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【第一练】4.5.3函数模型的应用
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.利用函数图象刻画实际问题的变化过程，培养直观想象，如第1题.
2.会根据实际问题构建函数模型求解相关问题，锻炼数学建模能力，如第2题.
3.能够灵活应用已知函数模型求解相关问题，培养数学运算、逻辑推理，如第7，11题.
1．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？
3．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（）？
4．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药，果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h）？
5．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？（碳14的半衰期为5730年）
6．人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从升到乃至级别，国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.82 ZB，而到了2020年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍，为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式.
7．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数。结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？
8．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加，2008-2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：
时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
肉鸡数量/吨 7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 870 8920 9080 9230
同期该地的人口数如下：
时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
人口数/万 100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110. 111.3 112.7
（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；
（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？
（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议
9．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.
身高/ 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/ 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表格提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？试写出这个函数模型的关系式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为，体重为的在校男生的体重是否正常？
10．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍 什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
11．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的下列数据：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
【易错题目】第1，7，8，11题
【复盘要点】熟记一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的图象性质.
【复盘训练】
12．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同
13．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份（ ）
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
14．某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）
A．0.015克 B．克
C．0.925克 D．克
15．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，）
（2023·湖北省荆门市期末）
16．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的 ，则至少要喷洒 次.（）
17．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.
【详解】因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为
对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确；
对于②：当时，，故②正确；
对于③：第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，故③错误；
对于④：由题，所以，所以，故④正确；
故选：C
2．大约需要23年.
【解析】设经过年后的1万只野兔有只，根据倍增期为21个月可得，令可得所求的年数.
【详解】设经过年后的野兔有只，由题意知，
，令，即，则.
两边取常用对数得，.
所以大约需要23年.
【点睛】本题考查指数函数在实际中的应用，注意根据倍增期来计算函数模型中的参数，本题属于基础题.
3．分钟
【分析】每过一个3分钟，所占内存是原来的2倍，故个3分钟后，所占内存是原来的倍，再利用指数的运算性质可解
【详解】解：因为开机时占据内存，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，
所以3分钟后占据内存，两个3分钟后占据内存，三个3分钟后占据内存，
故个3分钟后，所占内存是原来的倍，
则应有，，，
故45分钟后该病毒会占据64MB内存；
4．应该在用药小时后，小时以前补充药
【解析】根据题意建立起含药量与注射后的时间的函数关系式，从而构造不等式，解不等式求得的范围，从而得到结论.
【详解】血液中含药量与注射后的时间的关系式为：，
则由得：
故应该在用药小时后，小时以前补充药
【点睛】本题考查建立拟合的函数模型求解实际问题，关键是能够通过已知关系建立起合适的函数模型，进而通过模型来构造不等式.
5．大概是公元前1892年的.
【解析】设这批古建筑群距今已t年，初始量为，则现存量，由可求时间.
【详解】设这批古建筑群距今已t年，初始量为，则现存量，
由题设得，所以，
.
而.
所以大概是公元前1892年的.
【点睛】本题考查指数函数模型在实际中的应用，注意利用半衰期求函数关系式，本题属于容易题.
6．
【分析】根据已知可列出数据表，由数据表画出散点图，从而确定所选函数模型；代入两点坐标构造方程可求得参数，进而得到所求结果.
【详解】设年分别对应第年，第年，第年，第年，，第年，由已知列表如下：
画出散点图如下：

由散点图知，个点在一条曲线上，应选择函数
将数据代入得：，解得：
【点睛】本题考查函数模型的求解问题，关键是能够通过散点图确定所选的函数模型，进而代入已知点构造方程求得函数解析式.
7．采用模型与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.
【解析】根据各月对应的患病人数算出函数解析式，再预测4月，5月，6月份的患病人数，与实际数比较后根据误差的大小决定更优模型.
【详解】若按模型，将代入
得解得，所以.
若按模型，将代入，
解得所以.
模型比较：
4 5 6
73 76 77
73.4 77.7 81
实际人数 74 78 83
比较发现，采用模型与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.
【点睛】本题考查二次函数、指数型函数在实际中的应用，注意较优函数的选择要依据误差的大小来考虑，本题属于中档题.
8．（1），； （2）2018年能满足市场的需求； （3）保持现状即可.
【分析】（1）画出两组数据对应的散点图，根据散点图可选择一次函数来拟合，用待定系数法可求函数的解析式.
（2）计算出2017年人均消费的肉鸡数量和2018人均费的肉鸡数量后比较它们的大小后可得正确的结论.
（3）因2017、2018人均消费的肉鸡数量基本保持平衡，故保持现状即可.
【详解】（1）取自变量x为0，1，2，…，10，…，对应年份为2008，2009，2010，2018，…，肉鸡数量为，人口万，依据表画出与，与的对应点的散点图，如图1、图2.

