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【第一练】4.4.1对数函数的概念＋4.4.2对数函数的图象和性质
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会判断对数函数的图象，培养直观想象，如第1题.
2.会求对数型函数的定义域、单调性、奇偶性，锻炼运算求解能力，如第4，5，7题.
3.能够灵活应用对数函数的性质求解相关问题，培养逻辑推理，数学运算，如第6题.
4.能利用对数函数的图象性质解题，锻炼数形结合能力，如第3，8，9题.
1．函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是 .
①；②；③；④.
3．画出函数与的图象，指出这两个函数图象之间的关系.
4．求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
5．判断下列函数的单调性：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
6．比较下列各组数中两个数的大小：
（1），； （2），；
（3），； （4），.
7．证明：函数在定义域上是减函数.
8．画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系.
9．设a与b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a与b的值.
10．已知，求证：
（1）；
（2）.
11．证明：函数（）是奇函数.
12．设a，b，c，d均为不等于1的正实数，如图，已知函数，，，的图象分别是曲线，，，，试判断0，1，a，b，c，d的大小关系，并用“<”连接起来.
13．已知函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若存在互不相等的实数，使，求的值．
14．（1）解不等式：；
（2） 定义在R上的偶函数在区间上是增函数，解不等式．
【易错题目】第5，7，9，14题.
【复盘要点】
理解对数函数的性质，弄清对数函数的底数的变化时其图象的影响会发生变化.
【复盘训练】
（2023上·北京·高一校考阶段练习）
15．集合，则间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）
16．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）
17．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
19．函数的定义域为 .
20．如图是对数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应于的a的值依次是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】用排除法，由函数值如，排除B，排除A，D是一次函数也排除，只有C符合．
【详解】由图象过知B不正确，
由知A不正确，由图象为曲线知D不正确，
所以应选C.
故答案为：C
【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除．
2．①③
【解析】验证按照这个函数关系是定义域，是值域，或是定义域，是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同．
【详解】①当时，的值域为B.
②当时，，但.
③当时，的值域为A.
④当时，.
∴能体现A，B对应关系的是①③.
故答案为：①③
【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题．
3．图象见解析，它们的图象关于轴对称.
【分析】画出图象，然后可得它们图象之间的关系.
【详解】函数与的图象如下：
由图可得，它们的图象关于轴对称.
4．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】求定义域常见的几种形式：分母不为0，真数大于0，非0数的0次方等于1，根据式子的特点求解即可.
【详解】（1） 即 ，定义域为 ；
（2），即 ，定义域为；
（3） ，定义域为；
（4） ，即 ，定义域为；
5．（1）在上单调递增；（2）在上单调递减；（3）在上单调递增；（4）在上单调递减；
【分析】（1）根据对数函数的性质判断可得；
（2）根据对数函数的性质判断可得；
（3）根据复合函数的单调性法则判断可得；
（4）根据复合函数的单调性法则判断可得；
【详解】解：（1）在上单调递增；
（2）在上单调递减；
（3）因为，令，解得，所以函数的定义域为，又因为与上单调递增，所以函数在上单调递增；
（4）因为，令，解得，所以函数的定义域为；
又因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在上单调递减；
6．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根据对数函数的单调性，比较可得答案.
【详解】解：（1）因为函数在上单调递增，且，所以，综上所述：；
（2）因为函数在上单调递减，且，所以，综上所述：；
（3）因为函数在上单调递增，且，所以，综上所述：；
（4）因为函数在上单调递增，且，所以，综上所述：.
7．证明见解析
【分析】先求得函数的定义域，结合一次函数、对数函数的运算性质，以及函数单调性的定义，即可求解.
【详解】由题意，函数，令，解得，即函数的定义域为，
设，由一次函数的性质，可得在上为单调递增函数，
任取，且，可得
所以，
即，所以在定义域上是减函数.
