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2.3 导数的计算3种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数． 3．会使用导数公式表． 1.了解用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
知识点01基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
1 （常数的导数为0）
2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
（熟记）
3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a
6 f(x)＝ex f′(x)＝ex
7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝
8 f(x)＝ln x f′(x)＝
注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．
③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝.
【即学即练1】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝()x
(7)；(8)y＝cosx；
【解析】(1)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
(2)y′＝－2·x－3＝－.
(3)y′＝(x14)′＝14x13.
(4)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(5)y′＝()′＝()′＝＝ .
(6)y′＝[()x]′＝()x·ln＝－()xln3.
(7)y′＝(log3x)′＝.
(8)y′＝(cosx)′＝－sinx.
【即学即练2】（2023下·高二课时练习）已知，则 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：
【即学即练3】（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数在区间处的瞬时变化率为 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的求导法则得出，进而根据导数的定义代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
根据导数的定义可知，
函数在区间处的瞬时变化率为.
故答案为：3.
题型一：利用导数公式求函数的导数
【方法技巧与总结】
求简单函数的导数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．　
例1.【多选】（2024高二课堂练习）下列选项正确的是(　　)
A．y＝ln 2，则y′＝
B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2xln 2
D．y＝log2x，则y′＝
【解析】对于A，y′＝0，故A错；对于B，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故B正确；
显然C，D正确．故选BCD
变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
【解析】(1)y′＝0.
(2)y′＝xln ＝－xln 3.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝，
∴y′＝＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
题型二：利用导数公式求函数在某点处的导数
例2.（2024高二课堂练习）已知函数的导数为，则等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】因为，所以.故选：A
变式1.（2023·全国·高二随堂练习）求函数在处的导数．
【答案】
【分析】根据导数求导公式计算即得.
【详解】，
.
故函数在处的导数为.
变式2.（2024高二课堂练习）已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（ ）
A．4 B．－4 C．5 D．－5
【解析】∵，，解得a＝4.故选：A.
变式3.（2023下·广东江门·高二校考期中）若，且，则 ．
【答案】/
【分析】求导代入求解即可.
【详解】则，又，故，解得.
故答案为：
变式4.【多选】（2024上·云南昭通·高三校考阶段练习）已知函数，且，则的值可以为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】AB
【分析】应用基本函数求导即可.
【详解】，则，则.
故选：AB
变式5.（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知，，且，则 .
【答案】
【分析】对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得.
【详解】由，求导得，则，由，求导得，
所以.
故答案为：
【方法技巧与总结】
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
题型三：利用导数公式解决与曲线的切线有关的问题
例3.（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）曲线在点处的切线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数公式及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】
所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线的方程是，即.
故选：A.
变式1.（2024·全国·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数定义解方程并利用单调性可得，再由导数的几何意义即可求得结果.
【详解】由于为幂函数，则，解得或，
又在上单调递减，得，即，故，
则，
可得，，则，
故曲线在处的切线方程为，即，
故选：C．
变式2.（2024高二课堂练习）与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
【解析】∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.故答案为：2x－y－1－ln 2＝0
变式3.【多选】（2024上·福建福州·高二校联考期末）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由题意求出切线斜率，进而设出切点P的坐标，然后对函数求导，根据导数的几何意义求得答案.
【详解】易知切线斜率为，设，而，所以，则点P的坐标为或.
故选：AB.
变式4.（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
【答案】/
【分析】先利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得切线与坐标轴的交点，由此得解.
【详解】因为，所以，则，
又，所以切线方程为，即，
则切线与坐标轴的交点为，，
则所求周长为.
故答案为：.
变式5.（2024高二课堂练习）已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
【解析】设切点为，由求导得，
因直线与曲线相切，则，解得，则，
而切点在直线上，即，于是得，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以当时，取最大值1.
故答案为：1
【方法技巧与总结】
求曲线方程或切线方程时的三点注意
1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
一、单选题
1．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由初等函数导数公式求导.
【详解】，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D错误.
故选：A
2．（2023下·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据常数函数的求导公式求解即可.
【详解】由，则
故选：D
3．（2023下·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的导数公式可判断.
【详解】由，所以函数是常函数，
.
故选：D.
4．（2023下·广西桂林·高二统考期末）函数的导函数（ ）
A． B． C．e D．x
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案.
【详解】由可得，
故选：A
5．（2023上·高二课前预习）下列运算正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的求导法则逐一验算即可.
