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【第三练】5.2.1三角函数的概念
一、单选题
1．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．下列选项中，结果为正数的有（ ）
A． B．
C． D．
3．“且”是“的终边在第二象限”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．已知角为第三象限角，且，则是第（ ）象限角.
A．四 B．三
C．二 D．一
5．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
6．以原点为圆心的单位圆上一点P从出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，则函数的值可能为（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数值中符号为正的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．已知函数（，且）的图像恒过点，若点是角终边上的一点，则 .
11．函数y＝＋的定义域为 ．
四、解答题
12．已知角终边经过点，且．求的值．
13．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.
余弦相似度：.
余弦距离：.
(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值.
【易错题目】
【复盘要点】
x
典例：Pααααπα
　　

P
αα
αααα
【复盘训练】
14．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边重合于轴的非负半轴，终边经过点,则（ ）
A． B． C． D．
15．函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知角θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且sin θ＞0，cos θ＜0，则实数a的取值范围是 .
17．已知角的终边经过点，则 ．
18．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为与下列哪项最接近 .（结果精确到，参考数据，，）.
19．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，
∴0＜cosx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．
2．AB
【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，所以，所以A正确
由，可得
且，所以，，
所以B正确，C错误；
由，可得，所以，所以D错误.
故选：AB.
3．C
【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】在角终边上任取点（异于原点）其坐标为，，
若且，
所以，且，
可得，
所以的终边在第二象限，
所以“且”是“的终边在第二象限”的充分条件，
若的终边在第二象限，则，
所以，且，
所以“且”是“的终边在第二象限”的必要条件，
综上“且”是“的终边在第二象限”的充要条件.
故选：C.
4．A
【分析】先根据条件确定所在象限，再结合的正负确定答案.
【详解】∵为第三象限角，即
∴，即为第二、四象限角.
又∵，
∴，
∴为第四象限角.
故选：A.
5．A
【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．D
【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义进行计算即可.
【详解】设，由任意角的三角函数定义可得，.∴点Q的坐标为.
故选：D.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.
7．BC
【解析】讨论在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四种情况分别化简得到答案.
【详解】，
当在第一象限时：；
当在第二象限时：
当在第三象限时：
当在第四象限时：
故选：
【点睛】本题考查了三角函数值化简，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
8．AC
【分析】由题知，再依次讨论各选项即可得答案..
【详解】解：由三角函数定义，，
所以，对于A选项，当时，，时，，时，，所以选项A符号无法确定；
对于B选项， ，所以选项B符号确定；
对于C选项，，故当时，，时，，时，，所以选项C的符号无法确定；
对于D选项，，所以选项D符号确定.
所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.
故选：AC.
9．ABD
【分析】将表示为，根据诱导公式可判断A；利用诱导公式可判断B；由2为第二象限角可判断C；由诱导公式可得，从而可判断D.
【详解】对于A，，所以选项A满足题意；
对于B，，所以选项B满足题意；
对于C，因为，所以，所以选项C不满足题意；
对于D，，所以选项D满足题意.
故选:ABD.
10．##
【分析】利用对数函数的性质求得定点，再利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为（，且）的图像恒过点，
令，则，，所以，
所以.
故答案为：.
11．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】∵函数，
∴，解得，
即或；
∴函数的定义域为，故答案为.
【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是根据函数解析式列出不等式组，解不等式组为该题的难点，属于中档题．
12．或
【分析】根据三角函数定义求解.
【详解】∵，∴点P到原点的距离．
又，∴．
∵，∴，∴．
当时，P点坐标为，
由三角函数的定义，有，，
∴；
当时，同理可求得．
13．(1)，余弦距离等于
(2)
【分析】（1）根据曼哈顿距离的计算公式即可求得，利用余弦距离的公式可求得A，B之间的余弦距离；
（2）根据已知结合定义中所给公式可得,以及，两式整理即可求得答案.
【详解】（1），
，所以余弦距等于；
（2）由得
,
同理：由得，
故，
即，
则.
14．A
【分析】由三角函数的定义得出，，即可代入求解得出答案.
【详解】由三角函数定义得：，，
则，
故选：A.
15．B
【分析】先利用对数函数的性质求得，再利用三角函数的定义即可得解.
【详解】令，则时，，
故过定点，
由三角函数定义可得，.
故选：B.
