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【第二练】5.2.1三角函数的概念
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.能利用公式一与特殊角的三角函数值解题，培养数学运算，如第10题.
2.利用三角函数值在各个象限的符号解题，培养数学抽象，如第2，3题.
3.能够灵活应用三角函数的定义解题，培养数学运算，如第4，9，13题.
1．若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
（2023上·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）
2．已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）
4．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川成都·校联考一模）
5．在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如果，那么角x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·陕西榆林·高一校考阶段练习）
7．若，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
（2023上·陕西咸阳·高一校考阶段练习）
8．下列选项中，符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为 .
（2023上·天津·高一校考阶段练习）
10．的值为 ．
（2023上·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）
11．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 .
12．已知角的终边经过点，且，则
13．若角θ的终边过点P(-4a，3a)(a≠0)，
(1)求sinθ+cosθ的值.
(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号.
【易错题目】第2，3，8，10，13题
【复盘要点】三角函数概念较多，易混淆，三角函数的定义，符号法则需要结合图形记忆.
典例：（2023上·湖南张家界·高一慈利县第一中学校考阶段练习）
14．已知点在第三象限，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【复盘训练】
（2023上·江苏南京·高一校联考阶段练习）
15．已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．的值为( )
A． B．
C．0 D．
17．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）．
A． B． C． D．
（2023上·高一考阶段练习）
18．已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为 .
（2023上·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）
19．设函数，则 .
（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）
20．已知角的终边落在直线上，求，，的值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】直接由三角函数乘积的符号得到所在的象限，取交集得答案．
【详解】解：由，知是第一或第四象限角，
由，知是第二或第四象限角，
是第四象限角．
故选：．
【点睛】本题考查了三角函数值的符号，属于基础题．
2．A
【分析】先由三角函数定义求出的正弦值，再由终边所在象限确定角．
【详解】由题意，又，点在第三象限，即是第三象限角，
∴，最小正值为．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数定义，由三角函数值求角时，需确定角的范围．
3．B
【详解】由于为三角形内角，故，所以，
即为钝角，
三角形为钝角三角形，故选B.
4．A
【分析】根据三角函数的定义，求解即可.
【详解】因为角的终边过点，即，
则，
故选:A．
5．B
【分析】在中，找出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为，则为锐角，
所以，“”“为锐角三角形”，
“”“为锐角三角形”，
所以，“”是“为锐角三角形”必要不充分条件.
故选：B.
6．C
【分析】由余弦函数的性质，解三角函数求得.
【详解】因为，所以，
所以角x的终边落在y轴或其右侧，
从而角x的取值范围是.
故选：C.
7．BD
【分析】根据三角函数的符号判断即可.
【详解】因为，所以是第一或三象限角，则是第二或四象限角.
故选：BD.
8．ABD
【分析】确定角所在象限，进而可得三角函数值的正负.
【详解】是第三象限角，故，A正确；
是第二象限角，故，B正确；
，是第三象限角，故，C错误；
，D正确；
故选：ABD.
9．##0.5625
【分析】根据诱导公式得sin α＝－，再由任意角三角函数定义列方程求解即可.
【详解】因为sin(2kπ＋α)＝－ (k∈Z)，所以sin α＝－.
又角α的终边过点P(3，－4t)，故sin α＝＝－，解得t＝（或舍）
.
故答案为：.
10．0
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计得解.
【详解】
.
故答案为：0
11．##
【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.
【详解】由题设，则且，可得，
所以.
故答案为：
12．
【分析】由三角函数的定义，诱导公式求解即可.
【详解】，则的终边在第三或第四象限．
又点P的横坐标是正数，所以是第四象限角，所以，
又，
所以，所以.
故答案为：
13．（1）当时，；当时，.
（2）当时，为负；当时，为正.
【详解】试题分析：（1）用三角函数线即可求的值，注意讨论的正负；
（2）根据各象限的三角函数的符号判断即可.
（1），
则； 当；
当时，.
（2）当时，
则
当时，
则
考点：三角函数线、任意角的三角函数.
14．D
【解析】利用已知条件得到，利用同角三角函数的基本关系得到，求出，即可得出答案.
【详解】在第三象限，
，
，
，
，
．
故选：D.
【点睛】关键点睛：利用同角三角函数的基本关系得到解决本题的关键.
15．B
【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.
【详解】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角.
故选：B
16．C
【分析】由三角函数的诱导公式计算得出.
【详解】原式
故选：C.
17．AC
【解析】假设，为内的角，可得，再由终边相同角的表示即可求解.
