资源简介

11.1.4　棱锥与棱台 导学案
（原卷+答案）
课程标准
1.认识棱锥、棱台及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．知道棱锥、棱台的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一
1．棱锥的结构特征
定义 有一个面是________，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面围成的多面体
图示及相关概念 底面：多边形面 侧面：有________的各个三角形面 侧棱：相邻两________的公共边 顶点：各侧面的________
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥j、四棱锥……
2.正棱锥及有关概念
(1)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．
(2)侧面性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形．
(3)正棱锥的斜高：侧面等腰三角形底边上的高．
知识点二
1．棱台的结构特征
定义 用一个________于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念 上底面：原棱锥的________ 下底面：原棱锥的________ 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻两侧面的________ 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……
2.正棱台及有关概念
(1)正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．
(2)正棱台的高：上下底面中心的连线．
(3)侧面性质：正棱台的侧面都全等，而且都是等腰梯形．
(4)正棱台的斜高：侧面等腰梯形的高．
基 础 自 测
1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
2．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．(　　)
(2)棱台的侧棱长都相等．(　　)
(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．(　　)
(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．(　　)
3．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)
4．四棱台的四条侧棱长都相等，则这个棱台(　　)
A．是正棱台
B．不可能是正四棱台
C．为底面四边形具有外接圆的棱台
D．为底面四边形是正方形的棱台
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　棱锥、棱台的概念及多面体的表面展开图
例1　(1)下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________．
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
(2)有下列几个命题：①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③正棱锥的棱都相等；④侧棱长相等，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥，一定是正棱锥．其中真命题的个数为(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　D．3
方法归纳
1．判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．
2．多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
跟踪训练1　(1)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
(2)有下列几个命题：①各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②棱锥的所有侧面可能是直角三角形；③四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．其中真命题有________．
(3)下列四个命题：①棱台的侧棱延长后必交于一点；②上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台；③用一个平面去截棱锥，夹在底面和截面间的几何体是棱台；④棱台的上、下底面边长之比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高之比．
其中真命题是________．(填写正确命题的序号)
题型2　几何体的计算问题
【思考探究】　1.计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示]　常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示]　是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示]　根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
例2　(1)正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高；
(2)如图所示，正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高是17 cm，上、下两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
跟踪训练2　(1)将本例(1)中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
(2)将本例(1)中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
(3)正三棱台的上、下底面的边长分别为3，6，高为1，求棱台的侧棱长和斜高．
方法归纳
1．正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.
2．正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.
题型3　几何体的表面积
例3　(1)已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．
(2)正四棱台的高是12 cm，两底面边长相差10 cm，表面积是512 cm2，则两底面的边长分别是________．
方法归纳
(1)要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．
(2)空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成．
跟踪训练3　(1)已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．
(2)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________．
教材反思
1．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有关棱柱结构特征的解题策略．
(2)判断棱锥、棱台形状的方法．
(3)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错．
参考答案
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．多边形　公共顶点　公共顶点　侧面　公共顶点
知识点二
1．平行　截面　底面　公共边
[基础自测]
1．解析：棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．
答案：A
2．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
3．解析：棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．
答案：C
4．解析：取一个四条侧棱都相同的四棱锥，其底面可以是正方形，也可以不是正方形，将棱锥截成棱台，从而棱台的侧棱都相等，但该棱台可能是正四棱台，也可能不是正四棱台，因此A，B，D都错误；对于C，由于四条侧棱相等，则每个侧面都是等腰梯形，截得此棱台的棱锥的各侧面都是等腰三角形，故各侧棱相等，从而顶点在底面的射影到底面各顶点等距．
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．
(2)由正棱锥的定义可知：①缺少“各侧面全等”这个条件，故不能得到正棱锥，所以①是假命题；侧棱都相等时，底面可以不是正多边形，比如一个三棱锥，侧棱都相等，但侧棱的夹角不相等，因此底面边长不相等，不是正三棱锥，所以②是假命题；棱锥的棱包括侧棱和底棱，正棱锥的侧棱都相等，底棱也相等，但侧棱和底棱可能不相等，所以③是假命题；④符合正棱锥的定义，所以④是真命题．
【答案】　(1)②③④　(2)B
跟踪训练1　解析：(1)由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
(2)四棱锥P - ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，底面ABCD为菱形，但不是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥，因此①是假命题；三棱锥P - ABC中，PA垂直于平面ABC，∠ABC＝90°，它的所有侧面都是直角三角形，故②是真命题；在四棱锥P - ABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为矩形，这样的四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故③是真命题．
(3)真命题是①.根据棱台的定义，棱台是由一个棱锥以一个平行于底面的平面所截得的几何体，因此延长棱台的各条侧棱可还原成一个棱锥，故棱台的侧棱延长后必交于一点，故①为真命题．底面相似但侧棱可以不相等，这样的棱台不是正棱台，故②是假命题．去截棱锥的平面如果与底面不平行，截得的几何体不是棱台，故③是假命题．根据平面几何知识，棱台的上、下底面边长的比应该等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比，故④是假命题．综合上述，真命题只有①.
