资源简介

2.4 导数的四则运算法则3种常见考法归类
课程标准 学习目标
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 1.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(数学运算) 2．利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
知识点01导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，
F(x)＝f(x)＋g(x)
则＝
＝＋，
∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)，
注：
函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．
即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）
证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)，
＝
＝
＝＋，
∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)．
注：
(3)＝(g(x)≠0)．
（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）
注：
【即学即练1】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cos x；
(2)y＝lg x－ex.
(3)f(x)＝x2＋sin x；
(4)g(x)＝x3－x2－6x＋2.
(5)y＝x2＋xln x；
(6)y＝；
(7)y＝；
(8)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
【解析】(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cos x)′＝5x4－3x2－sin x.
(2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex.
(3)∵f(x)＝x2＋sin x，∴f′(x)＝2x＋cos x.
(4)∵g(x)＝x3－x2－6x＋2，∴g′(x)＝3x2－3x－6.
(5)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·
＝2x＋ln x＋1.
(6)y′＝′＝
＝
＝.
(7)y′＝′＝＝.
(8)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
【即学即练2】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝x2＋tan x；
(3)y＝.
【解析】(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋′
＝2x＋＝2x＋.
(3)y′＝
＝＝.
【即学即练3】（2024高二课堂练习）已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，得，
所以，
故选：D
【即学即练4】（2024高二课堂练习）f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
【解析】f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B
题型一：利用求导公式和法则求导
例1.【多选】（2024高二课堂练习）下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
【解析】A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，′＝，故错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确．故选AD
变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋；
(2)y＝；
(3)f(x)＝(x2＋9)；
(4)f(x)＝.
【解析】(1)y′＝′＝′＋′＝－.
(2)y′＝′＝
＝－.
(3)f(x)＝x3＋6x－，f′(x)＝3x2＋＋6.
(4)f′(x)＝
＝
＝.
变式2.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝3xex－2x＋e;(3)y＝3＋4.(4)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)
(5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(6)y＝(1－)；（7）y＝xcos x－sin x；(8)y=x2cos x
(9)y＝tan x；(10)y＝x·tanx；(11)y＝；(12)y＝
【解析】(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4＋6＝4＋6.
(4)解法1：y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5.
解法2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(5)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
(6)因为y＝(1－)＝－＝x－－x，所以y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(7)y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
(8)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．
(9)y′＝＝.
(10)y′＝(x·tanx)′＝′＝＝＝. (11)解法1：y′＝′＝＝＝；
解法2：∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝.
(12)y′＝′＝＝＝.
【方法技巧与总结】
利用导数的公式及运算法则求导的思路
题型二：利用求导公式和法则求值
例2.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__________．
【解析】因为f′(x)＝exln x＋ex·＝ex，所以f′(1)＝e(0＋1)＝e.
变式1.（2024高二课堂练习）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为
所以
所以
故选：B
变式2.（2024高二课堂练习）已知是奇函数，则（ ）
A．14 B．12 C．10 D．-8
【解析】由题意知,所以.所以，则.所以.故A正确.
变式3.（2024高二课堂练习）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
【解析】由已知得f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，又f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.故答案为：1.
例3.（2024高二课堂练习）已知函数f（x）＝f'（e）+xlnx，则f'（e）＝（　　）
A．1+e B．2 C．2+e D．3
【解析】f′（x）＝lnx+1，∴f′（e）＝2．故选：B．
变式1.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__________.
【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.
变式2.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝__________.
【解析】因为f(x)＝f′sin x＋cos x，所以f′(x)＝f′·cos x－sin x，所以f′＝f′－，所以f′＝－(2＋)，所以f(x)＝－(2＋)sin x＋cos x，所以f＝－(2＋)＋＝－1.
题型三：导数与曲线的切线问题
例4.（2024高二课堂练习）曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.故选B
变式1.【多选】（2024高二课堂练习）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.故选CD
变式2.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　)
A．1 B．－1 C．7 D．－7
【解析】∵f′(x)＝＝，又f′(1)＝tan ＝－1，∴a＝7.故选C
变式3.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
【解析】(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
变式4.（2024高二课堂练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【解析】由题得，所以，所以，
所以，所以，所以切点为，
将代入切线方程得，∴．故选：B.
变式5.（2024高二课堂练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【解析】的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即.
由于切线与曲线相切，
可联立，
得，
又，两线相切有一切点，
所以有，
解得.
故选：B.
变式6.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　)
A. B．1 C．－ D．－1
【解析】因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，
所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
所以f′(1)＝－，所以a＝－.故选C
【方法技巧与总结】
关于函数导数的应用及其解决方法
应用 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
方法 先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
一、单选题
1．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数，则（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
【答案】C
【分析】求出导数，令，求出，再求出.
【详解】因为函数，所以，
令则，，解得，
所以，，
所以，，
所以.
故选：C
2．（2024上·山西长治·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.
【详解】由题意可得：，则，可知：所求切线的斜率为2，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：B.
3．（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】利用导数的运算法则求得，从而求得.
【详解】因为，所以，
则，所以，
故选：B．
4．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在等式两边求导，令，可求得的值，可得出的表达式，代值计算可得出的值.
【详解】因为，则，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据导数的几何意义求出函数图象在点处的切线斜率；再根据两直线互相垂直列出方程求解即可得出答案.
【详解】因为，
所以函数的图像在点处的切线斜率为．
又切线与直线垂直，
所以，即，解得．
故选：A．
6．（2024·广东茂名·统考一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，
故曲线在点处的切线的斜率为2，
因为，所以，
所以，
故选：C.
