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1.5 数学归纳法7种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.了解数学归纳法原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
知识点01数学归纳法
(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；
②(归纳递推)假设当时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：① P(n0)为真；②若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
注：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
(3)数学归纳法的框图表示
2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【即学即练1】（2024·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
【解析】将代入等式，观察左边最后一项为，则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为 ，
故选：D
【即学即练2】1．（2024下·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数学归纳法的证明过程求解.
【详解】数学归纳法的证明过程如下：
当 时 ，左边 ，原不等式成立；
设当 时，原不等式成立，即 …①成立，
则当 时，左边 ，
即要证明左边 也成立，即证 ，
由①知即证 ；
故选：D.
【即学即练3】（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
故选：C
【即学即练4】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法进行证明，先证成立，再假设当时不等式成立，证得也成立，从而得证.
【详解】当时，左式，右式，显然等式成立，
假设当时，等式成立，即，
则当时，
，
故当时，等式也成立，
所以成立.
题型一：对数学归纳法的理解
数学归纳法的理解
（2024·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4
【解析】当n＝1时，左边的最高次数为1，
即最后一项为a，左边是1＋a，
故选：B.
（2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意得，当时，不等式为．
故选：B．
（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】假设时命题成立，即：被3整除．
当时，
故选：A．
（二）增加或减少项和项的个数问题
（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边,
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是，
故选：．
（2024·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当时，左端，
那么当时 左端，
故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，
即，
故选：．
（20242·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当时，不等式左边等于，
当时，不等式左边等于
当时，不等式的左边比时增加.
故选：D
（2024·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．
故选：D
【方法技巧与总结】
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
题型二：证明恒等式
（2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：当时，．
【答案】证明见解析
【分析】按数学归纳法的步骤来即可，第一步验证时的情况，第二步假设成立，然后验证时的情况即可.
【详解】第一步：当时，等式左边，等式右边，等式成立．
第二步：假设当时等式成立，即，
那么，当时，有．
这就是说，当时等式也成立．
综上所述，对任何，等式都成立．
（2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
【解析】证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即1＋5＋9＋＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，
左边＝1＋5＋9＋＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由①②知，对一切n∈N*，等式成立．
（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
【解析】证明：①当 时，，，等式成立；
②假设 时，，
则时，
，
即时，等式成立，
综合①②可知，（，）．
（2024·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．
【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
（2024上·上海·高二上海中学校考期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：.
【答案】证明见解析
【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可.
【详解】当时，，结论成立；
假设①当时，，
②则当时，
，结论成立；
综合由①②知，对于任意正整数都有：.
（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析
【分析】按数学归纳法的步骤证明即可，即验证时等式成立，且假设时等式成立，证明时等式成立即可.
【详解】当时，等式左边，等式中间，等式右边，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立；
假设时等式成立，
即有成立，
我们分两步来证明当时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可，
第一步：由假设可知，当时，
有
成立，
即当时，等式左边=等式中间成立；
第二步：由假设，所以此时有成立，
从而可知，当时，有
成立，
即当时，等式中间=等式右边成立；
结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立；
综上所述：由数学归纳法可得.
【方法技巧与总结】
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
题型三：证明不等式
（2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
【解析】(1)当n＝1时，左边右边，
即当n＝1时，原不等式成立，
(2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立，
即1+++…+≤+ k，
则当n=k+1时，
1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，
即当n=k+1时，不等式成立，
综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立.
（2024·全国·高二专题练习）证明：对于一切自然数都有.
【解析】（1）当时，，成立；
当时，，成立；
当时，，成立.
（2）假设当时不等式成立，即，，
当时，
.
因为，即，
所以，
即当时，时仍成立.
由（1）（2）所述，原不等式得证.
（2024·全国·高二专题练习）求证：.
【解析】(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立，
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即，
则当n=k+1时，
左边=
=右边，
因此，当n=k+1时，原不等式成立，
综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
【方法技巧与总结】
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．
题型四：证明整除问题
（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）
【答案】答案见解析
【分析】按照数学归纳法的证明方法进行证明
【详解】当时，，
故能被整除，
假设当时，结论成立，即能被整除，
则当时，
，
由于和均能被整除，
故能被整除，
综上：能被整除（）.
（2024·高二课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.
【答案】证明见解析．
【分析】用数学归纳法证明．
【详解】证明：（1）时，，能被7整除，
（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），
则时，，是正整数，所以能被7整除，
所以时，命题成立，
综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除．
【例4-1】（2024·全国·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．
【解析】（1）当时，能被64整除．
（2）假设当时，能被64整除，
则当时，．
故也能被64整除．
综合（1）（2）可知当时，能被64整除．
变式1：（2024·四川·乐山市教育科学研究所三模（文））将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
【解析】(1)若选①：
因为
所以，
两式相减得，
所以是隔项等差数列，
且，
所以为奇数，
为偶数，
所以.
