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【第二练】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
2.利用对数解决实际问题，锻炼数学建模能力，如第4题.
3.能够灵活应用对数的运算性质解题，培养数学运算，如第12题.
4.能利用换底公式进行解题，锻炼逻辑推理能力，运算求解能力，如第8，11题.
（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）
1．（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
（2023上·广东深圳·高一校考期中）
2．己知，，.则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
（2023上·北京·高一北京市第二十二中学校考期中）
3．有以下四个结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
（2019·北京卷）
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）
5．设，，则的值为（ ）
A． B． C．27 D．26
（2023·江西省景德镇一中期末）
6．已知，，且满足，，则的可能取值为（ ）
A． B．3 C． D．9
（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考期中）
7．以下计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·广东省汕头市期中）
8．若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为 .
9．设集合与恰有一个公共元素为a，则实数a= ．
（2023·上海中学期中）
10．若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ．
11．计算:
.
（2023上·四川达州·高一四川省宣汉中学校考阶段练习
12．（1）;
（2）.
13．若是方程的两个实根，求的值．
【易错题目】第1，3，5，8，10，11，12，13题.
典例 （2023上·重庆·高一重庆巴蜀中学校考期中）设，，均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
A选项，，所以A选项错误.
BD选项，由于，
所以B选项错误，D选项正确.
C选项，不妨设，则，
此时，所以C选项错误.
故选：D
【复盘训练】
（2023上·云南红河·高一校考阶段练习）
14．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
（2023·全国·模拟预测）
15．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
16．设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
（2023·安徽省安庆市期末）
17．若 ；
（2023上·广东深圳·高一深圳中学校考期中）
18．已知a，b是方程的两个实数根，则 ．
（2023上·吉林长春·高一长春市第八中学校考期中）
19．（1）计算：
（2）求下列式中的的值：；
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】根据指对数的运算即可求出结果.
【详解】因为，
故选：C.
2．B
【分析】由对数的运算性质得出即可.
【详解】由，所以，
故选：B
3．B
【分析】利用对数的性质判断AB；利用指数式与对数式的互化判断CD.
【详解】对于A，由于，而0和负数没有对数，则无意义，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，C错误；
对于D，由，得，D错误.
故选：B
4．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
5．B
【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
6．BD
【分析】根据指对互化得和对数的运算性质得，代入得到关于的方程，解出即可.
【详解】，
则由可得,
，
即，
解得或，
或.
故选：BD.
7．BCD
【分析】利用对数的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，
正确；
故选：BCD
8．1
【分析】设，进而利用对数性质和换底公式求解即可．
【详解】由题意，正实数a、b、c均不为1，
设，
则，，，
即，，，
由，得，
即，即.
故答案为：1.
9．6
【详解】因为a-1≠a，a+1≠a，所以公共元素为，解得b=8，．
故答案为6
10．
【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】对任意的，代数式有意义，
则对任意的，且，
当时，则且，解得且，不合乎题意；
当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知，
对任意的，，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
11．13
【解析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.
【详解】(方法一)原式
.
(方法二)原式
.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.
12．（1）3；（2）
【分析】（1）根据对数运算公式求解.
（2）根据对数运算与指数运算公式求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
13．
【分析】令，将方程化为，利用韦达定理可求得和，将所求式子利用对数运算法则进行转化，代入和即可求得结果.
【详解】原方程可转化为，令，则，
设方程的两根为，可设，，
.
14．C
【分析】由1的对数等于0，同底数的对数等于1，列式求解x，y的值，则答案可求．
【详解】由，，
，，
.
故选：C.
15．D
【分析】根据对数运算法则化简，从而得到，又，即可得到结果.
【详解】，
，
,
又,
，.
故选：D.
16．D
【详解】令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
17．12
【分析】根据对数的运算性质，结合对数式与指数式的恒等式进行计算即可
【详解】．
故答案为：12
18．##2.5
【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得，，代入运算求解即可.
【详解】方法一：因为a，b是方程的两个实数根，
由韦达定理得，，
则，
即；
方法二：因为的根为或，
不妨设，，则，，
所以．
故答案为：.
19．（1）5；（2）.
【分析】（1）利用指数运算、对数运算计算得解.
（2）利用对数的意义，列式求解即得.
【详解】（1）原式.
（2）由，得，解得，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】4.3.1对数的概念＋4.3.2对数的运算
题型一: 对数的定义及其应用
例1. （2023·湖北荆州期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题得，解出即可.
【详解】根据真数大于0得，解得，
故答案为：.
【方法总结】指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【变式训练1-1】（2023上·高一课时练习）
1．若，则x的值为 ．
【变式训练1-1】（2022·湖南益阳期中）
2．使得表达式有意义的x范围是 ．
题型二: 对数性质的应用
例2. （2023·广东东莞·高一校联考期中）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AB
【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项
【详解】①，正确；
②根据指数式和对数式的互化可知其正确；
③，错误；
④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误.
故选：AB
【方法总结】(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.
(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N.
【变式训练2-1】（2023·高一专题练习）
3．若，则x的值等于 ．
【变式训练2-2】（2023上·高一课时练习）
4．已知，则的值为 ．
题型三: 对数式与指数式的互化及其应用
例3.（2023上·高一课时练习）将化为对数式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指对互化即可求解.
【详解】化为对数式：，
故选：B
【提醒】指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【变式训练3-1】（2023上·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）
5．已知，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【变式训练3-2】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）
6．已知，则 ．
题型四: 对数运算性质的应用
例4. 化简：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
【方法总结】利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【变式训练4-1】（2023上·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）
7．求值： ．
【变式训练4-2】（2023上·江苏常州·高一统考期中）
8．
题型五:用换底公式化简求值
例5. （2023上·江苏宿迁·高一统考期中）已知，则 ．（用表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，利用换底公式求解即得.
