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【第二练】4.5.3函数模型的应用
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.会利用图象刻画函数模型，培养直观想象，如第4题.
2.会利用已知函数模型求解相关问题，锻炼数学建模能力，如第5题.
3.能根据题意建立函数模型求解相关问题，培养数学抽象，如第9题.
1．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为h，跑过的路程分别满足关系式：，，，，则5h以后跑在最前面的为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元）
A． B． C． D．
（2023上·山东·高一山东聊城一中校联考阶段练习）
3．今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为，夏诺多吉高程数据为．已知大气压强p（单位：）随高度h（单位：m）的变化满足关系式是海平面大气压强，，记夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为，狮子王山峰峰顶的大气压强为，则（ ）
A． B． C． D．
4．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东·校联考模拟预测）
5．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．10分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
（2023上·山西·高一校联考期中）
6．人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ）
A．
B．
C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
（2023上·上海·高一校考阶段练习）
7．统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 倍（结果精确到个位）.
（2023上·广东东莞·高一校考期中）
8．函数与函数在区间上增长较快的一个是 ．
9．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为（）件．当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入年总投资）
（2023上·四川·高一校联考阶段练习）
10．某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为 元.
（2023上·浙江杭州·高一校联考阶段练习）
11．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作.
（2023上·广东深圳·高一校考期中）
12．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
（2023上·江西宜春·高一江西省宜春中学校考期末）
13．宜春市旅游资源丰富，知名景区众多，如袁州区的明月山风景区、三阳镇的酌江风景区、万载县的万载古城景区、铜鼓县的天柱峰国家森林公园景区、樟树市的阁皂山风景区、上高县的白云峰漂流景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业迎来复苏．某旅游开发公司计划2024年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本200万元，若该项目在2024年有游客x万人，则需另投入成本万元，且，，该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元．
(1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入－成本）；
(2)当2024年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【易错题目】第3，4，9，11，12，13题.
【复盘要点】
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
（3）解模：求解函数模型，得出数学结论.
（4）还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
典例
（2013下·广东河源·高一阶段练习）
14．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．

(1)分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【复盘训练】
（2023上·新疆伊犁·高一校联考期中）
15．某地出租车打表计费标准如下：起步费是10元（3公里以内），当乘坐里程超过3公里时，超出的部分按每公里2元计费，不足1公里按1公里计费.若小华在该地乘坐出租车从A地到12.5公里外的B地，则小华应付的打车费为（ ）元.
A．10 B．20 C．30 D．35
（2023上·山东青岛·高三统考期中）
16．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足（其中，为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2023上·湖北宜昌·高一长阳土家族自治县第一高级中学校考阶段练习）
17．某网红城市鹅城人口模型近似为（单位：万人），其中表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到60万的年份大约是（ ）（参考数据：）
A．2037年 B．2047年
C．2057年 D．2067年
18．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：

①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是 ．
19．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（千克））与上市时间（单位：天）的数据如下表：
时间 60 100 180
种植成本 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是 ；最低种植成本是 元/（千克）．
（2023上·四川自贡·高一自贡市蜀光中学校考阶段练习）
20．道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，．已知当道路密度时，交通流量，其中．
(1)求的值；
(2)若交通流量，求道路密度的取值范围；
(3)求车辆密度的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】分别计算的值，结合指数增长速度的知识，选出正确选项.
【详解】由于4个函数均为增函数，且，，，，最大，结合指数增长越来越快可知：5h后丁车在最前面.
故选D.
【点睛】本小题主要考查函数增长模型，考查幂函数、一次函数，对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.
2．C
【详解】试题分析：如时，应缴费2元，此时，，排除A、B；当时，缴费为2元，此时排除D，故选C
3．A
【分析】根据题意，由条件列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由条件可得，两式相减可得，
即.
故选：A
4．C
【分析】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可.
【详解】从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；
从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；
从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D．
故符合题意的函数图象为C.
故选：C
5．B
【分析】由时，，代入求得，再由求解.
【详解】解：由题意得：当时，，
即，解得，
所以，
由题意得，
即，两边取对数得，
所以，
所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，
故选：B
6．AC
【分析】利用待定系数法可判定A、B，通过关系式代入相应震级计算释放能量即可判定C、D.
【详解】由题意可得，即，解得，A正确，B错误；
若，则，，C正确；
若，则，，，D错误.
故选：AC
7．
【分析】由题意写出n年后该物种的种群数量，进而可求30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍数.
【详解】由题意，n年后该物种的种群数量约为，
所以30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍.
故答案为：
8．
【分析】作出两个函数的差，利用对数函数的单调性比较大小即得.
【详解】当时，，
所以函数在区间上增长较函数快.
故答案为：
9．；16
【分析】当时，年销售总收入为（ ）万元, =;
当时，年销售总收入为260万元 .
所以，当 时，有最大值.
10．57600
【分析】利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到答案.
【详解】该公司的月利润.
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，该公司的月利润的最大值为57600元.
故答案为：57600.