【详解】对于A，因为，所以A错误；
对于B，因为，所以B错误；
对于C，因为，所以C错误；
对于D，因为，所以D正确．
故选：D.
6．（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）下列函数中，导函数错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则（且）
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】利用基本函数的导数和求导法则，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】选项A，因为，根据基本函数的导数知，，故选项A正确，不合题意；
选项B，，所以，故选项B错误，
选项C，，根据基本函数的求导法则知，，故选项C正确，不合题意；
选项D，，根据基本函数的导数知，，故选项D正确，不合题意；
故选：B.
7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．-3 B． C．1 D．-3或1
【答案】A
【分析】根据题意可设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，求导从而得出直线的斜率，进而求得直线的方程，然后结合题意可分析出直线与直线之间的距离为，求得的值，再分析验证是否满足题意即可.
【详解】依题意，设直线与直线平行，且与曲线的图象相切于点，
对于，定义域为，则，
所以有，直线的斜率，
又因为直线与直线平行，则有，解得：，
则，故点的坐标为，所以直线的方程为：，
若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，
必有直线到直线的距离为，则有，解得：或，
当时，直线即为与曲线没有交点，
曲线上只有个点到直线的距离为，不符合题意；
当时，直线即为与曲线有个交点，
曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，
一个点为点，剩余的两个点则在直线的右下方，符合题意；
故.
故选：A.
8．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）已知，，，…，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的导函数分析可得，，进而可得结果.
【详解】因为，，，
可得：，
即，，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．（2023下·高二课时练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：若，则，则C正确
对于D：当时，，故D错误；
故选：ABC
10．（2023下·浙江绍兴·高二校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用基本初等函数的导数公式对各函数求导即可判断正误.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，对；
D：，则，对.
故选：ACD
11．（2023下·黑龙江牡丹江·高二校考阶段练习）下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据导数的几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可.
【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意；
对于B，由，可得，有解，所以B符合题意；
对于C，由，可得，有解，所以C符合题意；
对于D，由，可得，有解，所以D符合题意.
故选：BCD.
12．（2023下·高二课时练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，求出，即可求出点坐标.
【详解】因为，所以，因为，
所以，所以，当，；当，；
则点坐标为或．
故选：BC
13．（2023下·江西·高二校联考期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.
【详解】设过点的切线与曲线相切于点，
因为，则曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，解得或，
故切线方程为或.
故选：BC.
三、填空题
14．（2023下·高二课时练习）已知函数是曲线的一条切线，则 .
【答案】/
【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由切点在曲线与切线上，即可求出，从而得解.
【详解】设切点为，∵，∴，∴，
∴切线方程为，又点在曲线上，
∴，∴，∴，∴.
故答案为：
15．（2023·四川雅安·校考模拟预测）若，则在点处的切线与坐标轴所围成的面积为 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义及三角形面积公式计算即可.
【详解】易知，
又，所以在处的切线方程为：，
则切线与坐标轴的交点分别为，围成的三角形面积为.
故答案为：
16．（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
【答案】/
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率，利用两直线垂直时，直线的斜率之积为可求得实数的值.
【详解】对函数求导得，则，
因为直线的斜率为，
且曲线在点处的切线与直线垂直，
则，可得，解得.
故答案为：.
17．（2023上·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为
【答案】
【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的直线方程，再利用两平行线间的距离公式可得所求的最小距离．
【详解】因为，所以，
令，得，
所以与直线平行且与抛物线相切的切点，
切线方程为，即，
由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离.
故答案为：.

18．（2024上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）已知，是的导函数.则当时，函数的值域是 .
【答案】
【分析】根据求导公式及两角和正弦公式化简后，根据自变量范围求正弦函数值域即可.
【详解】因为，所以，
，
当时，，
所以，，
故答案为：
四、解答题
19．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可.
【详解】（1），
.
（2）.
（3）.
（4），
.
（5），
.
（6）.
（7）.
（8）.
20．（2023上·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据初等函数的求导公式分别计算即可求解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
21．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式求解；
（2）利用基本初等函数的导数公式求解.
【详解】（1）.
（2）.
22．（2023上·高二课时练习）设实数且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用换底公式可得，再利用导数表公式即可求出结果.
【详解】证明：先用换底公式，有，
再由对数函数的求导公式，
得到,
即，得出证明.
