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，
即在上恒成立，即，
故是的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
28．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是 ．
【答案】
【分析】依题意，在区间上恒成立，分离常数可得实数a的最大值.
【详解】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
即，又，
所以，即实数a的最大值是.
故答案为：
29．若函数在上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】求导，由在[1，4]上单调递减，可得在恒成立，化为，构造函数，求解最大值，求出的范围，再由，求出的范围.
【详解】因为，所以，
因为在[1，4]上单调递减，
所以当时，恒成立，即恒成立．
令，，则，而,
因为，所以，
所以（此时），所以.
又因为，则，
故实数a的取值范围是.
考点06 已知函数在区间上存在单调求参数
30．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导函数小于0在上有解求解即得.
【详解】函数，求导得，
由函数在上存在单调递减区间，得在上有解，
即不等式在上有解，
而函数在上单调递减，当时，，则，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.
31．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
32．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可.
【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则.
故答案为：
33．知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，然后导数在区间上有解即可.
【详解】由题意得的定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立，
即，设，开口向上，对称轴为，
所以当时，单调递增，所以，
所以，则，即.
故答案为：.
34．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，不等式在上有解，等价于在上有解，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：．
考点07 求含参函数的单调区间
35．已知函数.
(1)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解；
（2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间.
【详解】（1）因为，所以的定义域为，
则，
因为在上是增函数，即在上恒成立，
则在上恒成立，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为，所以，则，
所以，则.
（2）由（1）得，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
36．已知函数
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数的几何意义以及导数的运算直线垂直的代数性质即可得解.
（2）首先讨论时的情况，其次若，令，解得，
结合对进行分类讨论即可.
【详解】（1）由题意，若函数在处的切线与直线垂直，
则，解得.
（2）由题意，
所以若，则，
所以此时在定义域内单调递增；
若，令，解得，
若，则当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增；
若，则当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增；
综上所述，若，在定义域内单调递增；
若，则当时， 单调递增，
当时， 单调递减，
当时， 单调递增；
若，则当时， 单调递减，
当时， 单调递增.
37．已知函数，，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间.
【详解】函数的定义域为，
①当，即时，得，则.
∴函数在上为增函数.
②当，即时，令，得，
解得
(ⅰ)若，则，
∵，在或时，；时，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
(ⅱ)若，则，当时，，当时，，
∴函数在上为减函数，在上为增函数.
综上可知，时，函数在上为增函数；
时，函数在，上为增函数，在上为减函数；
时，函数在上为减函数，在上为增函数.
38．已知函数.
(1)若在处的切线垂直于直线，求的方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m的值，即可求得答案；
（2）求出函数导数，分类讨论m的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得；
因为在处的切线垂直于直线，
所以，即，解之得；
又，
所以的方程为，即.
（2）的定义域为，
由（1）得；
所以当时，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令得或，令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令得或，令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
39．已知，判断函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，求得，分类讨论，结合导数的符号，即可求解.
【详解】由函数，可得定义域为，
且，
当时，，则，
令，解得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得或；令，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，；
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，可得或；令，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，.
综述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
40．已知函数，其中，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】，分类讨论的取值范围，利用导数求函数单调区间.
【详解】函数，定义域是，
，
时，时，，时，，的减区间是，增区间是；
时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是；
时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是.
综上所述：时，的减区间是，增区间是；
时，的增区间是和，减区间是；
时，的增区间是，无减区间；
时，的增区间是和，减区间是.
基础过关练
1．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案.
【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；
B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C选项，在上恒成立，
故在上单调递增，C错误；
D选项，令得，，
在上单调递增，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.
故选：D
2．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.
【详解】由的图象可知时，，且的值随x的增大逐渐减小，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，
当时，，且的值随x的增大逐渐增大，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，
结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象，
故选：D
3．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．是的唯一零点 D．在上单调递增
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，求得，得到函数为上单调递增函数，且，可得判定C、D正确；由函数函数，结合函数周期性的定义，可判定B错误.
【详解】对于A中，函数的定义域为，
且，所以为奇函数，所以A正确；
对于B中，由函数，可得，
则为单调递增函数，所以不存在实数，使得，
所以函数一定不时周期函数，所以B错误；
对于C中，由，得到为单调递增函数，
又由，所以函数有唯一的零点，所以C正确；
对于D中，由，得到为上单调递增函数，所以D正确.
故选：B.
4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
5．（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．
【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意；
故选：BC．
6．（多选）已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．
【详解】由题意得，故为偶函数，
而，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
若，则，得，
即，解得
故选：BCD
7．函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.
【详解】函数的定义域为，
，
由得或（因为，故舍去），
所以在区间上单调递增．
故答案为：
8．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】即导函数在在区间内有零点.
【详解】由题意知，
因为在区间上不单调，
即在区间有零点，
又，即为的零点在区间内，
所以解得，即m的取值范围是．
故答案为：
9．王孝通的《缉古算经》是中国现存最早求解三次方程的著作，其中有一个问题是“假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾.上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺……问：龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少？”书中用两个三次方程求解此问题，其中一个方程为，则该方程的解的个数为 .
【答案】1
【分析】求导，得到函数的单调性，利用零点存在定理判断零点所在区间或零点的个数.
【详解】设，
显然在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，即在区间上至多有一个零点，
因为，，即，
由零点存在性定理在区间有且仅有一个零点，即此方程的解的个数为1.
故答案为：1
10．已知函数，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)；
(2)增区间为，；减区间为.
【分析】（1）对函数求导，根据已知求得，再由导数几何意义求切线方程；
（2）由（1）有，求单调区间即可.
【详解】（1）由题设，则，
所以且，则，，
所以点处的切线方程为，即.
（2）由（1），
当，即或，当,即,
故在区间，上递增，在区间上单调递减，
所以的增区间为，；减区间为.
11．已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点.
【答案】证明见解析
【分析】根据给定条件，利用零点的定义构造函数，由导数探讨单调性，再利用零点存在性定理推理即可.
【详解】证明：由，得，令，，
求导得，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递减，
而，，则，
由零点存在性定理可知，函数在上有且只有一个零点，
所以函数在上有且只有一个零点.
12．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由、求导得，由导数的几何意义即可得到结果；
（2）根据题意，求导得，由函数在区间上是单调递减，列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）由，得，
曲线在点处的切线与轴平行，
，解得.
（2）在区间上是减函数，
，则在区间上恒成立，
当时，，
实数的取值范围是.
能力提升练
1．已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，根据余弦函数的单调性，得出，由的单调性即可判断选项.
【详解】因为，所以，
当时，，所以，即，
所以在上单调递减.
因为，是锐角的两个内角，所以，则，
因为在上单调递减，
所以，
故，故D正确.
同理可得，C错误；
而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，
所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.
故选：D
2．已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】A
【分析】设，利用导数研究函数的性质可知在上单调递增，
结合函数的单调性解不等式以及充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】设，则，
令，所以函数在上单调递增.
当时，则，即，充分性成立；
当时，有，得，
所以不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断.
【详解】令，则在上恒成立，
可知在上单调递增，则，
可得，即.
故选：C.
4．（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】CD
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：CD.
5．设函数在定义域上单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合基本不等式求最值即可得解.
【详解】函数定义域为，且，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
因为，当且仅当即时，等号成立，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
6．写出一个同时满足下列三个性质的函数： ．
①的值域为；②；③，．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数值域与单调性可设，，再结合，可得，即可得解析式.
【详解】由，，即函数在上单调递减，
又函数的值域为，
可设，，
又，即，
即，解得，
所以，
故答案为：（答案不唯一）.
7．已知函数，的解集为．
(1)求a，b的值；
(2)若是定义在上的奇函数，且当时，，求不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求导，结合题意可得1和2是方程的两个根，且，进而根据韦达定理即可求解；
（2）先求得时，，结合导数分析其单调性，进而结合奇函数的性质可得函数是在上的单调性，进而转化为，进而利用单调性即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
又的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且，
所以，解得，.
（2）由（1）知，，
由题意，当时，，
则，
所以函数在上单调递增，
又是定义在上的奇函数，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
由，得，
所以，即，
所以不等式的解集为.
8．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）求导数,可得切线斜率,从而可得切线方程.
（2）求导数,分类讨论,利用导数的正负与函数单调性的关系,可得函数单调区间.
【详解】（1）由题得,则
在点处的切线与直线平行,
即
又
曲线在点处的切线为即.
（2）
令得或
（i）当即时,
单调递增 单调递减 单调递增
（ii）当即时,恒成立,
在上单调递增,无单调递减区间.
（iii）当即时,
单调递增 单调递减 单调递增
综上所述,当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；
当时,在上单调递增,无单调递减区间；
当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.5.3.1函数的单调性
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.会用导数求函数的单调区间.
一、函数的单调性
函数单调性的判定方法：
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
注意：
①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
二、求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
三、函数在区间上单调与求函数单调区间
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
考点01 函数与导函数图象间的关系
1．函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
3．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
4．已知三次函数的图象如图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（ ）