11．
【分析】根据题意，求得参数的值，得到含药量与时间的函数关系式，令，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为，
又由点在曲线上，可得，解得，
所以含药量与时间的函数关系式为，
当时，令，即，可得，解得，
所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.
故答案为：.
12．(1)，
(2)20
【分析】（1）根据题意列出函数关系式，注意定义域；
（2）使用基本不等式求出最值.
【详解】（1）
，，
（2）因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片.
13．(1)
(2)游客人数为30万时利润最大，最大利润为300万元．
【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可；
（2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可.
【详解】（1）该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入10x万元，共60x万元收入，
则利润
化简得.
（2）当时，此时单调递增，
；
当时，二次函数开口向下，对称轴为，
则；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
；
综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为300万元．
14．(1)，
(2)①万元；②当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元
【分析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解．
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数．
所以根据图象可得，，，，
所以，．
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，．
令，则，且，
则，．
当时，，此时，．
当两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．
15．C
【分析】根据题意，结合小华从A地到12.5公里外的B地，直接求解即可.
【详解】由题意，小华在该地乘坐出租车从A地到12.5公里外的B地，
则小华应付的打车费为元.
故选：C.
16．B
【分析】根据题中函数模型，列方程，结合对数运算求解即可.
【详解】由五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，
五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，
则，解得.
故选：B.
17．C
【分析】根据指对互化，即可求解.
【详解】，即，
故
故选：C
18．①③
【详解】根据题意，函数的图象经过点，故函数为
令时，，故①正确；
令时，，减少，当时，减少，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；
分别令，解得 t1＋t2＝t3故③正确；
答案：①③.
19． 120 80
【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系不可能是单调函数，故选取二次函数进行描述，根据二次函数的对称性可设，将表格所提供的数据代入即得函数解析式.根据的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案.
【详解】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当和时种植成本相等，
再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数描述．
将表中两组数据和代入，
可得，解得，
所以．
令，可得，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（千克）．
故答案为：120；80.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意，建立方程，结合一元二次方程求解即可；
（2）分情况建立不等式，可得答案；
（3）根据函数性质，结合分情况，可得答案.
【详解】（1）由题意可知：，即，由，解得.
（2）当时，不等式，则，解得，故；
当时，不等式，则，解得，此时无解.
综上所述，.
（3）由题意可得，
当时，；
当时，，因为，
所以此时当时，取得最大值.
因为，所以的最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】4.5.3函数模型的应用
题型一： 用已知函数模型解决实际问题
例1． （2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件．
（1）求的解析式；
（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小．
【答案】（1）（，）
（2），开幕式后的第30天的日销售利润最小
【分析】（1）由题可知，求出即可得解；
（2）先求出每件该产品的销售利润，再根据日销售利润即可求出的解析式，再根据基本不等式和函数的单调性即可得解．
【详解】（1）由题可知，解得，
所以（，）；
（2）由题可得每件该产品的销售利润为，
所以第天的日销售利润，
即，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上为减函数，
所以此时，
综上所述，当时，取得最小值714，
即开幕式后的第30天的日销售利润最小．
【方法总结】1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
2．利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【变式训练1-1】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）
1．已知某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【变式训练1-2】（2023·安徽省黄山市期末）
2．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就. 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为.
(1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
（参考数据:，，）
题型二： 构建二次函数模型解决实际问题
例2． 某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为 元/瓶．
【答案】6
【解析】设销售价每瓶定为x元，利润为y元，
则y＝(x－3)＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，
所以当x＝6时，y取得最大值．
【方法总结】二次函数的最值问题常用配方法求解．
【变式训练2-1】
3．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．
(1)试求a的值；
(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
题型三：构建分段函数模型解决实际问题
例3．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）为促进旅游事业的发展，我市某著名景点推出“一费全包，团体打折”的团体票方案：
（1）只要一次购票即可游玩景点内所有项目且能当天无限次乘坐园内观光车；
（2）当团体不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队时，收取总费用为y元．
（i）当时，求y关于x的函数表达式；
（ii）若m设置不合理，有可能出现团体人数增加而收取的总费用反而减少这一现象．要令收取的总费用总随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（i）对x分类讨论求解即可；
（ii）结合一次函数和二次函数的单调性，根据分段函数的单调性即可求解．
【详解】（1）当时，；
当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，y随着x的增大而增大；
当时，，则，y随着x的增大而增大；
当时，，
所以当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
综上所述，当时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加．
【方法总结】用分段函数求解的问题的特点是：自变量取不同的值，对应的函数表达式不同．各段函数的性质也不同．
【变式训练3-1】（2023·云南·高二学业考试）
4．2012年7月1日，居民阶梯电价开始实行.“一户一表”的城乡居民用户电量从今往后正式按照三档收费.第一档月用电量为180度及以下，用电价格0.50元/度.第二档月用电量为181度-280度，电价0.55元/度.第三档月用电量为281度及以上电价0.80元/度.
