资源简介

2.2 导数的概念及其几何意义3种常见考法归类
课程标准 学习目标
通过函数图象直观理解导数的几何意义． 1.理解导数的概念及其几何意义．(数学抽象) 2．会求导数及理解导数的实际意义．(数学运算、数学抽象) 3．会求曲线的切线方程．(数学运算)
知识点01导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝=
【即学即练1】（2024高二课堂练习）设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【即学即练2】（2024高二课堂练习）已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
（1） ；
（2）
【即学即练3】（2024高二课堂练习）已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
知识点02　割线的定义
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
【即学即练4】（2023下·高二课时练习）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【即学即练5】（2023上·高二课时练习）函数的图像如图所示．

(1)求割线PQ的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P运动时，割线PQ的斜率会变大还是变小？
知识点03　切线的定义
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
【即学即练6】（2024高二课堂练习）下列说法正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
知识点04　导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
【即学即练7】（2024高二课堂练习）设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【即学即练8】（2024高二课堂练习）如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____．
题型一：在某一点处导数的实际意义
例1.（2023·全国·高二随堂练习）设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单位：km）表示这一点的海拔高度，y与x的函数关系为．若函数在处的导数，试解释它的实际意义．
变式1．（2023·全国·高二课堂例题）在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为．
(1)求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义；
(2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义．
变式2．（2023上·高二课时练习）某水管的流水量y（单位：）与时间t（单位：s）满足函数关系，其中．
(1)求在处的导数；
(2)的实际意义是什么？
(3)随着a的取值变化，是否发生变化？为什么？
变式3．（2023·全国·高二随堂练习）已知物体运动的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系为．求该函数在下列各点处的导数，并解释它们的实际意义：
(1)；
(2)；
(3)．
【方法技巧与总结】
结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量．
题型二：求函数在某点处的导数
例2.（2024高二课堂练习）设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________.
变式1.（2024高二课堂练习）设函数的导函数为，若，则等于（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
变式2.（2024高二课堂练习）已知函数在处的导数为，则 等于（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2024高二课堂练习）对于函数y＝f(x)＝，其导数值等于函数值的点是________．
变式4.【多选】（2024高二课堂练习）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求＝；
(3)当Δx趋于0时，得f′(x0)．
题型三：利用导数几何意义求切线方程
求曲线切线的斜率或倾斜角
例3.（2024高二课堂练习）曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
变式1.（2024高二课堂练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.
变式2.（2024高二课堂练习）曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45° B．60° C．135° D．120°
变式3.（2024高二课堂练习）已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．165°
（二）求在曲线一点处的切线方程
例4.（2024高二课堂练习）曲线在点处的切线方程为______．
变式1.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
变式2.（2024高二课堂练习）设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
（三）求过一点的切线方程
例5.（2024高二课堂练习）已知曲线方程为,求:
（1）点处的切线方程
（2）过点且与曲线相切的直线方程.
变式1.（2024高二课堂练习）求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
（四）已知切线（斜率）求参数
例6.（2024高二课堂练习）若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
变式1.（2024高二课堂练习）曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
变式2.（2024高二课堂练习）直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
变式3.（2024高二课堂练习）已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
（五）求切点坐标
例7.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
变式1.（2024高二课堂练习）【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024高二课堂练习）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为______.
（六）两曲线的公切线问题例8.（2024高二课堂练习）点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
【方法技巧与总结】
求曲线在某点处的切线方程的步骤
(1)求斜率：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f′(x0)；
(2)写方程：用点斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)写出切线方程；
(3)变形式：将点斜式变为一般式．
一、单选题
1．（2024上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）若函数在处可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·河北邯郸·高二校考阶段练习）设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ）
A．30° B．135° C．45° D．120°
4．（2023下·高二课时练习）若非常数函数f(x)在x＝x0处存在导数，则（ ）
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关 D．以上答案都不对
5．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．0
7．（2024上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知函数的导函数为，且，则实数（ ）
A．2 B．5 C． D．
二、多选题
8．（2023下·高二课时练习）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
9．（2022·全国·高二专题练习）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知函数，若，则 .
12．（2021·高二课时练习）已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为 ，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ．
13．（2023下·北京丰台·高二统考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．

14．（2023上·上海青浦·高三校考期中）已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 .
四、解答题
15．（2023上·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知函数
(1)写出；
(2)求出；
(3)求出；
(4)写出，，
16．（2023·全国·高二随堂练习）求函数在处切线的斜率．
17．（2023·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
18．（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
19．（2018·高二课时练习）已知点在曲线上，若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标.