23．（2023·全国·高二随堂练习）求函数在下列各点处的导数，并说明它们的几何意义：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，几何意义见解析
(2)，几何意义见解析
(3)，几何意义见解析
【分析】根据基本初等函数的导数公式，求得，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，可得，
根据导数的几何意义知，曲线在处的切线的斜率为.
（2）解：由，可得
根据导数的几何意义知，曲线在处的切线的斜率为.
（3）解：由，可得
根据导数的几何意义知，曲线在处的切线的斜率为.
24．（2023·全国·高二随堂练习）求曲线的一条与直线平行的切线的方程．
【答案】
【分析】设出切点，求导，得到方程，求出切点，写出切线方程.
【详解】，令切点为，故，
令，解得，
故切点为，所以切线方程为，
整理得.
故切线方程为.
25．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知函数.
(1)求该函数在处的切线方程；
(2)求该函数过原点的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入得到切点坐标，再求导代入得出斜率，写出切线方程即可；
（2）设切点，切线方程为，根据导数含义得， ，代入切点横坐标得到其纵坐标为1，再代回函数解析式得到切点坐标，最后写出切方程即可.
【详解】（1）当时，，所以此时切点为，
由可得，
所以切线的斜率为，
则利用点斜式方程可得到，即，
（2）显然切线斜率不存在时，不合题意，
故设切线方程为，切点，斜率，
，又因为切点在上，
，当时，，
，切线方程为，即.2.3 导数的计算3种常见考法归类
课程标准 学习目标
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数． 3．会使用导数公式表． 1.了解用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
知识点01基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
1 （常数的导数为0）
2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
（熟记）
3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a
6 f(x)＝ex f′(x)＝ex
7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝
8 f(x)＝ln x f′(x)＝
注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．
③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝.
【即学即练1】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝()x
(7)；(8)y＝cosx；
【即学即练2】（2023下·高二课时练习）已知，则 .
【即学即练3】（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数在区间处的瞬时变化率为 .
题型一：利用导数公式求函数的导数
【方法技巧与总结】
求简单函数的导数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．　
例1.【多选】（2024高二课堂练习）下列选项正确的是(　　)
A．y＝ln 2，则y′＝
B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2xln 2
D．y＝log2x，则y′＝
变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
题型二：利用导数公式求函数在某点处的导数
例2.（2024高二课堂练习）已知函数的导数为，则等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
变式1.（2023·全国·高二随堂练习）求函数在处的导数．
变式2.（2024高二课堂练习）已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（ ）
A．4 B．－4 C．5 D．－5
变式3.（2023下·广东江门·高二校考期中）若，且，则 ．
变式4.【多选】（2024上·云南昭通·高三校考阶段练习）已知函数，且，则的值可以为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
变式5.（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知，，且，则 .
【方法技巧与总结】
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
题型三：利用导数公式解决与曲线的切线有关的问题
例3.（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）曲线在点处的切线的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·全国·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2.（2024高二课堂练习）与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
变式3.【多选】（2024上·福建福州·高二校联考期末）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
变式5.（2024高二课堂练习）已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
【方法技巧与总结】
求曲线方程或切线方程时的三点注意
1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
一、单选题
1．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．0
3．（2023下·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C．1 D．0
4．（2023下·广西桂林·高二统考期末）函数的导函数（ ）
A． B． C．e D．x
5．（2023上·高二课前预习）下列运算正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
6．（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）下列函数中，导函数错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则（且）
C．若，则
D．若，则
7．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．-3 B． C．1 D．-3或1
8．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）已知，，，…，，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·高二课时练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2023下·浙江绍兴·高二校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2023下·黑龙江牡丹江·高二校考阶段练习）下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023下·高二课时练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·江西·高二校联考期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
14．（2023下·高二课时练习）已知函数是曲线的一条切线，则 .
15．（2023·四川雅安·校考模拟预测）若，则在点处的切线与坐标轴所围成的面积为 ．
16．（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
17．（2023上·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为
18．（2024上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）已知，是的导函数.则当时，函数的值域是 .
四、解答题
19．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
20．（2023上·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
21．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
22．（2023上·高二课时练习）设实数且，求证：．
23．（2023·全国·高二随堂练习）求函数在下列各点处的导数，并说明它们的几何意义：
(1)；
(2)；
(3)．
24．（2023·全国·高二随堂练习）求曲线的一条与直线平行的切线的方程．
25．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知函数.
(1)求该函数在处的切线方程；
(2)求该函数过原点的切线方程.

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