【详解】假设，为内的角，如图所示：
由和的终边关于轴对称，
所以
根据终边相同角的概念，
可得，
所以满足条件的为A、C
故选：AC
18．
【分析】根据余弦的定义进行求解即可.
【详解】由题意知，
故答案为：
19．-1
【分析】根据三角函数、对数的运算性质结合分段函数的特点即可求解.
【详解】因为，
所以
故答案为：-1.
20．答案见解析
【分析】分角的终边在第二象限和第四象限两种情况，结合三角函数定义进行求解.
【详解】直线过第二，第四象限，
取直线在第二象限上一点，
则，，
取直线在第四象限上一点，
则，，
.
综上，当角的终边在第二象限时，，，；
当角的终边在第四象限时，，，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】5.2.1三角函数的概念
题型一:利用定义求任意角的三角函数值
1．已知角的终边过点，则的值为
A． B． C． D．
【方法总结】求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义求出该角的三角函数值．
方法二：第一步，取点，在角的终边上任取一点（P与原点不重合）；
第二步，计算点P到原点的距离r，；
第三步，求值，，，．
【变式训练1-1】
[湖北黄石2023高一期末联考]
2．已知 ，角的终边经过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】
3．若点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型二:三角函数值的符号问题
4．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ．
【方法总结】判断三角函数值在各象限符号的要求
（1）基础：准确确定三角函数值中各角所在象限．
（2）关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号．
（3）注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为是角度从而导致象限判断错误．
【变式训练2-1】
[山东青岛中学2023月考]
5．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-2】
6．已知点在第四象限，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练2-3】
7．使有意义的为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题型三:公式一的应用
8．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【方法总结】应用公式一求三角函数值的主体思路是“负化正，大化小”．把角先改写为，，或，，的形式，再求的三角函数值．要熟记特殊角（0°，30°，45°，60°，90°，120°，150°，180°）的三角函数值．
【变式训练3-1】
9．的值为（ ）
A．－ B．
C．－ D．
【变式训练3-1】
10．的值等于（ ）
A． B． C． D．
易错点:求三角函数值时对角的终边位置考虑不全而致错
例 已知角的终边在直线上，求的值．
【错解】在角的终边上取一点，
∴点P到原点的距离，∴．
【错因分析】因为角的终边是一条射线，由条件得角的终边可能在第一象限或第三象限，上述解答只考虑了一种情形，忽视了角的终边在第三象限的情况．
【正解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第一象限或第三象限．
当角的终边在第一象限时，同上得；
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取一点，
∴点到原点的距离，．
∴或．
易错警示 角的终边是一条射线，不是直线，因此终边落在直线上时包括两种情况，要注意分类讨论．
针对训练1-2:
11．已知角的终边在直线上，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由三角函数的广义定义可得的值.
【详解】因为，故选B.
【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.
2．AC
【分析】根据三角函数的定义确定的值，再根据分段函数求值即可.
【详解】因为角的终边经过点 ，则，
所以，
.
故AC正确，BD错误.
故选：AC.
3．B
【分析】根据三角函数定义进行求解.
【详解】由三角函数定义可知：
故选：B
4．
【分析】利用三角函数的符号求解.
【详解】当为第一象限角时，，，均为正数，
因而；
当为第二象限角时，为正数，，均为负数，
因而；
当为第三象限角时，为正数，，均为负数，
因而；
当为第四象限角时，为正数，，均为负数，
因而．
综上，函数的值域为．
故答案为: ．
5．B
【分析】根据所在象限，求出的范围，即可得到的取值范围，从而判断所在的象限，再根据，即可得到，从而得解；
【详解】解：因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角；
故选：B
6．C
【分析】根据所在象限坐标的符号得，结合各象限三角函数值的对应符号判断的终边位置.
【详解】由在第四象限，
所以，故的终边在第三象限．
故选：C
7．C
【分析】根据给定式子列出不等式，再结合正余弦值的符号确定角所在象限.
【详解】依题意，且，
由得与同号，则为第一、三象限角，
由，即知为第二、三象限角或角终边在y轴或者轴的负半轴上，
所以为第三象限角.
故选：C
8．(1)
(2)
【分析】利用终边相同的角的同名三角函数值相等，化简求值.
【详解】（1）．
（2）
9．D
【分析】，利用诱导公式一化简即可得解.
【详解】
故选：D.
10．D
【分析】运用诱导公式，结合特殊角的正切值进行求解即可.
【详解】，
故选：D
11．或
【分析】角的终边在第二象限或第四象限，在角的终边上取一点，利用三角函数的定义求解.
【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限．
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
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