若选②：，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
若选③：
因为①，
所以②，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以的通项公式.
(2)
当时，，能够被3整除；
假设当时，能被3整除，则有,所以，
则当时，，所以当时能被3整除.
综上所述，对一切，能被3整除.
变式2：（2024·上海市进才中学高二阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7 B．6 C．5 D．4
【解析】当时，则
当时，则
∴从k到添加的项数共有5项
故选：C.
变式3：（2024·全国·高二课时练习）若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________．
【解析】由，
可得，
由此可猜想的最大值为.
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，显然成立；
（2）假设当时，能被36整除，
当时，，
由假设可得能被36整除，
又由是2的倍数，所以能被36整除，
即当时，能被36整除，
由（1）（2）可知，对于一切正整数都有能被36整除，
所以的最大值为36.
故答案为：.
题型五：证明几何问题
（2024·全国·高二课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？
【答案】
【分析】先通过，2，3，4，5的结果归纳出，再用数学归纳法证明即可.
【详解】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图）

从图中可以看出，
，
，
，
，
.
由此猜想.
接下来用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当，2时，结论均成立.
（2）假设当时结论成立，即.
那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，
这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，
所以，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对，都有，
即.
（2024上·高二课时练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和．
【答案】证明见解析
【分析】验证当时，结论成立；假设当时，结论成立，分析可知凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，即可得出成立，这说明当时，结论成立，再由归纳原理可证得结论成立.
【详解】证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立；
假设当时，结论成立，即，
假设凸边形，如下图所示：
则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，
所以，，
这说明当时，结论成立，
故凸边形的内角和.
（2024·高二课时练面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.
【答案】证明见解析.
【分析】利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．
【详解】证明：（1）当时，两条直线的交点只有一个，又，
当时，命题成立．
（2）假设，且时，命题成立，即平面内满足题设的任何条直线交点个数，
那么，当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点个数为，与其他条直线交点个数为，从而条直线共有个交点，
即，
这表明，当时，命题成立．
由（1）、（2）可知，对命题都成立．
（2024·高二课时练面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析.
【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可
【详解】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，
n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
（2024下·河北唐山·高二统考期中）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第个图案所包含的小正方形个数记为．
（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与的关系，并通过你所得到的关系式，求出的表达式；
（2）计算：，，的值，
猜想的结果，并用数学归纳法证明．
【答案】（1），（2）答案见解析
【分析】（1）由图知计算出，，，根据规律归纳猜想与的关系，使用累加法猜想出；
（2）根据的计算猜想，
再用数学归纳法证明即可.
【详解】（1）由图知，，，，
，，，
归纳猜想：，
，
，
，
以上各式相加得
，
所以.
（2），
，，
猜想，
证明，当时，，，
所以时猜想成立，
当时猜想成立， 即
，
则时，
，
所以当时，猜想成立，由①②可知，对任意，都有
.
题型六：证明数列问题
（2023上·高二课时练习）已知数列满足，，试用数学归纳法证明．
【答案】证明见解析
【分析】先验证时，等式成立，再假设当时等式成立，可得出，然后结合已知条件，验证当时等式也成立，由此可证明出结论成立.
【详解】①当时，左边，
右边，左边右边，原等式成立；
②假设当时等式成立，即有，
那么，当时，，
，
，
，
，
所以当时，等式也成立，
由①②知，对任意，都有.
【例5-1】（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
【解析】由题意，等比数列的首项为，公比为，
①当时，，显然满足；
②假设时，成立，
则当时，成立，
由①②可知，对于任意，都有成立.
证明：前项和公式，
③当时，成立；
④假设时，成立，
则当时，成立，
由③④可知，对于任意，都有成立.
变式1：（2024·全国·高二课时练习）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.
证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．
【解析】①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，
∴a1＜a2＜2，命题正确．
②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则n＝k＋1时，
ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)
＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)
＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．
而ak－ak＋1＜0，4－ak－ak＋1＞0，
∴ak＋1－ak＋2＜0.
又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，
∴n＝k＋1时命题正确．
由①②知，对一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.
【多选】（2024上·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知正项数列中，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据数列单调性的判断方法即可判断选项A；利用特殊值法可判断选项B；利用数学归纳法可判断选项C；
先根据已知条件得，，再对进行化简，即可判断选项D.
【详解】由是正项数列，得.
由，得，即.
对于选项A：因为，则，
所以数列是递增数列，故选项A正确；
对于选项B，因为，且，则，
所以，与矛盾，故选项B错误；
对于选项C：当时，则成立；
假设当时，有成立；
令，则，
而，
则，
即成立.
所以恒成立，故选项C正确；
对于选项D：因为，则，
所以
.
