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【第三练】4.5.3函数模型的应用
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.利用已知数据选择函数，培养数学运算，逻辑推理，如第1，13题.
2.利用图象刻画函数，培养直观想象，如第2，4题.
3.能够建立函数模型求解相关问题，培养数学建模能力，如第12题.
一、单选题
（2023上·江苏·高一专题练习）
1．今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）
3．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（　　）
A． B．
C． D．
4．某地一年的气温(单位：)与时间(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10，令表示时间段的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示与之间的函数关系的是(　　)
A． B． C． D．
（2023·贵州遵义·统考模拟预测）
5．今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A．年 B．年 C．年 D．年
（2023·江苏淮南一模）
6．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
二、多选题
（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）
7．过市场调查分析，某地区半年的前个月内，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：，，则哪几个月的需求量超过3万件？（ ）
A．4月 B．3月 C．2月 D．1月
（2023上·广东佛山·高一佛山一中校考期中）
8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（，，为常数）若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（ ）
A． B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在的保鲜时间是小时 D．在的保鲜时间是小时
（2023上·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）
9．几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关．当每月投入的研发经费不高于万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费万元，则下列判断正确的是（ ）
A．投入万元研发经费可以获得最大利润率
B．要再投入万元研发经费才能获得最大月利润
C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费万元
D．要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费万元
三、填空题
（2023上·全国·高一专题练习）
10．某村2006年年底共有2000人，全年工农业总产值为4320万元，若从2007年起，该村工农业总产值每年增加160万元，人口每年增加20人，设2006年后的第年该村人均工农业产值为万元，则与之间的关系式为 .
（2023上·四川·高一校联考阶段练习）
11．某初创公司自创立以来，部分年份的年利润列表如下：
年份 2 3 4 5
年利润（千万元） 1.50 2.25 3.38 5.06
现有以下模型描述该年利润（单位：千万元）随年份的变化关系：①，②.试从这两个函数模型中选择合适的函数模型，并利用该模型预计公司的年利润首次超过10亿元的年份为（ ）
（参考数据，）
A．10 B．11 C．12 D．13
四、解答题
（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）
12．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形、、、与小正方形面积之和为平方米．计划把正方形建成花坛，造价为每平方米元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米元，再在四个等腰直角三角形区域上铺设草坪，造价为每平方米元．
(1)设长为米，用分别表示的长、小正方形面积、四个小矩形面积和及四个等腰直角三角形的面积和；
(2)在（1）的基础上，设总造价为元，试建立关于的函数关系式，并求出的范围；
(3)当为何值时总造价最小，并求出的最小值.
（2023上·湖北荆州联考）
13．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
(1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域
(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
【易错题目】第2，4，6，12，13题.
【复盘要点】
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．
典例:（2023上·四川雅安·高一统考期中）已知某工厂设计一个零件部件，要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由6个全等的等腰三角形和一个正六边形构成，其中是圆心，也是正六边形的中心．设正六边形边长，等腰三角形的腰，要求，该部件的面积为．
（1）求关于的关系式，并求出的取值范围；
（2）请问当取何值时，该部件的周长取最小值，并求出此时该圆形铁片的面积．
【答案】（1），．
（2）当时，该部件的周长取最小值，此时该圆形铁片的面积为．
【分析】（1）作出辅助线，得到等腰三角形边上的高为，表达出该零件部件的面积，变形得到，再求出的取值范围；
（2）表达出部件的周长，利用基本不等式求出最小值，得到此时，从而得到此时该圆形铁片的面积.
（1）取的中点，连接，
，等腰三角形的腰，由三线合一得⊥，
故等腰三角形边上的高为，
则该零件部件的面积为，变形可得，
所以，
因为，所以，即，解得，
由，解得，
故关于的关系式为，．
（2）该零件部件的周长，
当且仅当，即时，等号成立，满足，此时，
连接，由对称性可知，三点共线，且，
该圆形铁片的半径为，
则该圆形铁片的面积为．
故当时，该部件的周长取最小值，此时该圆形铁片的面积为．
【复盘训练】
（2023·黑龙江省哈三中期末）
14．生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小兔子的脉搏率之比为（ ）
A． B． C．2 D．8
（2023·四川泸州·统考一模）
15．“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，已知经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：，）
A．13年 B．14年 C．15年 D．16年
（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）
16．《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额（含税级距） 税率（%）
不超过1500元 3
超过1500元至4500元的部分 10
超过4500元至9000元的部分 20
… …
某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元.若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．5000~6000元 B．6000~8000元 C．8000~9000元 D．9000~16000元
（2023上·云南曲靖·高一校考期中）
17．生产某机器的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.
18．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 万元.
（2023上·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）
19．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（参考数据：．）
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.
【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：当时，，故选项C正确；
对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
2．B
【分析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．
【详解】函数是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．
3．D
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，
根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，
生物体内碳14原有初始质量为Q，
所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为，即．
故选：D．
4．A
【分析】按照条件图象变化特点结合数据及其平均数的关系判断选项图象正误.
