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【第一练】5.2.2同角三角函数的基本关系
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.能直接应用同角三角函数间的关系求三角函数值，培养数学运算，如第1，2题；
2.能熟练应用同角三角函数间的关系化简、证明，锻炼逻辑推理能力，如第5，7，8，9题.
1．已知，且为第三象限角，求，的值.
2．已知，求，的值.
3．已知，求，的值．
4．已知角的终边不在坐标轴上，
（1）用表示；
（2）用表示.
5．化简，其中为第二象限角.
6．化简tan α，其中α是第二象限角.
7．化简：
8．求证：.
9．求证：
（1）；
（2）；
（3）.
10．（1），计算；
（2）设，计算.
（2019上·江苏镇江·高一校考阶段练习）
11．（1）已知，求及的值；
（2）已知，求的值.
12．已知、日是关于x的方程的两个根
（1）求的值；
（2）求的值.
【易错题目】第3，4，5，6，11，12题.
【复盘要点】熟记公式，的特征，注意公式的正用或逆用，注意三角函数值的符号.
【复盘训练】
（2023上·四川·高三统考学业考试）
13．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．化简的结果是
A． B．
C． D．
（2023上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）
15．已知，则（ ）
A． B． C．或1 D．或1
（2023上·江苏·高一期末）
16．已知，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·江苏扬州·高一扬州市江都区丁沟中学校考期末）
17．若为第二象限角，则可化简为 .
[安徽芜湖安师大附中2023高一月考]
18．求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，
【解析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可得解.
【详解】，且为第三象限角，，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
2．见解析
【解析】分角为第二和第四象限角两种情况讨论，利用同角三角函数的商数关系和平方关系建立有关和的方程组，即可得出，的值.
【详解】，为第二或第四象限角，
又，.代入，得.
当为第二象限角时，，；
当为第四象限角时，，.
综上所述，当为第二象限角时，，；当为第四象限角时，，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，建立有关和的方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
3．或
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，所以在第三、四象限；
当在第三象限时，，；
当在第四象限时，，；
综上可得或
4．（1）见解析；（2）见解析
【解析】讨论角所在的象限,结合同角三角函数关系式,即可得解.
【详解】（1）当角是第一、二象限角时,.
当角是第三、四象限角时,.
（2）当角是第一、四象限角时,.
当角是第二、三象限角时,.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的简单应用,属于基础题.
5．
【解析】根据角为第二象限角,结合同角三角函数关系式,化简即可得解.
【详解】为第二象限角,
∴
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式在三角函数式化简中的应用,注意角的范围对三角函数符号的影响,属于基础题.
6．－1
【分析】利用同角三角函数关系中的平方和关系，结合角度范围即可容易化简.
【详解】因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α＝tan α
＝＝＝－1.
【点睛】本题考查利用同角三角函数对代数式进行化简，属基础题.
7．.
【分析】利用平方差公式结合同角三角函数公式处理即可.
【详解】解析：
＝
8．证明见解析
【分析】直接作差计算等于零即可证明.
【详解】证法1 因为，
所以.
证法2 因为，
又，，
所以.
9．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解；
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明.
（2）利用平方关系即可证明.
（3）利用同角三角函数的商的关系即可证明.
【详解】（1），即证.
（2），即证.
（3）右边
左边，即证.
10．（1）3；（2）
【分析】（1）原式的分子分母同除，可将原式用表示，代入的值计算即可；
（2）将原式的分子变为，然后分子分母同除，可将原式用表示，代入的值计算即可
【详解】解：（1）
；
（2），
11．（1），；（2）.
【分析】（1）把已知等式平方，结合平方关系可得，再把平方可求得；
（2）已知等式平方求得确定出的正负，求出，与已知式联立求得后可得．
【详解】解：（1）∵；
∴
（2）∵，①
∴
∴.
∵，∴，
∴，∴，
∴.②
由①，②得，
∴
12．(1);(2)
【分析】由方程判别式△≥0，,即，可得a≤0或a≥4，利用韦达定理和同角三角函数的基本关系可得a的值，可得==
（1）由=(sin+cos)( -sincos+ )，代入数据可得答案；
（2）==代入数据可得答案.
【详解】解：由题意得,方程判别式△≥0，,即,
a≤0或a≥4,且，
==，
即,a=(a=舍去).