因为，且，
则；；；.
因为数列是递增数列
则，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列的递推关系式判断数列的单调性，数列的项及求和.解题关键在于对数列基本知识的掌握和灵活使用.难点在于选项C利用数学归纳法判断；选项D对递推关系式进行变形，利用裂项相消进行求和；借助数列的单调性得，即可判断.
题型七：证明猜想
【例6-1】（2024·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
【解析】一般规律：，
证明：（1）时，左=右，等式成立；
（2）假设时，等式成立，即，
则当时，，
等式也成立，
由（1）（2）得当时等式都成立．
变式1：（2024·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
【解析】（1）选条件①，
由题意可得，同理可得，，
猜想()．
选条件②，
由题意可得，∵，，∴，，
∴，同理可得，
猜想（）．
（2）显然当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即（），
当时，由，可得=
（），
即当时，猜想成立，
综上所述，（）．
变式2：（2024·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
【解析】(1)因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
变式3：（2024·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
【解析】(1)由可得，又，则，，
则，猜想；
(2)由（1）得，当时，，
①当时，猜想显然成立；
②假设当时成立，即；
当时，，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即.
（2023上·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
【答案】(1)，，，，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
【详解】（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：
【方法技巧与总结】
1．“归纳—猜想—证明”的解题步骤
2．“归纳—猜想—证明”解决的主要问题
(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和．
(2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单命题(n＝1，2，3……)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
提醒：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功．③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高二阶段练习）设，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据的表达式得，即可相减求解.
【详解】由题意可得,
所以，
故选：D
2．（2024下·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据归纳法即可得到答案.
【详解】解：根据数学归纳法可知：
当时，
当时，
相比从到，可知多增加的项为
故选：D
3．（2024下·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ）
A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立
【答案】C
【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立，
故选：C.
4．（2024上·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得.
【详解】由题意，，
即从起连续项正整数之和.
则为从起连续3个正整数之和，
故第一步应证明.
故选：B.
5．（2024下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.
【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；
当时，等式左边等于，共项求和；
所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.
故选：B.
6．（2024下·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　）
A．假设正确，再推正确
B．假设正确，再推正确
C．假设正确，再推正确
D．假设正确，再推正确
【答案】B
【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，
所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；
故选：B．
【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键
7．（2024上·江苏·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【答案】D
【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
左边增加的项为，共项.
故选：D
8．（2024下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.
【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立.
故选：B
9．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论．
【详解】因为，
所以，共项，
则共项，
所以比共增加了项，
故选：D
10．（2024上·江苏连云港·高二校考阶段练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（ ）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
【答案】C
【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.
【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，
显然，
猜想：，当时，成立；
假设当时，成立，则为奇数，为偶数；
当时，则为奇数，为奇数，为偶数，
故符合猜想，因此，
，所以数列的前2024项的和为.
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
二、多选题
11．（2024·上海宝山·统考二模）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.
【详解】当时，，不合要求，舍去
当时，，不合要求，舍去；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
下证：当时，成立，
当时，成立，
假设当时，均有，解得：
当时，有，
因为，
所以成立，
由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，
故选：CD
12．（2024下·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．推导时，不等式的左边增加的式子是
D．推导时，不等式的左边增加的式子是
【答案】BC
【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.
【详解】当时，可得；当时，可得；
即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；
当时，可得；
当时，可得；
两式相减得：，
所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；
故选：BC.
13．（2024下·高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
【答案】ABC
【分析】根据题设结论逐项分析判断.
【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；
对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；
对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；
对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；
故选：ABC.
14．（2024·高二单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
【答案】BC
【分析】A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.
【详解】A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；
B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；
C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；
D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.
故选：BC.
三、填空题
15．（2024下·高二课时练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据题意得到和的表达式，进而得到和的关系式，得到答案.
【详解】由，
可得
则，
即.
故答案为：.
16．（2024下·广西钦州·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是
【答案】
【分析】分别写出和时不等式的左边的式子，比较即可求得答案.
【详解】由题意知时，左边式子为，
时，左边式子为，
故增加的项数为 ，
故答案为：
17．（2024下·安徽马鞍山·高二统考期中）利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 .
【答案】
【分析】将时左边的等式除以时左边的等式即可得解.
【详解】解：当时，左边，
当时，左边，
所以左边应添加因式为.
故答案为：.
18．（2024下·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为 ．
【答案】
【分析】根据数学归纳法的概念，结合证明的不等式，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，可得，
所以用数学归纳法证明时，
第一步应验证不等式为.
故答案为：.
19．（2024上·上海宝山·高二校考期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ．
【答案】
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立.
【详解】
根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；
结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点，
两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析，
时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为.
