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6.3.1平面向量基本定理
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
知识点一 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
条件 如果是同一平面内的两个不共线向量
结论 那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底
若不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
微点拨：
①两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
②一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点二 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
微点拨：正交分解中的两个基向量互相垂直，构成正交基底．
知识点三 平面向量的坐标表示
1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得．
这样平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作．
2、向量的坐标表示：
3、特殊向量的坐标：在直角坐标平面中，
微点拨：
①表示点的坐标与表示向量的坐标不同，．
②当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同．
③给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
④两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．
考点一 平面向量基本定理
题型一 基底概念的理解
1.（2023·全国·高一专题练习）下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】B
【解析】因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；
由平面向量基本定理知④正确．
综上可得②③④正确．故选：B．
2.（2022·安徽芜湖·高二校考开学考试，多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【解析】对A，给定向量，总存在向量，使，即，
显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，
由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，
由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD
3．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
4．（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中，多选）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】两个向量不共线，则可以作为基底.
【详解】对于A， ，则，不能作为基底；故A错误；
对于B，，则，不能作为基底，故B错误；
对于C，，则，，与不共线，可作为基底，故C正确；
对于D，，可作为基底，故D正确；
故选：CD.
题型二 用基底表示向量
提分笔记 (1)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则． (2)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或平行四边形法则快速找到表示法． (3)方法： 方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止． 方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
1．（2023·全国·高一课堂例题）如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．

【答案】，，，
【分析】根据向量的加法、减法法则，以及数乘运算求解．
【详解】由向量加法的平行四边形法则．
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以．
从而，
，
．
2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

【答案】，
【分析】根据向量数乘运算及平面向量基本定理求解.
【详解】∵点与点关于点对称，
∴是的中点，，
，
，
，
且，
.
综上：， .
3．（2024上·辽宁大连·高一期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
考点二 平面向量基本定理的应用
题型一 利用平面向量基本定理求参数
1．（2023·全国·高一随堂练习）已知平面一组基底，实数x，y满足：，求x，y的值．
【答案】
【分析】由平面向量基本定理可解.
【详解】平面向量基本定理可知
，解得.
2．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 .
【答案】/
【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】在中，点D，E满足，，
则，
而不共线，又，因此，
所以.
故答案为：
3．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由是的重心，得到，再由三点共线，得到，结合题意，得出方程组求得，结合基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】如图所示，设边上的中点为，因为是的重心，可得，
根据向量的线性运算法则，可得，
又因为三点共线，可得，即，
可得，
因为，可得，
所以，整理得，即，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
题型二 平面向量基本定理在几何中的应用
利用向量解决几何问题的一般思路 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底． (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
1．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用、作为一组基底表示出、，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为点满足，所以为的中点，
所以，又，
所以，
所以，又，
因为，所以，
即，
所以，解得，所以.
故选：C
2．（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解.
【详解】因为D为AB的中点，则，
可得，即，解得，
又因为P为CD上一点，设，
则，
可得，解得，即，
则，
可得，即.
故选：D.
【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得；
2.设，根据平面向量基本定理求得；
3.以为基底表示，进而运算求解.
3．（2024上·天津宁河·高三统考期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为 ；若的面积为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】如图所示，根据向量的运算法则，
可得，
设，因为的面积为，可得，即，
又由
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：；.
4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O，
(1)设，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算计算即可；
（2）利用三点共线以为基底得，再根据数量积公式计算即可.
【详解】（1）∵，
∴；
（2）因为E，O，C三点共线，不妨设,
所以，
再设，所以，
所以，
所以，，
因为，
∴得，即．
考点三 平面向量的坐标表示
提分笔记 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
1．（2021下·高一课时练面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ．
【答案】
【分析】根据向量的正交分解直接可得答案.
【详解】因为点，所以
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】由向量的模长和夹角即可求解.
【详解】由可得，由于，所以,
故.
故答案为：

3．（2021下·高一课时练习）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限.
【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限.
故选：D
4．（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标.
【详解】根据平面直角坐标系，可知，，
∴，.
故选：C.
5．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解.
【详解】由中点坐标公式可得,所以,
故选：B
6．（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．
【答案】．
【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案.
【详解】因为，
又，所以．
因此在基下的坐标为．6.3.1平面向量基本定理
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
知识点一 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
条件 如果是同一平面内的两个不共线向量
结论 那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底
若不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
微点拨：
①两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
②一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点二 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
微点拨：正交分解中的两个基向量互相垂直，构成正交基底．
知识点三 平面向量的坐标表示
1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得．
这样平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作．
2、向量的坐标表示：
3、特殊向量的坐标：在直角坐标平面中，
微点拨：
①表示点的坐标与表示向量的坐标不同，．
②当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同．
③给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
④两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．
考点一 平面向量基本定理
题型一 基底概念的理解
1.（2023·全国·高一专题练习）下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
2.（2022·安徽芜湖·高二校考开学考试，多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
3．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中，多选）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
题型二 用基底表示向量
提分笔记 (1)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则． (2)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或平行四边形法则快速找到表示法． (3)方法： 方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止． 方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
1．（2023·全国·高一课堂例题）如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．

2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

3．（2024上·辽宁大连·高一期末）如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
考点二 平面向量基本定理的应用
题型一 利用平面向量基本定理求参数
1．（2023·全国·高一随堂练习）已知平面一组基底，实数x，y满足：，求x，y的值．
2．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则 .
3．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 .
4．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
题型二 平面向量基本定理在几何中的应用
利用向量解决几何问题的一般思路 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底． (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
1．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·天津宁河·高三统考期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为 ；若的面积为，则的最小值为 ．
4．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O，
(1)设，求的值；
(2)若，求的值．
考点三 平面向量的坐标表示
提分笔记 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
1．（2021下·高一课时练面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ．
2．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ．
3．（2021下·高一课时练习）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
4．（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
5．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．

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