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【第二练】5.2.2同角三角函数的基本关系
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.能熟练应用同角三角函数间的关系求值，化简，培养数学运算，逻辑推理，如第1，2，6，11，12题；
2.能熟练应用与的关系求解相关问题，培养数学运算，如第5，7题；
（2023上·上海松江·高三校考期中）
1．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．3
（2024·全国·高三专题练习）
3．已知角的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则（ ）
A．10 B． C．5 D．
4．若，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
（2023上·四川成都·高一校考期末）
5．若，且是方程的两实根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）
6．若，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江苏扬州·高一扬州市新华中学校考阶段练习）
7．已知，且，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022上·河北邯郸·高一校考期末）
8．已知角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则 ．
（2023上·福建福州·高一校考阶段练习）
9．已知A是三角形内角，且，则 ．
（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）
10．已知，则 ，若，则 .
11．已知，则 .
12．化简：＋(1＋tan2α)cos2α.
（2023上·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期中）
13．已知函数，其中为第三象限角且
(1)求的值；
(2)求的值.
【易错题目】第4，5，7，12，13题.
【复盘要点】忽略隐含条件致错.有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错.
典例 已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则tanθ的值为__________.
【答案】－
【解析】将sinθ＋cosθ＝两边平方，得1＋2sinθcosθ＝1－，即sinθcosθ＝－，易知θ≠.
故sinθcosθ＝＝＝－，
解得tanθ＝－或tanθ＝－.
∵θ∈(0，π)，sinθcosθ＝－<0，∴θ∈(，π)，由sinθ＋cosθ＝>0可得sinθ>－cosθ，即|sinθ|>|cosθ|，故θ∈(，)，则tanθ<－1，∴tanθ＝－.
【复盘训练】
14．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）
15．已知，且 ，则( )
A． B． C． D．
（2024·安徽淮北·统考一模）
16．已知，，则 .
（2023上·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）
17．若，则 ．
（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）
18．已知，，且．则角的大小 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.
【详解】由题意得，
则，
故选：A.
2．C
【分析】依题意弦化切即可.
【详解】依题意有，解得.
故选：C
3．A
【分析】利用三角函数定义及齐次式进行求解即可.
【详解】根据角的终边过，利用三角函数的定义，得，
所以有．
故选：A．
4．B
【分析】先根据同角三角函数基本关系，将原式化为，根据题意得到且，进而可得出结果.
【详解】，
且.
又，.
故选B.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的运用，熟记公式即可，属于常考题型.
5．D
【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解.
【详解】由于是方程的两实根，所以，
又，所以，
故，
由于，，所以，故，因此，所以，
故选：D
6．D
【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.
【详解】
，
由于，所以，故，
故选：D
7．AB
【分析】平方得到，根据得到，AB正确，根据，，故，C错误，计算得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，则，即，
故，，故，则，，正确
对选项B： ，正确；
对选项C：，，故，错误；
对选项D：，错误；
故选：AB
8．
【分析】根据条件，得到，再利用“齐次式”即可求出结果.
【详解】因为终边落在直线上，即，且，
则，所以，
故答案为：
9．
【分析】根据正切值的正负确定A为钝角，再根据同角三角函数关系求出余弦值即可得解.
【详解】因为，且A为三角形内角，所以A为钝角，则，
又，解得（正值舍去）.
故答案为：.
10． ##
【分析】根据及从而可求出空，又，利用同角三角函数的关系可求出空.
【详解】由题意：，得：，
所以：，
所以：，
因为：，所以：，
又因为：，得：，
所以：，得：
又因为：，所以：，，
所以：.
故答案为：；.
11．或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法求解即得.
【详解】显然，，
整理得，解得或.
故答案为：或
12．2
【分析】结合二倍角余弦公式和切化弦的方法将原式化简即可.
【详解】原式＝.
13．(1)
(2)
【分析】（1）化简，根据为第三象限角得到，化简原式为，计算得到答案.
（2）根据同角三角函数关系化简原式为，代入数据计算得到答案.
【详解】（1）
，
为第三象限角，故，，故，
.
（2）
.
14．B
【分析】将平方可求出，由可判断，即可得出答案.
【详解】，
，
，，则，
.
故选：B.
【点睛】本题考查同角三角函数的关系以及三角函数值大小的判断，属于基础题.
15．ABD
【分析】结合同角三角函数基本关系运算即可得到.
【详解】由，
则，
即，故B正确；
又，
所以，，
故为第二象限角，
则，
，
则，故D正确,C错误；
又，
即有，，
又，故，故A正确.
故选：ABD.
16．##
【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.
【详解】由可得，故，
又，解得或，
由于，，故，
又，故，因此，
故，
故答案为：
17．
【分析】利用同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故答案为：
18．
【详解】因为，所以，
所以，又，所以，
故或，
解得或，又，所以．
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】5.2.2同角三角函数的基本关系
题型一: 利用平方关系求值
例1. 若，则_______.