20．（2021·高二课时练习）在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标．
(1)在点P处曲线E的切线平行于直线；
(2)在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°．
21．（2023下·高二课时练习）已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．2.2 导数的概念及其几何意义3种常见考法归类
课程标准 学习目标
通过函数图象直观理解导数的几何意义． 1.理解导数的概念及其几何意义．(数学抽象) 2．会求导数及理解导数的实际意义．(数学运算、数学抽象) 3．会求曲线的切线方程．(数学运算)
知识点01导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝=
【即学即练1】（2024高二课堂练习）设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解析】令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，
所以
＝ ＝f′(1)＝－1.故选B
【即学即练2】（2024高二课堂练习）已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
（1） ；
（2）
【解析】（1）由题意，，
因为，所以.
（2）由题意，，
因为，所以.
【即学即练3】（2024高二课堂练习）已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【解析】由题意，知f′(3)＝ ＝－2.故选B
知识点02　割线的定义
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
【即学即练4】（2023下·高二课时练习）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【分析】求出，计算割线斜率即可．
【详解】∵，
∴，
∴割线斜率为，
当时，割线的斜率为.
故选：A．
【即学即练5】（2023上·高二课时练习）函数的图像如图所示．

(1)求割线PQ的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P运动时，割线PQ的斜率会变大还是变小？
【答案】(1)
(2)变大
【分析】（1）由图确定割线所过的点，应用两点式求斜率即可；
（2）根据曲线的趋势判断向运动过程中割线斜率变化趋势.
【详解】（1）由题设，割线PQ过，则斜率；
（2）由曲线从左到右，由陡变缓，即P到Q过程中的切线斜率在变小，而PQ间任意两点的割线斜率都在Q、P处切线斜率范围内，
对于割线PQ，向运动过程中其斜率逐渐变大，并无限接近点处切线斜率，
所以当点Q沿曲线向点P运动时，割线PQ的斜率会变大.
知识点03　切线的定义
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
【即学即练6】（2024高二课堂练习）下列说法正确的是（ ）．
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，则不一定存在
【解析】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线在处的切线为：，即，切线与另一个交点为，
故选项A说法错误；
对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如与相切于点，同时经过另一点，可以说过点的直线与曲线相切，但切点是不是，故选项B不正确；
对于C：若不存在，曲线在点处可以有切线，如在时，不存在，但有切线，故选项C错误；
对于D：由曲线在一点处有平行于轴的切线，且在该点处不连续，则不一定存在，如在时，有切线，但不存在，故选项D正确，
故选：D．
知识点04　导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
【即学即练7】（2024高二课堂练习）设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【解析】因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.故选B
【即学即练8】（2024高二课堂练习）如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____．
【解析】函数的图象在点处的切线方程是，
，，
．
故答案为：．
题型一：在某一点处导数的实际意义
例1.（2023·全国·高二随堂练习）设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单位：km）表示这一点的海拔高度，y与x的函数关系为．若函数在处的导数，试解释它的实际意义．
【答案】见解析
【分析】由已知结合导数的定义分析即可.
【详解】,
表示河流从源头流到100 km处时海拔高度的瞬时变化率，
如果保持这一速度，每经过1 km，该河流的海拔高度下降0.1km
变式1．（2023·全国·高二课堂例题）在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为．
(1)求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义；
(2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】瞬时变化率即导数，根据导数的定义计算求解导数，再说明物理意义即可.
【详解】（1）s关于t的瞬时变化率就是函数的导数．
按定义计算：
．
，因此．
从物理学上看，s关于t的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度．
（2）运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，实际上就是函数的导数，记作．
按定义计算：
．
，所以．
从物理学上看，运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率就是运动物体的瞬时加速度．
变式2．（2023上·高二课时练习）某水管的流水量y（单位：）与时间t（单位：s）满足函数关系，其中．
(1)求在处的导数；
(2)的实际意义是什么？
(3)随着a的取值变化，是否发生变化？为什么？
【答案】(1)；
(2)的实际意义是时刻水流的瞬时速度；
(3)不发生变化，因为是常数函数；
【分析】（1）将求导，代入即可得；
（2）由导数的几何意义易知的实际意义是时刻水流的瞬时速度；
（3）由是常数函数可知随着a的取值变化，不发生变化；
【详解】（1）由可得；
将代入可得
（2）根据平均速度和瞬时速度与导数的几何意义，易知的实际意义是时刻水流的瞬时速度；
（3）随着a的取值变化，不发生变化，因为是常数函数；
变式3．（2023·全国·高二随堂练习）已知物体运动的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系为．求该函数在下列各点处的导数，并解释它们的实际意义：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，表示在时的速度为
(2)，表示在时的速度为
(3)，表示在时的速度为
【分析】求出函数的导函数，即可得到所求点处的导数值，结合物理知识说明其实际意义.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，表示在时的速度为；
（2），表示在时的速度为；
（3），表示在时的速度为；
【方法技巧与总结】
结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量．
题型二：求函数在某点处的导数
例2.（2024高二课堂练习）设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________.