8．函数图象见解析，由向左平移2个单位长度得到函数；
【分析】根据函数平移规则得到两个函数之间的关系与函数图象；
【详解】解：由向左平移个单位长度得到，
由向右平移个单位长度得到，
故由向左平移2个单位长度得到函数；
函数图象如下所示：
9．，
【分析】由图象可知，函数图象过点，将点的坐标代入函数中，可得关于的方程组，从而可求出的值
【详解】由图象可知，函数的图象过点，
所以，且，
由，得，解得，
则，得，
所以，
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由对数式与指数式的关系的证明；
（2）由对数式与指数式的关系的证明．
【详解】证明：设，则，
（1），所以，
即；
（2），所以，
即．
11．证明见解析.
【分析】算出即可.
【详解】因为的定义域是，
所以函数（）是奇函数
12．
【分析】作直线，从而确定与四个函数的四个交点，数形结合解决
【详解】如下图，作直线，从而可与函数，，，的图象有四个交点，分别为，，，，从而可得：
13．（1）图象见解析；（2）ab＝1.
【分析】（1）先将函数表示为分段的形式，再画函数图象；
（2）结合函数图象，不妨设，得到，解得．
【详解】解：（1），函数图象如下所示：
（2）由图可知，要使且，
则，一个比1小，一个比1大，
不妨设，
则，，
所以，
即，所以，
故的值为1．
14．（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解不等式组即可；
（2）由不等式，结合函数的奇偶性和单调性可得或，由此求得不等式的解集．
【详解】（1） 由已知可得，解得或，解得，
即或.所以不等式的解集为．
（2） 因为是R上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数．
又因为，所以或，解得或.
故不等式的解集为．
15．B
【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系.
【详解】，得，则，
，得，则，
所以.
故选：B
16．C
【分析】根据对数不等式可得，即可由必要不充分条件的定义判断.
【详解】由可得，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
17．C
【分析】根据指数函数、对数函数单调性分析判断.
【详解】因为，可知在内均为增函数，
且，可得，，故A错误，C正确；
又因为，可知在内均为减函数，
且，可得，，故BD错误；
故选：C.
18．B
【分析】先求出的定义域关于原点对称，再证明，即得解.
【详解】解：∵恒成立，∴的定义域为R，关于原点对称.
又∵，
∴为偶函数.
故选：B.
19．
【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
20．，，，
【分析】当底数大于1，当时底数大的图低(第一象限内)，底数大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)；或者由，得(即交点的横坐标等于底数)，比较即可.
【详解】方法一：的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)，所以对应的a值分别为，，
的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)，所以对应的a值分别为，，
综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，.
方法二：如图，作直线y＝1与四条曲线交于四点，
由，得(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以对应的a值分别为，，，.
故答案为：，，，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】4.4.1对数函数的概念＋4.4.2对数函数的图象和性质
【课标要求】
1.理解对数函数的概念.
2.会求与对数函数有关的定义域问题.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
4.掌握对数函数的图象及简单应用.
5.会利用对数函数的单调性比较大小.
6.进一步理解对数函数的图象和性质.
7.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.
【明确任务】
1.会判断对数函数.【数学抽象】
2.会利用对数函数的图象性质求解相关问题.