【详解】若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10，所以当时，平均气温应该为10，故排除B；
因为在靠近12月份时其温度小于10，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10，排除C；
6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，排除D，选A.
故选：A.
5．B
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
6．D
【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可
【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
7．BCD
【分析】根据，求解范围即可求.
【详解】；
当时，，
令，故，解得,
又，所以.
故选：BCD
8．CD
【分析】根据题意，求出，逐项判断即可.
【详解】由题意得，解得，
所以，故A错误；
对于B，因为某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系，，所以储存温度越高保鲜时间越短，故B错误；
对于C，在的保鲜时间是小时，故C正确；
对于D，在的保鲜时间是，故D正确；
故选：CD
9．BC
【分析】根据二次函数性质可判断最大月利润，再根据基本不等式可判断最大利润率.
【详解】由，所以当投入万元时，月利润最大，所以需再投入万元研发经费，B选项正确，D选项错误；
研发利润率，
又，当且仅当，即时，利润率最大，所以需再投入研发经费万元，可获得最大利润率，A选项错误，C选项正确；
故选：BC.
10．
【分析】根据人均产值等于总产值除以人数，列出与之间的关系式.
【详解】依题意有，
因此，y与x之间的关系式为.
故答案为：
11．D
【分析】先根据函数的单调性选择模型，然后解指数函数不等式即可.
【详解】由该公司的年利润列表可知，年利润随年份增加而递增，并且随着增大越来越快，
故选择指数型模型②.
由第二年和第三年的数据知，，故，即.
当时，，，
故预计该公司的年利润首次超过10亿元的年份为13.
故选：D.
12．(1)，，，
(2)
(3)，118000元
【分析】（1）结合已知条件列式即可得；
（2）根据题意得出关系式即可，的范围结合实际意义，及均需大于零；
（3）结合基本不等式计算即可得.
【详解】（1）由题意可得，，，，
；
（2）
，
由，则；
（3）由（2）可知：
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，当米时，元.
13．(1)选择模型②，
(2)441元.
【分析】（1）根据表格中数据的增减性，结合函数的单调性，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，结合基本不等式，可得答案.
【详解】（1）由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数
所以选择模型②，
由，可得，解得
由，解得
所以日销售量与时间的变化的关系式为.
（2）由（1）知：
所以
即
当时，
由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值441元.
14．C
【分析】根据题意，将，分别代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，当时，则脉搏为，即，则；
当时，则脉搏为，即，则；
所以，即
故选:C
15．D
【分析】由条件列式先确定参数，再结合对数运算解方程.
【详解】由题意可得，即，所以，
令，即，故，即，
可得，即．
故选：D
16．C
【分析】设他的当月工资、薪金所得为元，求出和均不合要求，假定他的当月工资、薪金所得为8000元，求出少交纳此项税款元，假定他的当月工资、薪金所得为9000元，求出少交纳此项税款元，，故他的当月工资、薪金所得介于8000~9000元.
【详解】设他的当月工资、薪金所得为元，
当时，
由于，故他的当月工资、薪金所得在内，
故，解得，
不合要求，舍去，
当时，则，
解得，不合要求，舍去，
假定他的当月工资、薪金所得为8000元，
原来交纳此项税款为元，
调整后交纳此项税款为元，
少交纳此项税款元，
假定他的当月工资、薪金所得为9000元，
原来交纳此项税款为元，
而调整后交纳此项税款为元，
少交纳此项税款元，
而当月少交纳此项税为332元，，
故他的当月工资、薪金所得介于8000~9000元，
故选：C
17．50
【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，建立关系式，配方出求最大值即可
【详解】设生产台，获得利润（万元），
则，
所以当时，获得的利润最大.
故答案为：50
18．
【分析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，
即，
所以月利润为
，
当且仅当时，即时取等号，
即月最大利润为万元.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到月利润的函数解析式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
19．(1)选②，理由详见解析，解析式为
(2)最佳饮用口感的放置时间为
【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式.
（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【详解】（1）根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
所以选②，
且，，
利用加减消元法解得，
所以.
（2）由，得，
两边取以为底的对数得，
.