==.
(1)=(sin+cos)( -sincos+ )=()[1-()]=.
(2)====.
【点睛】本题主要考查一元二次方程实根问题及三角恒等变换求值,此题的解题关键在于根据韦达定理和同角三角函数关系式先求出实数a.
13．C
【分析】根据同角三角函数基本关系求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
14．D
【分析】确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．
【详解】因为为第二象限角，
所以，故选D.
【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．
15．B
【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为
，解得.
故选：B.
16．AD
【分析】把两边平方，可得的值，即可判断A；把平方后，结合题中条件即可求得的值，判断B;结合所得结论可求得的值，即可求得的值，判断选项C及D.
【详解】因为，则．
对于选项，，
可得，正确；
对于选项，由选项可知，，则，
所以，，
则，错误；
对于选项，，
可得，则，错误；
对于选项，，正确．
故选：．
17．
【分析】根据同角三角函数关系化简即可.
【详解】因为为第二象限角，所以，
，
故答案为：
18．证明见解析
【分析】从左边开始，将式子变形为，进而将式子化简，结合同角三角函数的平方关系进行变形，最后证得答案.
【详解】左边
右边
所以原等式成立.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】5.2.2同角三角函数的基本关系
【课标要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
【明确任务】
会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
【数学运算】
1.三角函数的定义：设点P（x，y）是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.
2.公式一
核心知识点1: 平方关系
平方关系：．
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．
常用等价变形
（1）
解读：①公式中强调“同角”．
②若，不一定有．
③是的缩写，读作“的平方”，不能将写成，后者表示的正弦值，两者是不同的．由关系式的等价变形可知，根据“平方关系”，若给出，中一个的值，就可以求出另外一个的值，简称“知一求一”．
例1.已知，且为第三象限角，求，的值．
【解析】由平方关系可知，，∴．
又∵为第三象限角，∴．由商数关系可知．
归纳总结: 在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
【举一反三】
（2024上·广东·高二学业考试）
1．已知是第二象限角，，则（　　）
A． B． C． D．
核心知识点2：商数关系
商数关系：．
常用等价变形
解读：由关系式的等价变形可知，根据“商数关系”，若给出，，中一个的值，就可以求出另外两个的值，简称“知一求二”．
应用正切公式时，要看是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角可能是一个集合．
例2.若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于（　　）
A. B.－
C. D.－
【答案】B
【解析由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.
归纳总结分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解．　
【举一反三】
2．已知，求，的值.
【举一反三】
（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）
3．已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
（2023·新疆·高三学业考试）
4．已知是第四象限的角，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．若α为第三象限角，则＋的值为（ ）
A．3 B．－3
C．1 D．－1
（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）
6．已知为钝角，，则 ．
（2023上·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）
7．已知，则 .
（2023上·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）
8．已知，，则的值为 .
9．已知，则的值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据角度范围确定，再根据同角三角函数关系计算得到答案.
【详解】是第二象限角，所以.
由同角函数关系式知.
故选：A.
2．当α是第二象限角时，，；当α是第三象限角时，，.
【分析】根据得到α是第二象限角或第三象限角，分两种情况，利用同角三角函数关系求出，的值.
【详解】因为，所以α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，，，
所以，；
当α是第三象限角时，，，
所以，.
3．C
【分析】因题设条件中是弦的齐次式，故考虑分子分母同除以即可将其转化成关于的方程，解之即得.
【详解】由所求知，故有：，解得：
故选：C.
4．C
【分析】根据平方关系和的象限，求出，然后根据商数关系求出.
【详解】因为是第四象限的角，所以，
又，所以，
所以，
故选：C.
5．B
【分析】根据α为第三象限角，利用平方关系求解.
【详解】因为α为第三象限角，
所以＋，
＋，
＋，
=-3
故选：B
6．
【分析】利用同角三角函数平方关系结合余弦函数值在各个象限正负求解即可.
【详解】因为，所以,
因为为钝角，所以.
故答案为：.
7．##
【分析】根据题意，化简得到，代入即可求解.
【详解】由，则.
故答案为：.
8．
【分析】平方得到，确定，，计算得到答案.
【详解】，则，即，
，故，故，
.
故答案为：.
9．
【分析】由同角三角函数的基本关系式化简求值即可.
【详解】，
因为，所以.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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