答案：(1)见解析　(2)②③　(3)①
例2　【解析】　(1)作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝.
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3.
(2)设棱台两底面的中心分别是点O和O′，B′C′，BC的中点分别是E′，E.
连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，
则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，
如图．在正方形ABCD中，
因为BC＝16 cm，所以OB＝8 cm，OE＝8 cm.
在正方形A′B′C′D′中，因为B′C′＝4 cm，
所以O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm.
在直角梯形O′OBB′中，BB′＝
＝ ＝19(cm)．
在直角梯形O′OEE′中，EE′＝
＝＝5(cm)．
故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
跟踪训练2　解析：(1)在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝ ＝.
(2)如图正四棱锥S - ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝ ＝ ＝.
故其高为.
(3)如图，设上、下两底的中心分别是O1，O，连接O1O，则O1O为棱台的高，O1O＝1.连接A1O1，AO并延长分别与B1C1和BC相交于D1、D，由平面几何知识得，D1、D分别是B1C1和BC的中点，连接D1D，则D1D为棱台的斜高，
因为B1C1＝3，BC＝6，所以A1O1＝×3＝，AO＝×6＝2.
在直角梯形AOO1A1中，A1A＝ ＝2；
在直角梯形DOO1D1中，D1D＝ ＝.
所以正三棱台的侧棱长为2，斜高为.
例3　【解析】　
(1)如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.
∵OE＝＝2，∠OPE＝30°，
∴PE＝＝＝4.
∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32，
S表面积＝42＋32＝48.
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
(2)如图所示，设正四棱台的上底面边长A1B1＝a cm，则下底面边长AB＝(a＋10)cm，高OO1＝12 cm，
所以斜高EE1＝＝＝13(cm)．
所以a2＋(a＋10)2＋×4×(2a＋10)×13＝512.
解得a＝2(a＝－38舍去)，则a＋10＝12，
即下底面边长为12 cm，上底面边长为2 cm.
【答案】　(1)见解析　(2)2 cm，12 cm
跟踪训练3　解析：
(1)如图所示，设O为正三角形ABC的中心，连结PO，连结AO并延长交BC于D，连结PD，则PO是正三棱锥P - ABC的高．
由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点，
又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高．
由已知∠APO＝45°，AO＝×4＝ (cm)，所以PA＝AO＝＝ (cm)，
所以PB＝ (cm)．
所以PD＝＝＝ (cm)．
所以正三棱锥P - ABC的侧面积为：
S侧＝3S△PBC＝3××4×＝4 (cm2)，
底面积：S底＝×42×＝4(cm2)．
故S表面积＝S侧＋S底＝4＋4＝4() (cm2)．
(2)设正四棱台的高、斜高分别为h，x.
所以4××(1＋2)×x＝12＋22，解得x＝.
再根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h2＋＝，解得h＝.
答案：(1)见解析　(2)

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