资源简介

2.1 平均变化率与瞬时变化3种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 3．体会极限思想 1.了解平均变化率、瞬时变化率．(数学抽象) 2．会求平均变化率．(数学运算) 3．会求函数在某点处的瞬时变化率．(数学运算)
知识点01平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
注：函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　)
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
【解析】∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，
∴＝＝－1.1.故选B
【即学即练2】如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【解析】易知，，因此，故选A
知识点02 瞬时变化率
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝＝．
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．
注：平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．
【即学即练3】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
【解析】由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
【即学即练4】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（ ）
A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s
【解析】对于A：，
即物体在时的瞬时速度为3m/s，A错误．
对于B：，
即物体在时的瞬时速度为1m/s，B正确．
对于C：设物体在时刻的瞬时速度为9m/s，
又，
所以，物体在时的瞬时速度为9m/s，C正确．
对于D：，D错误．
故选：BC
题型一：求函数的平均变化率
例1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【解析】＝＝－3.故选D
变式1.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
【解析】因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，
从而t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
变式2.函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
【解析】，，故.故选：A.
【方法技巧与总结】
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
题型二：平均变化率的实际应用
例2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设直线的斜率分别为，则，，
，由题中图象知，即.故选:B
变式1.某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（ ）
A．公司亏损且亏损幅度变大
B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
【答案】D
【解析】由（）恒成立，可知单增，即盈利增加，
又平均变化率说明盈利增加的幅度变小，故选:D．
变式2.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：
（1）前3 s内球的平均速度为________m/s；
（2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.
【答案】8 12
【解析】第一空：由题设知，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，
即平均速度为v＝＝＝8(m/s).
第二空：由题设知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，
即平均速度为v＝＝12(m/s).
故答案为：8；12.
【方法技巧与总结】
平均变化率的意义
1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．
2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
题型三：运动物体的平均速度与瞬时速度
例3.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，
（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
【解析】（1）∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
（2）求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝＝
＝1＋Δt，
∴(1＋Δt)＝1.
即物体的初速度为1 m/s.
（3）设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
变式1.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
【解析】自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
(t)＝＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时， ＝2＋6×4＝26，
所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
变式2.一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝
求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
【解析】当0≤t<3时，s(t)＝3t2，
＝＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝
＝＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分．
变式3.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
【解析】质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，
即a＝2.
【方法技巧与总结】
求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤
1．求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2．计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；
3．将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率．
一、单选题
1．（2023下·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平均变化率的求法求得正确答案.
【详解】当时，；当时，.
所以平均变化率为.
故选：B
2．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据平均变化率的计算即可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为，
故选：A
3．（2023下·高二课时练习）函数，当自变量由改变到时，的变化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据的变化求得正确答案.
【详解】依题意，的变化为.
故选：D
4．（2024上·湖南·高二校联考期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.
【详解】当时，位移为，
当时，位移为，
在这段时间里，该物体的平均速度为：．
故选：A.
5．（2023下·高二课时练习）当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A．在区间上的平均变化率
B．在处的变化率
C．在处的变化率
D．在区间上的变化量
【答案】A
【分析】由平均变化率的定义即可求解.
【详解】由平均变化率的定义知：当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间上的平均变化率.
故选：A
6．（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.
【详解】由题意知，汽车在时间，，，上的平均速度的大小分别为，，，，
设路程与时间的函数关系为，
则，即为经过点的直线的斜率，
同理为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，如图，
由图可知，最小，即最小.
故选：C.
7．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考阶段练习）若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A．4 m/s B．5 m/s C．6 m/s D．8 m/s
【答案】B
【分析】图像中，函数图像上某点的切线的斜率即函数在该点处的导数的物理意义表示运动物体在该时刻的瞬时速度，故可利用导数的定义式求解.
【详解】解析：，则，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s．
故选：B
8．（2023下·高二课时练习）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出和，作差，求出即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
9．（2024上·山西长治·高二统考期末）某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（ ）
A． B．2.9 C．0.45 D．
【答案】A
【分析】求出导数，结合瞬时速度的意义求解即可.
【详解】由题意，求导后得，当时，，
故A正确.
故选：A.
10．（2023下·高二课时练习）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
【答案】D
【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
11．（2023下·高二课时练习）已知和在区间上的平均变化率分别为和，则（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】根据平均变化率公式得到和，进而可得.
【详解】由题意
，
，
故，
故选：B
12．（2023下·高二课时练习）某水库储水量与水深的关系如下表所示：
水深()
储水量
在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率（ ）
A．不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据平均变化率的定义判断.
【详解】根据平均变化率的定义, 在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率依次为:
水深
平均变化率 2 4 12 14 23 32
平均变化率越来越大.
故选：C.
13．（2022下·北京·高二校考期中）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】在理解的基础上结合图象来判断.
【详解】①：表示区间端点连线斜率，污水治理能力与斜率的相反数成正比，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
②：在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
③：在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；正确；
④：甲企业在，，这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．错误；
故选：C．
二、多选题
14．（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.
【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，
所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项，
故选：ACD.
15．（2023下·高二课时练习）直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么关于的下列说法错误的是（ ）
A．从时刻到时物体的平均速度
B．从时刻到时位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
【答案】ABC
【分析】根据极限的定、瞬时速度判断．
【详解】表示到时，物体的位移的平均变化率，即速度，而表示时刻时的瞬时速度，只有D正确，ABC均错误，
故选：ABC．
16．（2023下·山东日照·高二校考阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
【答案】ABD
【分析】利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
17．（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
【答案】AC
【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.
【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；
选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，
说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；
选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，
血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；
选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为
和，显然不相同，即选项D不正确．
故选：AC.
三、填空题
18．（2022·高二课时练习）如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象