【解析】∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－a.
变式1.（2024高二课堂练习）设函数的导函数为，若，则等于（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
【解析】根据题意，
，
又由，则.
故选：D.
变式2.（2024高二课堂练习）已知函数在处的导数为，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数在处的导数为，
所以，
所以，
故选：B.
变式3.（2024高二课堂练习）对于函数y＝f(x)＝，其导数值等于函数值的点是________．
【解析】　f′(x0)＝
＝
＝－.
由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
变式4.【多选】（2024高二课堂练习）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C满足；
对于D，，D不满足.
故选：AC
【方法技巧与总结】
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求＝；
(3)当Δx趋于0时，得f′(x0)．
题型三：利用导数几何意义求切线方程
求曲线切线的斜率或倾斜角
例3.（2024高二课堂练习）曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
【解析】k＝＝＝－1.
变式1.（2024高二课堂练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.
【解析】由，根据导数的定义，可得，所以，
即曲线在处的切线的斜率为.
故答案为：.
变式2.（2024高二课堂练习）曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45° B．60° C．135° D．120°
【解析】f′(x)＝
＝9 ＝－9 ＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.故选C
变式3.（2024高二课堂练习）已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．165°
【解析】　曲线y＝x2－2在点P处的切线斜率为
k＝ ＝ ＝1，
所以在点P处的切线的倾斜角为45°，故选B.
（二）求在曲线一点处的切线方程
例4.（2024高二课堂练习）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】利用导数定义求出在时的导数，即得切线斜率，点斜式写出切线方程即可.
【详解】因为，
当时，，
所以，即切线的斜率，
所以切线方程为，即．
故答案为：
变式1.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
【解析】　∵f′(x)＝
＝ ＝3x2，
∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，
∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.
令y＝0得切线与x轴的交点为，
由题设知三角形面积为|a3|＝，得a＝±1.
变式2.（2024高二课堂练习）设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据导数的定义求出曲线在点处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.
【详解】，
所以，故在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即．令，得，令，得，
所以，
故选：B
（三）求过一点的切线方程
例5.（2024高二课堂练习）已知曲线方程为,求:
（1）点处的切线方程
（2）过点且与曲线相切的直线方程.
【解析】(1) .
又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率,
故所求切线的方程为,即.
(2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为,
由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为.
又∵点在切线上,∴解得或.
∴切点坐标为,.
故所求切线方程为或,
即或.
变式1.（2024高二课堂练习）求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【解析】　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－3x＋x0，
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x－3x＋x0)
＝3xΔx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，
∴＝3x＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，
∴f′(x0)＝ ＝3x－6x0＋1.
∴切线方程为y－(x－3x＋x0)＝(3x－6x0＋1)·(x－x0)．
∵切线过原点，∴x－3x＋x0＝3x－6x＋x0，
即2x－3x＝0，∴x0＝0或x0＝，
故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.
（四）已知切线（斜率）求参数
例6.（2024高二课堂练习）若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
【解析】k＝
.
故答案为：1.
变式1.（2024高二课堂练习）曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
【解析】 上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
＝
＝ ＝<1，即k<1.
故选：C.
变式2.（2024高二课堂练习）直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
【解析】　设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝ ＝3x2－2x，
则f′(x0)＝3x－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－，
当x0＝1时，f(x0)＝x－x＋1＝1，
又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.
代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．
当x0＝－时，f(x0)＝3－2＋1＝.
将代入直线y＝x＋a中，得a＝.
变式3.（2024高二课堂练习）已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
【解析】　设点P(x0,2x＋a)．由导数的几何意义可得，
f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．
将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.
（五）求切点坐标
例7.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，
∴＝x＋Δx＋1，∴f′(x)＝ ＝x＋1.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.故选D
变式1.（2024高二课堂练习）【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】求出曲线的导数，利用直线平行可得，即可求出坐标.
【详解】设，
则
，
令，即，解得，
又，
所以P点坐标为或．
故选：BC．
变式2.（2024高二课堂练习）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为______.
【答案】
【分析】设切点，根据导数的几何意义以及导数的定义得，进而可以求出的值，进而得到结果.
【详解】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为.
故答案为：.
（六）两曲线的公切线问题
例8.（2024高二课堂练习）点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
【解析】设P(x0，y0)，
则y0＝x＋1，
f′(x0)＝ ＝2x0，
所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
【方法技巧与总结】
求曲线在某点处的切线方程的步骤
(1)求斜率：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f′(x0)；
(2)写方程：用点斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)写出切线方程；
(3)变形式：将点斜式变为一般式．
一、单选题
1．（2024上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接求解即得,
【详解】依题意，.
故选：C
2．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）若函数在处可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】函数在处可导，
.