由图1、图2知，与x，与x均大数为线性关系.
设，将代入，
得，解得，所以.
将代入，得，解得，
所以.
（2）2017年人均消费肉鸡，
2018年人均消费肉鸡，所以2018年能满足市场的需求.
（3）保持现状即可.
【点睛】本题考查一次函数在实际中的应用，此题最后一问为开放性问题，可从不同角度分析（如从人均消费的肉鸡数量或从健康的角度减少人均消费的肉鸡数量）均可，它考查了学生的数学建模的数学素养，本题属于中档题.
9．（1）；（2）这个男生偏胖.
【分析】（1）画出散点图，考虑作为函数模型，代入数据计算得到答案.
（2）根据函数解析式，代入数据得到，计算得到答案.
【详解】（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，
根据点的分布特征，可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.

取其中的两组数据，，代入得：
用计算器算得，.
这样，我们就得到一个函数模型：.
将已知数据代入上述函数关系式，或作出上述函数的图像，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将代入，得，由计算器算得.
由于，所以，这个男生偏胖.

【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.
10．（1）1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；
（2）指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况．
【分析】（1）设1650年后年，人口是1650年的2倍，即有；设1970年后年，人口是1970年的2倍，即有，两边取对数，计算即可得到所求值；
（2）由题意可得此指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况．
【详解】解：（1）设1650年后年，人口是1650年的2倍，
即有，
两边取常用对数，可得，
即有；
设1970年后年，人口是1970年的2倍，
即有，
两边取常用对数，可得，
即有．
则有1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；
而2003年世界人口还没有达到72亿．
由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况．
11．（1）；（2）的速度
【分析】（1）根据表中数据画出散点图，根据散点图可确定所选模型；代入三个已知点的坐标，构成方程组，解方程组即可求得结果；
（2）构造总耗油量与行驶速度的函数关系式，得到一个二次函数的形式，利用二次函数的性质可求得结果.
【详解】（1）画出散点图如图