【数学运算、直观想象】
概念 如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN（a>0，且a≠1） loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N（a>0，且a≠1）
运算法则 loga（M·N）＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM（n∈R）
a>0，且a≠1，M>0，N>0
换底公式 logab＝（a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0）
核心知识点1: 对数函数的概念
一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是．
特别地，以10为底的对数函数叫常用对数函数，以无理数e为底的对数函数叫自然对数函数．
解读：
判断一个函数是不是对数函数的依据（方法）
（1）形如且系数为1；
（2）底数，且；
（3）真数为x，而不是含x的表达式；
（4）整体只有1项．
例如，，都不是对数函数，可称为对数型函数．
例1.[多选题]下列函数中为对数函数的是（ ）
A． B．
C． D．（是常数）
解析 对于A，真数是，故A不是对数函数；
对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数；
对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数；
对于D，底数，真数是，故D是对数函数．
答案 CD
归纳总结:在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．
【举一反三】
1．指出下列函数中，哪些是对数函数？
①；
②；
③；
④；
⑤．
核心知识点2：对数函数的图象及其性质
一般地，对数函数（，且）的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域 R
定点 函数图象恒过点，即时，
函数值的正负 当时，；当时， 当时，；当时，
单调性 在上为增函数 在上为减函数
解读：
1.画对数函数（，且）的图象应抓住三个特征点：，，．
2．函数（，且）与函数（，且）的关系
在同一平面直角坐标系中作出（，且）与（，且）的图象时，可以发现，两函数图象关于x轴对称．
例如，函数与函数的图象关于x轴对称，如图所示．
3．不同底数的对数函数图象间的相对位置关系
对于不同底数的对数函数，在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，则由图知．
例2.（2023·浙江省嘉兴市期末）若函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】令，可得，当时，，所以函数图象恒过点．
归纳总结 ：由于对数函数（，且）的图象过定点，则求函数（，且）的图象所过的定点时，只需令，求出方程的根，即得定点为．
【举一反三】
2．函数（，且）的图象恒过定点 ．
核心知识点3: 互为反函数的两个函数的图象间的关系
1.反函数的概念
一般地，函数中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到．如果y在C中的任何取值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，则就表示x是关于自变量y的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．
对数函数，且与指数函数，且互为反函数.例如，与互为反函数．
2．互为反函数的两个函数的图象性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立．
（3）互为反函数的两个函数的单调性相同．
（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
（5）单调函数必有反函数．
例3.（2023·云南省玉溪市期中）设函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】方法一 令，可得，即在指数函数的图象上，则在反函数的图象上，所以．
方法二 因为指数函数和对数函数互为反函数，所以，则．
故选C
归纳总结: 求反函数的步骤：
（1）求出函数的值域；
（2）将中的x，y互换；
（3）整理成形式，并写出函数的定义域（原函数的值域）．
【举一反三】
3．函数（）的反函数为 ．
4．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x B．y＝ x
C．y＝ x D．y＝log2x
5．与的图象关于（　　）
A．x轴对称 B．直线对称
C．原点对称 D．y轴对称
（2023·湖北荆门高一月考）
6．函数是以a为底数的对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
（2023上·河南·高三校联考阶段练习）
7．已知函数，则 .
（2023上·重庆荣昌·高一重庆市荣昌中学校校考阶段练习）
8．函数(且)的图象经过定点 .
（2023·山东省临沂市期末）
9．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝ ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．④
【分析】由对数函数定义可得.
【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数.
①是指数函数，不是对数函数；
②的系数为，所以不是对数函数；
③真数为，所以不是对数函数；
④满足定义，是对数函数；
⑤真数是，所以不是对数函数.
故④是对数函数.
2．
【分析】根据函数的定义域利用赋值使得函数中含参数的项为零即可求解.
【详解】函数的定义域为，
令，即时，，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
3．（）
【分析】由反函数的概念求解，
【详解】∵，∴，反函数即．
在原函数中由知．
故答案为：（）
4．D
【分析】先设出函数解析式，再把点的坐标代入，求出底数，即可得解
【详解】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，
得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
【点睛】本题考查对数函数的求解以及对数式与指数式的互化．属基础题
5．B
【分析】利用反函数的性质求解即可.
【详解】函数与函数互为反函数，
故它们的图象关于直线对称．
故选：B.
6．B
【分析】可以先根据对数函数的性质来确定的取值范围，再带入得出结果．
【详解】因为函数 为对数函数，
所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，
所以．
【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．
7．9
【分析】根据分段函数的含义并结合指、对数运算即可.
【详解】因为，所以，
故答案为：9.
8．
【分析】利用对数函数的性质即可得解.
【详解】因为，
令，即，则，
所以的图象经过定点.
故答案为：.
9．
【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．
【详解】由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=lne﹣3x=﹣3x，
∴2ax＝－3x，∴a＝－
故答案为：－
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键，属于基础题.
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