故答案为:
四、解答题
20．（2024·全国·高二随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法证明即可．
【详解】当时，左边，右边，
因为，所以，故左边右边，原不等式成立；
假设当时，不等式成立，即，
则当时，，，
在不等式两边同乘以得
，
所以．即当时，不等式也成立．
综上，对一切正整数，不等式都成立．
21．（2024·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析.
【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系.
【详解】当，则成立，
若且时，成立，
令，则，
所以时不等式也成立，
综上，恒成立.
22．（2024下·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．
(1)计算，，，的值；
(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．
【答案】(1)，，，
(2)，证明见解析.
【分析】（1），从而可得出，
（2）猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可.
【详解】（1）因为，
所以，，
，
.
（2）猜想，
下面用数学归纳法进行证明：
当时，，猜想正确，
假设当时，猜想也正确，
则有，
当时，，
所以时，猜想也正确，
综上所述，.
23．（2024下·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.
(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)，证明详见解析
(2)证明详见解析
【分析】（1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立.
【详解】（1）依题意，，，则，
所以，
猜想.
当时，成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，猜想成立，
所以.
（2），
所以
.
24．（2024上·高二课时练习）用数学归纳法证明：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】根据数学归纳法的步骤，先分析当时成立，再假设当时成立推导时也成立即可.
【详解】（1）当时，成立；
假设当时成立，
则
，
即成立，
故当时也成立.
综上有
（2）当时，成立；
假设当时成立，
则
，
故当时也成立.
故1.5 数学归纳法7种常见考法归类
课程标准 学习目标
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.了解数学归纳法原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
知识点01数学归纳法
(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；
②(归纳递推)假设当时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：① P(n0)为真；②若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
注：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
(3)数学归纳法的框图表示
2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤
【即学即练1】（2024·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】1．（2024下·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练4】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
题型一：对数学归纳法的理解
数学归纳法的理解
（2024·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4
（2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A． B．
C． D．
（二）增加或减少项和项的个数问题
（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
（2024·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A． B．
C． D．
（20242·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【方法技巧与总结】
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
题型二：证明恒等式
（2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：当时，．
（2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
（2024·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．
（2024上·上海·高二上海中学校考期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：.
（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【方法技巧与总结】
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
题型三：证明不等式
（2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
（2024·全国·高二专题练习）证明：对于一切自然数都有.
（2024·全国·高二专题练习）求证：.
【方法技巧与总结】
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．
题型四：证明整除问题
（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）
（2024·高二课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.
【例4-1】（2024·全国·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．
变式1：（2024·四川·乐山市教育科学研究所三模（文））将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
变式2：（2024·上海市进才中学高二阶段练习）用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7 B．6 C．5 D．4
变式3：（2024·全国·高二课时练习）若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________．
题型五：证明几何问题
（2024·全国·高二课堂例题）在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？
（2024上·高二课时练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和．
（2024·高二课时练面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.
（2024·高二课时练面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
（2024下·河北唐山·高二统考期中）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第个图案所包含的小正方形个数记为．
（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与的关系，并通过你所得到的关系式，求出的表达式；
（2）计算：，，的值，
猜想的结果，并用数学归纳法证明．
题型六：证明数列问题
（2023上·高二课时练习）已知数列满足，，试用数学归纳法证明．
【例5-1】（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明，首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是．
变式1：（2024·全国·高二课时练习）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.
证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．
【多选】（2024上·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知正项数列中，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．
题型七：证明猜想
【例6-1】（2024·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
变式1：（2024·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
变式2：（2024·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
变式3：（2024·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
（2023上·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
【方法技巧与总结】
1．“归纳—猜想—证明”的解题步骤
2．“归纳—猜想—证明”解决的主要问题
(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和．
(2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单命题(n＝1，2，3……)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
提醒：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功．③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高二阶段练习）设，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024下·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024下·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ）
A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立
4．（2024上·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024下·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　）
A．假设正确，再推正确
B．假设正确，再推正确
C．假设正确，再推正确
D．假设正确，再推正确
7．（2024上·江苏·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
8．（2024下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
10．（2024上·江苏连云港·高二校考阶段练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（ ）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
二、多选题
11．（2024·上海宝山·统考二模）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2024下·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．推导时，不等式的左边增加的式子是
D．推导时，不等式的左边增加的式子是
13．（2024下·高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
14．（2024·高二单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
三、填空题
15．（2024下·高二课时练习）已知，则 ．
16．（2024下·广西钦州·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是
17．（2024下·安徽马鞍山·高二统考期中）利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 .
18．（2024下·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为 ．
19．（2024上·上海宝山·高二校考期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ．
四、解答题
20．（2024·全国·高二随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：．
21．（2024·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
22．（2024下·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．
(1)计算，，，的值；
(2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．
23．（2024下·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.
(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.
24．（2024上·高二课时练习）用数学归纳法证明：
(1)；
(2) ．

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