A． B．
C． D．
【答案】容器（1）对应B，容器（2）对应A，容器（3）对应D，容器（4）对应C.
【分析】根据容器的形状判断水面高度h随时间t的变化率的变化趋势，即可确定对应函数图象.
【详解】由于单位时间内注入水的体积相同，
容器（1）水面高度h随时间t的变化率恒定，函数图象为直线，即为B；
容器（2）水面高度h随时间t的变化率逐渐变大，函数图象先缓后陡，即为A；
容器（3）水面高度h随时间t的变化率逐渐变小，函数图象先陡后缓，即为D；
容器（4）水面高度h随时间t的变化率先变小后变大，函数图象先陡后缓，再变陡，即为C；
故答案为：（1）对应B；（2）对应A；（3）对应D；（4）对应C.
19．（2023上·高二课前预习）若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ．
【答案】2
【分析】利用平均变化率公式直接求解即可.
【详解】由题意得，
所以，或（舍去）．
故答案为：2
20．（2024上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）一般地，当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 .
【答案】瞬时速度
【分析】略
【详解】略
21．（2023上·上海·高三校考期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ．
【答案】80
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.
【详解】因为.
所以该物体时，物体的瞬时速度为.
故答案为：80
22．（2023下·北京大兴·高二统考期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：

①在时高度关于时间的瞬时变化率为；
②曲线在附近比在附近下降得慢；
③曲线在附近比在附近上升得快；
④设在和时该运动员的瞬时速度分别为和，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较大小即可；对于③，比较大小即可；对于④，，，比较大小即可.
【详解】因为，所以.
对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即，所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确；
对于②，由题意知，所以，即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误；
对于③，由题意知，所以，即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确；
对于④，由题意知且，所以，
，
所以，
所以.
即，故④正确；
故答案为：①③④.
23．（2023下·高二课时练习）蜥蜴的体温单位：与太阳落山后的时间单位：的关系为，则从到，蜥蜴体温的平均变化率为 ．
【答案】/
【分析】利用平均变化率的定义即可求得蜥蜴对应体温的平均变化率.
【详解】从到，蜥蜴体温的平均变化率为
（）
故答案为：
四、解答题
24．（2023上·高二课时练习）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）近似满足函数关系．问：
(1)小球的初始高度是多少？
(2)小球在到这段时间内的平均速度是多少？
(3)小球在时的瞬时速度是多少？
(4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)最高高度为，在1.5秒时达到.
【分析】（1）由解析式求当时的高度即可；
（2）根据平均速度的计算公式计算即可；
（3）根据瞬时速度的计算公式计算即可；
（4）利用二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）当时，，即初始高度为；
（2）当时，，
所以平均速度为；
（3）由，
即时的瞬时速度是；
（4）由可得，当时，，
小球的最高高度为，在1.5秒时达到.
25．（2023下·高二课时练习）某一运动物体，在时离开出发点的距离（单位：m）是.
(1)求在第s内的平均速度；
(2)求在第s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到m/s
【答案】(1)m/s
(2)m/s
(3)m/s
【分析】结合平均速度及瞬时速度的定义计算即可得.
【详解】（1）物体在第s内的平均变化率（即平均速度）为 m/s；
（2）
当时，，
所以物体在第s末的瞬时速度为m/s；
（3）
当时，，
令，解得，
即经过s该物体的运动速度达到m/s.
26．（2023上·江苏·高二专题练习）已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且.
(1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度.
【答案】(1)30.5(m/s)
(2)30.05(m/s)
【分析】由平均变化率的公式直接计算.
【详解】（1）当 时，，
∵，
∴.
（2）当时，，
∵，
∴.
27．（2023·全国·高二随堂练习）已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S．
(1)写出S关于x的函数关系．
(2)当x从1增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？解释它的实际意义．
(3)当长从x增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？
(4)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义．
(5)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义．
【答案】(1)，
(2)详见解析；
(3)；
(4)详见解析；
(5)详见解析；
【分析】（1）利用矩形面积公式即可求得S关于x的函数关系；
（2）利用平均变化率定义即可求得当x从1增加到时，面积S关于x的平均变化率，进而得到其实际意义；
（3）利用平均变化率定义即可求得当长从x增加到时面积S关于x的平均变化率，进而得到其实际意义；
（4）利用瞬时变化率定义即可求得在处，面积S关于x的瞬时变化率，进而得到其实际意义；
（5）利用瞬时变化率定义即可求得在处，面积S关于x的瞬时变化率，进而得到其实际意义.
【详解】（1）长方形的周长为10，一边长为x，则该边的邻边长为，
则此长方形的面积，；
（2）当x从1增加到时，面积S改变为
，，
此时，面积S关于x的平均变化率是3，
它的实际意义是在处，长度改变1个单位，面积改变3个单位.
（3）当长从x增加到时，面积S改变为
，
此时，面积S关于x的平均变化率是.
它的实际意义是在处，长度改变1个单位，面积改变3个单位.
（4）由（2）可得，当时，，即面积S关于x的瞬时变化率是3，
它的实际意义是在时，面积的增加速度为3；
（5）由（3）可得，当时，，
即面积S关于x的瞬时变化率是，
它的实际意义是在时，面积的增加速度为.
28．（2023上·江苏·高二专题练习）已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据体积公式，求解出.
（2）根据平均变化率的定义代入求解即可；
【详解】（1）∵
∴，
∴，即.
（2）函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为≈0.16(dm/L).
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢.2.1 平均变化率与瞬时变化3种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 3．体会极限思想 1.了解平均变化率、瞬时变化率．(数学抽象) 2．会求平均变化率．(数学运算) 3．会求函数在某点处的瞬时变化率．(数学运算)
知识点01平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为．通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
注：函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　)
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
【即学即练2】如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
知识点02 瞬时变化率
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝＝．
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．
注：平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．
【即学即练3】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
【即学即练4】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（ ）
A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s