故选：C.
3．（2023下·河北邯郸·高二校考阶段练习）设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ）
A．30° B．135° C．45° D．120°
【答案】B
【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解．
【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，
由，可得，
则曲线在处的斜率为，
则，，解得，
故选：B．
4．（2023下·高二课时练习）若非常数函数f(x)在x＝x0处存在导数，则（ ）
A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】解：因为，
所以结果仅与有关，而与h无关，
故选：B.
5．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的定义，直接代入求值.
【详解】根据导数的定义可知，
.
故选：B
6．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据导数的定义求得切线的斜率，根据直线垂直列方程，求得，进而求得正确答案.
【详解】依题意，，
则，
，
所以，所以.
故选：A
7．（2024上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知函数的导函数为，且，则实数（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得.
【详解】，
，解得.
故选：C.
二、多选题
8．（2023下·高二课时练习）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
【答案】BC
【分析】结合，，利用导数的相关知识即可判断.
【详解】因为，则的图象在处的切线斜率小于；
因为，所以的图象在处位于轴上方．
故选：BC.
9．（2022·全国·高二专题练习）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先设切点为，再利用导数的定义及几何意义求得，从而求得相应的，由此得解.
【详解】依题意，设切点坐标为，
因为，
所以，解得，
当时，；当时，；
综上：所求切点为或.
故选：BC.
10．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用导数的定义逐个求解.
【详解】，故A错；
，故B对；
，由导数的定义知C对；
，故D对；
故选：BCD
三、填空题
11．（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】由导数定义构造计算可以得到结果.
【详解】，
又，，
所以.
故答案为：.
12．（2021·高二课时练习）已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为 ，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先利用已知条件得到两曲线的交点坐标，再利用导数的定义得到，利用导数的几何意义以及点斜式写直线方程即可.
【详解】由，
得，
∴两曲线的交点坐标为．
由，
得＝，
∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，
即．
故答案为：；.
13．（2023下·北京丰台·高二统考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．

【答案】1
【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.
【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为，
根据导数的定义，可得.
故答案为：1．
14．（2023上·上海青浦·高三校考期中）已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得.
【详解】由点在直线上，得，又曲线在点处的切线方程为，
则，而，所以.
故答案为：
四、解答题
15．（2023上·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知函数
(1)写出；
(2)求出；
(3)求出；
(4)写出，，
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，，
【分析】（1）代入直接计算即可；
（2）直接作商即可求解；
（3）直接进行简单极限运算；
（4）利用导函数概念求解导函数，代入法求解，.
【详解】（1）
；
（2）；
（3）；
（4）由（2）知，
则，.
16．（2023·全国·高二随堂练习）求函数在处切线的斜率．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义即可求得在处的斜率.
【详解】因为，
所以，则，
所以在处的斜率为.
17．（2023·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S．
【答案】.
【分析】根据导数的定义可求出，根据导数的几何意义，可得，进而求出切线方程以及切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出结果.
【详解】
，
根据导数的概念可得，
，
所以，则，
根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率，
所以曲线在点处的切线的方程为，即．
令，得；令，得．
由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为与，所以所求三角形的面积．
18．（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
【答案】(1)12
(2)或
【分析】（1）根据导数的定义即可求解；
（2）根据导数的几何意义可求得切线的斜率，根据点斜式可写出方程，从而可解.
【详解】（1）因为，
所以，
则．
（2），
设切点，则切线的斜率为，
故切线方程为，
将点代入得，
即，得，解得或，
所以切线方程为或．
19．（2018·高二课时练习）已知点在曲线上，若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标.
【答案】或.
【分析】先设的坐标为，计算在点处的切线方程，再由切线与相切，联立方程组，令即可求得结果.
【详解】设点，易知曲线在点处的切线的斜率存在，设为，
＝＝，
当时，，即，
所以切线方程为，即，
由题意知此直线与曲线相切.
由，得，
令，解得，此时，
所以点的坐标为或.
20．（2021·高二课时练习）在曲线E：上求出满足下列条件的点P的坐标．
(1)在点P处曲线E的切线平行于直线；
(2)在点P处曲线E的切线的倾斜角是135°．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先通过瞬时变化率求出导函数，再根据切线斜率即可求出切点；
（2）先根据倾斜角求出斜率，再根据斜率即可求出切点.
【详解】（1）．
设为所求的点．
因为切线与直线平行，所以，
解得，所以，
即．
（2）因为切线的倾斜角是135°，
所以其斜率为，即，解得．
所以，即．
21．（2023下·高二课时练习）已知函数．
(1)求函数的导函数；
(2)过点作函数的图象的切线，求切线方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可；
（2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可.
【详解】（1）
，
当时，，
所以函数的导函数为．
（2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率，
则切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
从而切线方程为或．

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