由图知应选择函数
将代入函数解析式得：
，解得：
（2）从甲地到乙地共需小时，设总耗油量为
则
当时，y取最小值
从甲地到乙地，这辆车应以的速度行驶才能使总耗油量最少
【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，涉及到选取函数模型、函数模型的求解、利用函数模型求解最值的问题等知识.
12．C
【分析】结合图像逐项求解即可.
【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误.
故选：C.
13．A
【分析】首先设甲、乙两食堂1月份的营业额均为，甲食堂的营业额每月增加，乙食堂的营业额每月增加的百分率为，根据题意得到，再分别求出5月份甲、乙两食堂的营业额，作差比较即可得到答案.
【详解】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为，甲食堂的营业额每月增加，
乙食堂的营业额每月增加的百分率为，
由题意可知，，即
则5月份甲食堂的营业额，
乙食堂的营业额，
因为，
所以，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
故选：A
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
14．D
【分析】设每年减少的比例为x，由题意得出指数关系，求出x，再计算三年后剩余量即可.
【详解】设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余克，
依题意得，所以，
3年后剩余为，将x的值代入，得结果为，
故选：D.
15．2037
【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.
【详解】设x年我国人口将超过20亿，
由题意，列方程得：
∴，
∴，
解得，又，故.
故答案为：
16．8
【分析】依据题意列出不等式，结合对数的运算法则求解即可.
【详解】设要喷洒x次，该物质上原有细菌量为，则，
即，，解得，
所以至少要喷洒次.
故答案为：.
17．61(米)．
【分析】先求出S1，再求出S2，相加即可求解.
【详解】解：因为刹车反应时间为－1秒，
所以S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，
当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】4.5.3函数模型的应用
【课标要求】
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
【明确任务】
1.利用已知函数模型解决实际问题.【逻辑推理，数学运算】
2.建立函数模型解决实际问题.【数学建模】
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
核心知识点1: 二次函数
二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
解读：根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同.
例1.某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元.
（1）试求a的值；
（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）因为按30元销售，可获利50%，所以a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
（2）因为销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，
则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1 000x－16 000＝－10(x－50)2＋9 000，故当x＝50时，W取最大值9 000，
即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元.
归纳总结: 二次函数f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，若，当时取得最小值；若，当时取得最大值.
【举一反三】
1．某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（ ）
A．0.5元 B．0.8元
C．1元 D．1.1元
核心知识点2：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
解读：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；
（2）分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集；
（3）处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.
例2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15　　 B．40
C．25　　 D．130
【答案】C
【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C．
归纳总结 求解分段函数问题，需要注意各段函数种自变量的取值范围.
【举一反三】
2．某市家庭煤气的使用量和煤气费（元）满足关系已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（ ）
A．12.5元 B．12元 C．11.5元 D．11元
核心知识点3: 对勾函数
对勾函数
①奇偶性：奇函数；
②单调性：
单增区间：，；
单减区间：，.
③渐近线：y＝ax和x＝0.
解读：对勾函数y＝ax＋种，参数a＞0，且b＞0.注意与飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0)的区别.
例3.（2023上·甘肃白银·高一校考期末）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小为 万元.
【答案】2 20
【分析】先由题意设出运费和仓储费的解析式，条件代入确定运费与仓储费之和的表达式，运用基本不等式求解即得.
【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，
依题意可设.
工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
代入求得：于是，运费与仓储费之和为万元，
因，由，当且仅当，
即时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.
故答案为：2；20.
归纳总结: 用基本不等式解题，一要注意根据题意确定相当于公式中a，b的代数式，二要注意等号成立的条件.
【举一反三】
3．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝ .
核心知识点4: 指数函数
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
解读：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与00，且a≠1)的图象越高，底数越大.
例4.（2023上·北京朝阳·高三校联考阶段练习）某食品加工厂2022年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2023年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A．2026年 B．2027年
C．2028年 D．2029年
【答案】D
【分析】据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.
【详解】设第年获利元，则，是正整数，年是第一年，
故，解得.
故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.
故选：D.
归纳总结: 指数函数问题的求解，需要注意对数与指数的转化关系，注意底数的大小.
【举一反三】
4．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
核心知识点5: 对数函数
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
解读：对数函数图象的特点
（1）对数函数的图象恒过点 ， ， ，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象；
（2）函数 与 （ ，且 ）的图象关于 轴对称；
（3）在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
例5.（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期中）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的声强级与声强之间的关系式，结合条件可求得的值，继而可建立方程求解即可.
【详解】由题意，，则，
所以，
当时，即，则，
当时，即，则，又因为函数为单调增函数，
故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确.
故选：B.
归纳总结: 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【举一反三】（2023·湖南省怀化市期末）
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为．若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年它们发展到 只．
（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）
6．下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
7．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．36万件 B．22万件
C．18万件 D．9万件
8．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价（元）与行程公里数（公里）之间的函数关系式是 ．
9．里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．
10．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用 年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
11．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由题意设杂志的价格降低了x个0.1元，即可确定降价后的价格以及卖出的数量，可得总销售收入的表达式，解不等式即可求得x的范围，由此可得答案.
【详解】设杂志的价格降低了x个0.1元，
则此时价格为元，卖出万本，
设总销售收入为y万元，
则，
要使，即，即，解得，
当时，价格最低，为(元).
故选：A.
2．A
【分析】根据表格数据列方程组解出未知数，即可求得.
【详解】根据表格可得：，
根据三月和四月的数据可得：，解得：
所以，.
故选：A
3．45
【分析】由题意由题可得，xy＝1800，b＝2a，y＝a＋b＋3＝3a＋3，表示出面积关于的函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
∴S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1808－3x－y.
S＝1808－3x－×＝1808－(x>0)，
≤1808－2＝1808－240＝1568.
当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值.
此时y＝＝45.
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.
故答案为：45
【点睛】本题主要考查了函数在实际问题中的应用，考查了均值不等式求最值，属于中档题.
4．16
【分析】根据经过8min后发现容器内还有一半的沙子，得到e－8b＝，然后又容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a联立求解.
【详解】当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
所以e－8b＝.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，
所以e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24.
所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
故答案为：16
【点睛】本题主要考查指数型函数的应用，属于基础题.
5．300
【分析】代入可得，进而得函数表达式，即可代入求解.
【详解】将代入中，得，解得，
则．所以当时，．
故答案为：300
6．D
【分析】指数函数增长最快，得到答案.
【详解】ABCD分别为一次函数，常函数，对数函数，指数函数，底数大于，
增长最快的是指数函数.
故选：D
7．C
【分析】设利润为y万元，根据题意得到y=20x- C(x)＝-x2＋18x-20，再利用二次函数的性质求解.
【详解】设利润为y万元，
由题意得：y=20x- C(x)
＝-x2＋18x-20
=.
故为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.
8．
【分析】设运输里程为,运费为元，当时,;当时,,由此得出函数关系式即可;
【详解】设运输里程为,运费为元.
则
即,
故填: ,
【点睛】本题考查函数的解析式表示法中的分段函数，属于基础题.
9．6，10000
【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，
则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，
9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，
∴．
故答案耿：6，10000．
点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．
10．4
【分析】首先列式表示用在该车上的费用，得到，设，利用零点存在性定理计算的值.
【详解】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，，
化简得.
令，
易得为单调递增函数，又，，所以函数在 上有一个零点，
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
故答案为：4
【点睛】本题考查函数与方程的应用，属于基础题型，本题的关键是读懂题意，并能抽象出方程和函数.
11．(1)
(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元
【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.
【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当时，，
当时，，
∴．
（2）当时，，
当时，取得最大值9；
当时，，
此时，当即时，取得最大值.
综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
答案第1页，共2页
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