(1)写出月电费（元）与月用电量（度）的函数关系式；
(2)若某户居民的电费为110元，问这户居民的用电量是多少？
题型四： 构建对勾函数模型解决实际问题
例4．（2023上·贵州·高一校联考阶段练习）某家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费单位：万元与仓库到车站的距离单位：千米之间的关系为：，每月库存货物费单位：万元与之间的关系为：；若在距离车站5千米建仓库，则和分别为万元和万元．
（1）求的值；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？
【答案】（1），
（2）千米处，万元
【分析】（1）直接把、分别代入函数表达式得相应的方程，由此即可得解．
（2）将两项费用之和的表达式求出来，结合基本不等式以及取等条件即可求解．
【详解】（1）由，，
当时，，解得，
，解得．
（2）由（1）得，，
设两项费用之和为，则，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元．
【提醒】对于对勾函数，当时不能用基本不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．
【变式训练4-1】（2023上·山东菏泽·高一菏泽一中校考阶段练习）
5．某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
(1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值.
题型五： 构建指数函数模型解决实际问题
例5． 【2023·山东青岛检测】一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ）
A.6 B.5 C.4　 D.3
【答案】
【解析】设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则有y＝．
依题意得．则22x≥100，解得x≥4．
所以至少需要的年数是4．
【方法总结】指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
【变式训练5-1】
6．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树木，且使森林每年比上一年减少．十年后森林面积变．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林面积为．求
(1)的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)从今年以后取多还能砍伐多少年？
题型六： 构建对数函数模型解决实际问题
例6．（2023上·北京·高三北京育才学校校考期中）“开车不喝酒，喝酒不开车”．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：，）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，根据对数运算求解即可．
【详解】设小时后，该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则有，即，
取常用对数，可得，
即，
所以，
即至少经过5小时，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，才能开车．
故选：C
提醒：有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．
【变式训练6-1】
7．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.
(1)已知地震等级划分为里氏级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于级的为“小地震”,介于级到级之间的为“有感地震”,大于级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约焦耳，试确定该次地震的类型;
(2)2008年汶川地震为里氏级,2011年日本地震为里氏级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍 (取)
易错点： 忽视实际问题对定义域的限制致误
典例 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为 万元．
【答案】30
【解析】设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
易错警示：题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)60千件，最大利润为280万元．
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论，即可得出答案；
（2）由（1）得，结合二次函数的性质及基本不等式的公式，即可得出答案．
【详解】（1）每千件商品售价为50万元，
千件产品销售额为，
当时，，
当时，．
；
（2）由（1）得，
当时，，
则万元，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
又，
则当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是280万元．
2．(1)
(2)11
【分析】（1）由，代入已知公式即可求解；
（2）设材料更新和技术改进前总质量比为，列出不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由已知可得
.
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为，且，，
若要使火箭的最大速度至少增加，所以，
即，，
所以，解得，
因为，所以，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为.
3．(1)a＝20
(2)见解析
【分析】(1) 每件按30元销售，可获利50%，成本为a元,则a(1＋50%)＝30,解出a值即可;
(2)写出每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式,化简得到二次函数,用配方法求出最值.
【详解】（1）∵每件按30元销售，可获利50%
∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
（2）∵销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，
则每天销售利润W(元)与每件售价x(元)满足
W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1000x－16000＝－10(x－50)2＋9000，
故当x＝50时，W取最大值9000，
即每件售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
4．(1)
(2)（度）
【分析】（1）根据题意，分别求得各个区间上的用电函数关系式，进而得到关于的函数关系式；
（2）由（1）的函数关系式，设用户的用电量为，得出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设月用电量为（度），月用电费为（元），
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以月用电费为月用电量为的关系式为.
（2）解：由（1）中的函数，可得
当时，可得元；
当时，可得元，
因为某户居民的电费为110元，可得，则用户用电量在内，
设用户的用电量为，可得，
解得（度），即用户的用电量大约为（度）.
5．(1)，该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
(2)到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
【分析】（1）根据已知条件，由的值求得，由解不等式求得正确答案.
（2）利用函数的单调性求得的最大值，以及此时对应的.
【详解】（1）依题意可得，，
已知，
且.
令，解得.
该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
（2）年平均利润为，
令且，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又.
到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
6．(1)
(2)5年
(3)15年
【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，根据每年砍伐面积的百分比，可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）设经过年剩余面积为原来的．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的．可列出关于的等式，解之即可；（3）根据题意设从今年开始，以后砍了年，再求出砍伐年后剩余面积，由题意，建立关于的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．
【详解】（1）由题意得：，即，
解得：
（2）设经过年森林面积为，则，即，，解得
故到今年为止，已砍伐了5年．
（3）设从今年开始，以后砍了年，则年后森林面积为
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年．
7．(1) 破坏性地震
(2) 倍
【分析】(1)先阅读题意，再计算，即可得解；
(2)结合地震释放出的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为，再求出，再求解即可.
【详解】解:(1)当某次地震释放能量约焦耳时,，
代入,得.
因为,所以该次地震为“破坏性地震”.
(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为.
由题意知,，
即,
所以
取,得
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的倍.
【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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