答：最佳饮用口感的放置时间为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第三课】4.5.3函数模型的应用
扩展1: 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为（　　）
【答案】D
【解析】因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．
【方法总结】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【举一反三1-1】
1．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，的面积为S，则函数的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【举一反三1-2】
2．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-3】
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是 ．（填序号）
扩展2:函数模型的选择
例2.（2023上·四川凉山·高一校联考期末）冕宁灵山寺是国家级旅游景区，也是凉山州旅游人气最旺的景区之一．灵山寺有“天下第一灵”、“川南第一山”、“攀西第一寺”之美誉，常年香火鼎盛．每年到灵山寺旅游的游客人数增长得越来越快，经统计发现，灵山寺2021年至2023年的游客人数如下表所示：
年份 2020年 2021年 2022年
年份代码x 1 2 3
年游客人数y（单位：万人） 12 18 27
根据上述数据，灵山寺的年游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2020年的年份代码为，2021年的年份代码为，依此类推）有两个函数模型可供选择：①，②
（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该函数模型的函数解析式；
（2）问大约在哪一年，灵山寺的年游客量约是2021年游客量的3倍？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）大约在2024年，灵山寺的年游客量约是2021年的3倍
【分析】（1）根据增长速度越来越快，符合指数增长模型，得到函数模型①，将代入，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合对数的运算公式，即可求解.
（1）因为2020年至2021年游客人数增加了6万人，2021年至2022年游客人数增加了9万人，增长速度越来越快，符合指数增长模型，
故函数模型①更合适，
将代入，可得，解得，
所以函数解析式为.
（2）2021年的年游客量约为18万人，当灵山寺的游客量约是2021年的3倍时，约是54万人，则，所以，
所以，
故大约在2024年，灵山寺的年游客量约是2021年的3倍．
【方法总结】
建立拟合函数与预测的基本步骤
【举一反三2-1】
（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）
4．海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示：
活动举办第周 1 2 3
参与活动同学人数（人） 18 24 33
(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数（人），并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且；
(2)已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中（参考数据：）.
【举一反三2-2】
（2023上·重庆·高一重庆市潼南中学校校联考阶段练习）
5．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件（元），且满足，第天的日交易量（万件）的部分数据如下表：
第x天 1 2 5 10
Q(x)（万件） 14.01 12 10.8 10.38
(1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数. 请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
(2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的.
（2011·北京·高考真题）
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
（2011·湖北·高考真题）
7．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（　　）
A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克
（2020·山东·统考高考真题）
8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
（2023·新高考Ⅰ卷）
9．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
（1982·全国·高考真题）
10．以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？
（2004·北京·高考真题）
11．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元．根据市场调查，经销商一次订购量不会超过件．
(1)设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(2)当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）
（2013·上海·高考真题）
12．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
（2011·湖南·高考真题）
13．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．
（1）写出的表达式
（2）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少．
试卷第2页，共2页
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参考答案：
1．D
【分析】先求得函数的解析式，即可选出函数的图象.
【详解】依据题意，有
则函数的图象是由三段折线段构成，故排除选项ABC.
故选：D
2．C
【分析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.
【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.
3．②③
【分析】利用题给函数图像求得前三年产量增长的速度的变化趋势判断①②；利用题给函数图像求得第三年后这种产品的生产状况判断③④
【详解】由函数图像可得前三年产量增长的速度越来越慢，则①判断错误，②判断正确；
第三年后这种产品停止生产，则③判断正确；④判断错误.
故答案为：②③
4．(1)，
(2)8周后，全校将有超过一半的学生参与其中
【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
（2）根据（1）中结论可得不等式,结合题中数据分析求解即可.
【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
且函数增长的速度越来越快，所以选择③（且）
代入表格中的三个点可得：，解得：
所以，.
（2）由（1）可知：，，
令，
整理得，
且，则，
所以8周后，全校将有超过一半的学生参与其中.
5．(1)选择模型②，
(2)，4
【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
（2）求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论.
【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，
又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，
观察表格中的4组数据，
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即，解得，
可以检验相对合理，
从而；
（2）由（1）可得 ，
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取到最小值，
当时，，
由单调性的性质可得在上单调递减，
故在时，有最小值，最小值为万元，
又，
综上所述，当时取得最小值.
6．D
【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
7．D
【详解】M'（t）=M0×，
M'（30）=M0×=﹣10ln2，
∴M0=600．
∴．
故选D．
8．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
9．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
10．长为，宽为时，面积最大.
【分析】设长方形场地的宽为，则长为，表示出面积，配方可求得最值.
【详解】设长方形场地的宽为，则长为，
它的面积，
当宽时，这块长方形场地的面积最大，
这时，最大面积为.
答：这块场地的长为，宽为时，面积最大，最大为.
11．(1)
(2)元
【分析】（1）服装的实际出厂单价为，应按和两类分别计算，分别求出函数解析式；
（2）由（1）可求出销售商一次订购了件服装时的出厂价，即为所求；也可列出当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求时的函数值．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
所以.
（2）解：设销售商的一次订购量为件时，工厂获得的利润为元，
则，
当时（元），
因此，当销售商一次订购了件服装时，该厂获利的利润是元．
12．（1）见解析（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元
【详解】试题分析：1）生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．
设f（x）=，1≤x≤10．
则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为=457500元．
考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值
点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键
13．（1）
（2）当时，
【详解】（1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故.
（2）由（1）知，当时，
当时，
故．
(1)当时，是关于的减函数.故当时，．
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，．
答案第1页，共2页
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