题型一：求函数的平均变化率
例1.某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
变式1.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
变式2.函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
【方法技巧与总结】
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
题型二：平均变化率的实际应用
例2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
变式1.某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（ ）
A．公司亏损且亏损幅度变大
B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
变式2.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：
（1）前3 s内球的平均速度为________m/s；
（2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.
【方法技巧与总结】
平均变化率的意义
1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．
2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
题型三：运动物体的平均速度与瞬时速度
例3.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，
（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
变式1.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
变式2.一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝
求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
变式3.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
【方法技巧与总结】
求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤
1．求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2．计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；
3．将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率．
一、单选题
1．（2023下·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
3．（2023下·高二课时练习）函数，当自变量由改变到时，的变化为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024上·湖南·高二校联考期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·高二课时练习）当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A．在区间上的平均变化率
B．在处的变化率
C．在处的变化率
D．在区间上的变化量
6．（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考阶段练习）若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A．4 m/s B．5 m/s C．6 m/s D．8 m/s
8．（2023下·高二课时练习）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．4 B． C． D．
9．（2024上·山西长治·高二统考期末）某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（ ）
A． B．2.9 C．0.45 D．
10．（2023下·高二课时练习）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
11．（2023下·高二课时练习）已知和在区间上的平均变化率分别为和，则（ ）
A． B． C． D．不确定
12．（2023下·高二课时练习）某水库储水量与水深的关系如下表所示：
水深()
储水量
在范围内，当水深每增加时，水库储水量的平均变化率（ ）
A．不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定
13．（2022下·北京·高二校考期中）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
二、多选题
14．（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023下·高二课时练习）直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么关于的下列说法错误的是（ ）
A．从时刻到时物体的平均速度
B．从时刻到时位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
16．（2023下·山东日照·高二校考阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
17．（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
三、填空题
18．（2022·高二课时练习）如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象

A． B．
C． D．
19．（2023上·高二课前预习）若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ．
20．（2024上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）一般地，当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 .
21．（2023上·上海·高三校考期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ．
22．（2023下·北京大兴·高二统考期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：

①在时高度关于时间的瞬时变化率为；
②曲线在附近比在附近下降得慢；
③曲线在附近比在附近上升得快；
④设在和时该运动员的瞬时速度分别为和，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
23．（2023下·高二课时练习）蜥蜴的体温单位：与太阳落山后的时间单位：的关系为，则从到，蜥蜴体温的平均变化率为 ．
四、解答题
24．（2023上·高二课时练习）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）近似满足函数关系．问：
(1)小球的初始高度是多少？
(2)小球在到这段时间内的平均速度是多少？
(3)小球在时的瞬时速度是多少？
(4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？
25．（2023下·高二课时练习）某一运动物体，在时离开出发点的距离（单位：m）是.
(1)求在第s内的平均速度；
(2)求在第s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到m/s
26．（2023上·江苏·高二专题练习）已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且.
(1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度.
27．（2023·全国·高二随堂练习）已知长方形的周长为10，一边长为x，其面积为S．
(1)写出S关于x的函数关系．
(2)当x从1增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？解释它的实际意义．
(3)当长从x增加到时，面积S改变了多少？此时，面积S关于x的平均变化率是多少？
(4)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义．
(5)在处，面积S关于x的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义．
28．（2023上·江苏·高二专题练习）已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

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