A．或 B．
C． D．或
5．（多选）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．

考点02 求不含参函数的单调区间
7．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
10．函数在上的单调递增区间是 .
11．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
12．求函数的单调区间．
考点03 利用单调性比较大小或解不等式
13．已知，，（其中e为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
14．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．已知函数是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为 .
17．已知函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为
19．设，若，则的取值范围是 ．
考点04 已知函数的单调区间求参数
20．若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
22．若函数的单调递减区间为，实数 ．
23．已知函数的单调递减区间是，则 .
24．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 .
考点05 已知函数在区间上单调求参数
25．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是 ．
29．若函数在上单调递减，求实数a的取值范围．
考点06 已知函数在区间上存在单调求参数
30．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
31．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
33．知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为 ．
34．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
考点07 求含参函数的单调区间
35．已知函数.
(1)在上是增函数，求a的取值范围；
(2)讨论函数的单调性．
36．已知函数
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性．
37．已知函数，，讨论函数的单调性.
38．已知函数.
(1)若在处的切线垂直于直线，求的方程；
(2)讨论的单调性.
39．已知，判断函数的单调性.
40．已知函数，其中，讨论的单调性.
基础过关练
1．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
3．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．是的唯一零点 D．在上单调递增
4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．函数的单调递增区间为 ．
8．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
9．王孝通的《缉古算经》是中国现存最早求解三次方程的著作，其中有一个问题是“假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾.上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺……问：龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少？”书中用两个三次方程求解此问题，其中一个方程为，则该方程的解的个数为 .
10．已知函数，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
11．已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点.
12．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
能力提升练
1．已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
3．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
5．设函数在定义域上单调递减，则的取值范围是 .
6．写出一个同时满足下列三个性质的函数： ．
①的值域为；②；③，．
7．已知函数，的解集为．
(1)求a，b的值；
(2)若是定义在上的奇函数，且当时，，求不等式的解集．
8．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程；
(2)讨论函数的单调性.

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