16．
【分析】由“sin θ＞0，cos θ＜0”和象限角的知识可以判断出为第几象限角，进而判断点在第几象限，可确定该点横、纵坐标的符号，从而得到关于的不等式组，求解即可.
【详解】因为sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角，
且θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且所以，
解得－2＜a＜3.
故答案是：(－2,3).
17．##0.2
【分析】根据三角函数定义得到方程，求出，进而求出正弦和余弦，求出答案.
【详解】由题意得，解得，
故，所以，，
故.
故答案为：
18．
【分析】根据得,根据平行线性质可知，通过可求出在尺上的读数.
【详解】
依题知，为等腰直角三角形，则，，
则，
在，，即，
点在尺上的读数约为.
故答案为：
19．0
【分析】根据题意可设角α终边上任一点为P(k，－3k)，分k＞0和k＜0时进行讨论，求得对应的三角函数值，代入即可.
【详解】设角α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝.
当k＞0时，r＝，
所以sin α＝，，
所以10sin α＋
当k＜0时，r＝，
所以sin α，
，
所以，
综上，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第三课】5.2.1三角函数的概念
扩展1: 分类讨论思想在三角函数中的应用
例1 已知角的终边上有一点，且，求与的值.
【解析】由已知得点P到原点的距离，所以，解得或或.
①当时，，，，；
②当时，，，，；
③当时，，，，.
综上，，或，或，.
【方法总结】在利用三角函数的定义求角的三角函数值的题目当中，当角终边上的点的坐标用参数给出时，必须根据问题的实际情况对参数的取值进行分类讨论，讨论时，要做到不重不漏.
【举一反三1-1】
1．已知点为角终边上一点．若角是第二象限角，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【举一反三1-2】
2．若已知角终边上一点，且，能否求出的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
扩展2: 数形结合思想在三角函数中的应用
例2.若<α<，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是（ ）
A.sin αC.sin α【答案】 C
【解析】 如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－<α<－，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT>OM>MP，故有sin α【方法总结】（1）数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：
①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
②“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
（2）本例利用三角函数线比较三角函数值的大小，还可利用三角函数线解不等式.
【举一反三2-1】
3．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
【举一反三2-2】
（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）
4．如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求的值.
扩展3:新定义问题
例3. （2023·湖南省岳阳市期末）平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做α的正余混弦，记作.若（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
∴，且y>x，即，且y>x，解得.故.
【方法总结】所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数.函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.
【举一反三3-1】
（2023·湖北省潜江市期末）
5．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（ ）
A． B． C． D．
（2014·全国·高考真题）
6．已知角的终边经过点，则=
A． B． C． D．
（2008·全国·高考真题）
7．若，且，则是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（1985·全国·高考真题）
8．是的（ ）
A．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要的条件
（2020·全国·统考高考真题）
9．若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
(2018·高考北京卷)
10．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
（2021·北京·统考高考真题）
11．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用三角函数的定义列方程，化简求得的值.
【详解】因为，
解得(∵是第二象限角，舍去)或.
故选：D
2．能，见解析
【分析】先利用余弦函数的定义列式求解，然后根据点的坐标求与.
【详解】能求出，的值．
因为角的终边过点，
所以．
因为，所以或．
①当时，点P的坐标为，角为第一象限角，
此时；
②当时，点P的坐标为，角为第二象限角，
此时．
【点睛】本题考查了三角函数定义的运用，考查学生基础知识的掌握情况，难度不大.
3．C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
4．(1)A，B两点坐标分别为
(2)
【分析】（1）直接利用三角函数的定义求解点的坐标即可；
（2）根据A的坐标求出，利用角的关系及特殊角的函数值求解，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，，所以点坐标为，
因为，所以，，所以点坐标为，
所以A，B两点坐标分别为.
（2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，则，
所以点的坐标为，即，，所以，
所以.
5．B
【分析】根据题意，结合三角函数的定义，求得的值，代入即可求解.
【详解】根据题意，可得所以，
由三角函数的定义，可得，，，
所以.
故选：B.
6．D
【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
考点：三角函数的概念.
7．C
【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
8．A
【分析】根据充分性和必要性的概念进行判断即可.
【详解】当时，，不能推出，不满足充分性；
当时，，满足必要性；
故是的必要条件
故选：A.
9．D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
11．（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
答案第1页，共2页
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