【解析】∵，所以角为第二象限角或第三象限角．
若角为第二象限角，则；
若角为第三象限角，则．
综上所述，若角为第二象限角，则；
若角为第三象限角，则．
【方法总结】在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
【变式训练1-1】
1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）
A． B．－
C． D．－
【变式训练1-2】
2．若且，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二: 利用商数关系求值
例2. （2023上·广东广州·高一广州市白云中学校考阶段练习）已知，在第四象限，则的值为 .
【答案】
【分析】由同角三角函数关系求解，由计算即可求解.
【详解】由题意知，在第四象限，，而，
所以.
【方法总结】利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立.
【变式训练2-1】 （2023上·黑龙江鸡西·高一校考期末）
3．若是第三象限角，且，则 ．
【变式训练2-2】（2022上·安徽亳州·高一校考期末）
4．已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三:利用同角三角函数间的关系化简
例3.化简：（1）；
（2）
【解析】（1）原式
．
（2）原式
．
【方法总结】 化简同角三角函数式常用的方法
（1）对于含有根号的式子，常把被开方数（或式子）化为完全平方数（或式子），去掉根号达到化简的目的；
（2）对于含有高次幂的三角函数式，往往借助因式分解或利用“”来降低函数式的次数，达到化简的目的；
（3）对于含有绝对值的式子，应根据角的范围，判断函数值的正负（有时需要分情况讨论角的范围），去掉绝对值符号，达到化简的目的．
化简往往和求值结合在一起，根据题目特征，可能需要先化简需要求值的式子，再将已知条件代入求值，也可能需要将已知条件和需要求值的式子都进行化简，将化简后的已知条件代入化简后的式子求值．
【变式训练3-1】
5．化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式训练3-2】
6．（多选题）已知，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】
7．化简：
题型四:弦切互化求值
例4.已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）．
点透 注意非齐次式中的常数往往通过转换，在整式中利用增加分母．
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
【方法总结】解决齐次式问题的主要方法是化切求值，具体思路如下：
（1）已知，求和的值，可以分别将分子、分母同时除以和，将原式化成关于的式子，从而可求值．
（2）对于的求值，可把其看成分母是1的式子，利用“”进行代替后，分子、分母同时除以，得到关于的式子，从而可求值．
【变式训练4-1】
8．若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练4-2】[福建三明2023高一期末]
9．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式训练4-3】[江苏南京南师附中2023高一期末]
10．已知，则 .
题型五:型的求值问题
例5. (多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则（ ）
A.＜α＜π 　　　　 B.sin αcos α＝－
C.cos α－sin α＝ 　　　　 D.cos α－sin α＝－
【答案】ABD
【解析】∵sin α＋cos α＝，
等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
解得sin αcos α＝－，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－＜0，
∴α∈，故A正确；
cos α－sin α＜0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
解得cos α－sin α＝－，故D正确.
【方法总结】已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【变式训练5-1】（2022上·安徽亳州·高一校考期末）
11．设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】
12．已知，，则 .
易错点: 未注意开方结果的符号而致错
例 已知，求的值．
【错解】∵，∴，
∴，∴．
【错因分析】开方时，没有根据题中条件分析值的正负．
【正解】∵，∴x为第三象限角或第四象限角．
∵，∴，∴．
当x为第三象限角时，；
当x为第四象限角时，．
易错警示 利用平方关系解决问题时，要注意，．开方结果的符号，需要根据角x的范围确定．
针对训练1-1[浙江杭州2023高一期末]
13．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
2．B
【分析】根据条件得出，再利用平方关系即可求出结果.
【详解】因为，所以，故，
又，所以，
故选：B.
3．
【分析】由已知可求，即可求出.
【详解】是第三象限角，且，
，.
故答案为：.
4．A
【分析】由三角函数的平方关系与商数关系及三角函数值的符号求解即可.
【详解】因为，
又是第二象限角，所以，
所以.
故选：A.
5．C
【解析】应用平方关系化简即可.
【详解】解：原式＝．
故选：C
6．CD
【解析】对原式进行切化弦，整理可得：，结合因式分解代数式变形可得选项.
【详解】∵， ，
整理得，
∴，
即，
即，∴C、D正确.
故选：CD
【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.
7．（）
【分析】首先把化为,然后对于根号下分子分母同乘，开方即可.注意：,对的正负进行讨论.
【详解】原式
（）
故答案为 ()
【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系.灵活利用和是求解本题关键;对最终结果进行分类讨论是本题难点.
8．D
【分析】利用三角函数基本关系和“化切为弦”思想进行求解.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
即，
又因为，
所以，
则
故选：D.
9．A
【分析】利用终边经过的点来定义三角函数，然后弦化切求值.
【详解】因为角的终边经过点，
设，
所以，
所以，
故选：A.
10．3
【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.
【详解】由题意，
即，则.
故答案为：3.
11．D
【分析】结合完全平方公式及三角函数平方关系求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
12．
【分析】利用同角的三角函数关系式求解即可.
【详解】， ，
即，
又，则，，，
故，
可得，，.
故答案为：
13．D
【分析】根据角的范围，确定的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案.
【详解】因为，所以.
又，所以.
故选：D.
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