【详解】由，得，又，
所以.
故答案为：
【方法总结】换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
【变式训练5-1】（2023上·河南·高一校联考期中）
9．若，且，则实数 ．
【变式训练5-2】（2023上·吉林长春·高一长春市第二中学校考期中）
10．设，且，则（ ）
A． B．10 C．100 D．1000
题型六:对数与指数的综合应用
例6. （2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）计算 .
【答案】2
【分析】利用指数及对数运算法则计算即可求得结果.
【详解】根据题意可得：
；
故答案为：2
【提醒】熟记指数、对数的运算性质，不混淆.
【变式训练6-1】（2023上·上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）
11．若方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．6 C．36 D．1
【变式训练6-2】（2023上·江苏南京·高一校联考期中）
12．以下运算中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
题型七: 对数运算的实际应用
例7. (2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　)
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】对于A，当T＝220，P＝1 026时，lg P＝lg 1 026>lg 103＝3，根据图象可知，二氧化碳处于固态；
对于B，当T＝270，P＝128时，lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于液态；
对于C，当T＝300，P＝9 987时，lg P＝lg 9 987对于D，当T＝360，P＝729时，lg P＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P＝lg 729∈(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故选D.
【方法总结】解决对数应用题的一般步骤
（1）审题---理解题意，弄清关键字词及字母的含义.
（2）建模---根据已知条件，列出函数关系式.
（3）解模---应用数学知识解决问题.
（4）回归---还原为实际问题，归纳得结论.
【变式训练7-1】
13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
【变式训练7-2】（2023上·重庆永川·高三重庆市永川萱花中学校校考期中）
14．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（ ）天．（参考数据：）
A．20 B．30 C．40 D．50
易错点1 对数运算性质记忆或理解有误
例1 计算：（ ）
A．2 B． C． D．1
【错解一】原式，故选A．
【错解二】原式，故选B．
【错解三】原式，故选C．
【错因分析】将对数运算性质“”误用为“”或“”导致错误；另外，对和的含义混淆不清，将对数运算性质“”误用为“”导致出错，均属于知识性错误．还有就是无法很好地结合式子的结构及对数的运算性质进行有效的变形，导致无法得出正确结果．
【解析】原式，故选D．
【答案】D
易错警示 要把握住对数运算性质的本质特征，熟记公式，防止应用时出现错误．
针对训练1-1:
15．计算：
(1)；
(2)．
针对训练1-2:
16．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)举出一个反例说明不成立；
(2)证明：.
易错点2 变形中忽视条件的等价性
例2 解方程：．
【错解】原方程变形为，
∴，
∴，∴，
∴，∴或，
故原方程的解为或．
【错因分析】解题过程中忽视对数中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义，另外在运用对数的运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．
【解析】∵，∴，
∴解得．
∴方程的解为．
易错警示 在进行对数运算变形时，一定要注意变形前后未知数的范围有没有发生变化，避免产生增根或丢根的错误．
针对训练2-1:
17．若，则x的值为 ．
针对训练2-2:
18．若，，则的值是 .
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．4
【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
即，解得．
故答案为：4.
2．
【分析】根据对数的真数大于0求解即可.
【详解】式子要有意义，则，
解得，
所以x范围是.
故答案为：.
3．
【分析】通过指对互化即可求解．
【详解】因为，所以，
所以
故答案为：.
4．288
【分析】先根据条件求出，再利用公式可得答案.
【详解】因为，所以，所以，
即，
.
故答案为：288
5．C
【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解．
【详解】由得，即，又且，所以，
故选：C．
6．##
【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合指数运算法则求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
7．8
【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.
【详解】由题意得，，，
，，
所以原式.
故答案为：8
8．11
【分析】根据指对运算公式求解.
【详解】
故答案为：11
9．9
【分析】先指对互化可得，再结合换底公式以及对数的运算性质求解.
【详解】因为，可知，
又因为，即，
由换底公式得，则，
即，解得．
故答案为：9．
10．C
【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式即可得，计算可得.
【详解】根据题意由可得，
所以，
即可得，即.
故选：C
11．C
【分析】由根与系数关系得，再应用指数运算性质及指对数关系求目标式的值.
【详解】方程的两根为，所以，
由.
故选：C
12．ACD
【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质依次判断选项即可.
【详解】A项：由，，，故A项正确；
B项：由，得，所以：，得：，故B项错误；
C项：，故C项正确.
D项：，故D项正确.
故选：ACD.
13．D
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
14．D
【分析】根据已知列方程，然后取对数求解．
【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的3倍，
则，两边取对数得，
∴，，
故选：D．
15．(1)1
(2)1
【分析】（1）（2）利用对数的运算法则进行求解即可.
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
16．(1)当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）；
(2)证明见解析.
【分析】（1）选取符合要求的M与N的值即可；（2）利用指数式与对数式的互化进行证明.
【详解】（1）假设，
则，，
.
因为，
所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）
（2）令，则
，，
所以.
17．2
【分析】利用对数运算法则解对数方程即可得解.
【详解】方法一：由，可知，
故，解得．
方法二：由得，解得或．
经检验，当时，对数无意义，舍去，因而x的值为2．
故答案为：.
18．3
【分析】根据给定条件结合指数、对数运算法则变形，指数式与对数式的互化求出x，y即可计算作答.
【详解】由得：，即，解得，
由得：，整理得：，
解得：或(舍去)，则有，即，
所以.
故答案为：3
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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