7．（2024上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【详解】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选：D
8．（2024上·安徽滁州·高二统考期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出导函数后计算出切线斜率，然后写出切线方程．
【详解】由题意知，
所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即.
故选：A.
9．（2024上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解.
【详解】∵函数的导数为，
∴曲线在点处的切线斜率为，
由两直线平行可得①.
又∵点在曲线上，
∴②，由①②解得，.
故选：C.
10．（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.
【详解】由，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且
若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以，此时易知单调递增，
要满足题意则需.
故选：D
11．（2023上·重庆·高三统考阶段练习）设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得.
【详解】令，求导得，则切线的斜率为，
由的倾斜角小于，得切线的斜率或，
即或，
解得，解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题
12．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
由求导公式得C正确，由商的导数运算法则得D正确.
故选：CD
13．（2023下·河南南阳·高二统考期中）若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对求导，令即可求出的值可判断A，B；将的值代入可得，再令可求出值可判断C，D.
【详解】由可得：，
令，则，
解得：，故B正确，A不正确；
所以，令，则，
故C正确，D不正确
故选：BC.
14．（2023下·广西桂林·高二校考期中）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AB
【分析】先对求导，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】由题得.
故选：AB.
15．（2023下·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是（ ）

A．曲线在附近增加
B．曲线在附近减少
C．曲线在附近比在附近增加的缓慢
D．曲线在附近比在附近增加的缓慢
【答案】AD
【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可.
【详解】对于A、B选项，由图象可知，在与附近均增加，故A正确，B错误；
对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，
与均在对称轴左侧，函数单调递增，
但增加的趋势逐渐趋于平缓，且，，故C错误，D正确.
故选：AD
16．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设切点坐标，利用导数求得切线方程，代入已知点的坐标，求解切点横坐标，则答案可求.
【详解】由，得，
设切点坐标为，则，
则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，即或.
当时，切线方程为;
当时，切线方程为.
故选：BC.
17．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.
【详解】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
18．（2023·广东·校联考二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为
C．的方程为 D．的方程为
【答案】BCD
【分析】对函数求导，表示出在点的切线斜率即可.
【详解】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
19．（2023下·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）直线与曲线相切于点，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由点在直线上可得，由导数的几何意义可得，根据在上求得，即可求得答案．
【详解】∵直线与曲线相切于点,
将代入可得：，解得：，
∵，∴，
由，解得：，可得，
∵根据在上 ∴，解得：.
从而可知，BC正确.
故选：BC.
三、填空题
20．（2024上·广东湛江·高三统考期末）若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】由题意得，
由函数的图象在点处的切线平行于轴，
可得，得，
故答案为：-2
21．（2024上·云南·高三校联考阶段练习）已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为 ．
【答案】1
【分析】利用导数的运算法则，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】因为，
所以，则，
解得．
所以的图象在点处的切线的斜率为1.
故答案为：1
22．（2024上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
则切线斜率为，
所以切线方程为，
即所求切线方程为.
故答案为：.
23．（2024上·上海普陀·高三校考期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为
【答案】
【分析】求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.
【详解】由可得，即函数的定义域为，
则，
又因为函数为奇函数，对任意的，
，
对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
24．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据基本初等函数的求导公式求导即可；
（2）根据导数的四则运算求导公式求导.
【详解】（1）
（2）
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程.
【答案】
【分析】求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程.
【详解】∵，∴.
由已知，
∴得.
所以，所以，
∴曲线在点处的切线方程为
化简得：.
故所求切线方程为：.
26．（2023上·河北·高二校联考阶段练习）已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求函数的图象在点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导即可代入求解，
（2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解.
【详解】（1）由，得，
又，所以，解得.
（2）由，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
27．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)切线方程为，切点为.
【分析】（1）求导得到导函数，计算，得到切线方程.
（2）设切点为，求导计算得到斜率，确定函数切线，根据切线过原点得到，计算得到答案.
【详解】（1），，.
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）设切点为，，
切线方程为，.
切线经过原点，故，所以，，
故，切点为，切线方程为，
即过原点的切线方程为，切点为.
28．（2022上·福建福州·高二校考期末）已知函数.
(1)时，求证：是曲线的一条切线；
(2)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出结论；
（2）由题意可得，进而可得出答案.
【详解】（1）时，，
则，令，解得，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即，
所以是曲线的一条切线；
（2），
因为曲线在点处的切线平行于轴，
所以，即，解得，
此时，
所以曲线在点处的切线为，符合题意，
所以.
29．（2024上·湖南·高二校联考期末）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直．
(1)求a，b的值；
(2)求经过点且与曲线相切的切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解；
（2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可.
【详解】（1）由，则，
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
则，解得.
（2）由（1）可设切线与曲线相切于点，
则切线斜率，
则切线的方程为，
将点代入方程整理得，解得或．
当时，切线方程为．
当时，切线方程为．
故经过点且与曲线相切的切线方程为或．
30．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数，直线l：与x轴交于点A．
(1)求过点A的的切线方程；
(2)若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
【答案】(1)或；
(2)或.
【分析】（1）设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解.
（2）根据给定条件，利用导数的几何意义求出点的横坐标即可.
【详解】（1）设过点A的直线与函数的图象相切的切点为，
函数，求导得，则切线斜率，
因此切线方程为，直线与x轴交于点，
依题意，，整理得，解得或，
当时切线方程为；当时切线方程为，
所以所求切线方程为或.
（2）设点，由（1）知，，即，解得，显然，
而点或都不在直线上，
所以B点坐标为或.2.4 导数的四则运算法则3种常见考法归类
课程标准 学习目标
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 1.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(数学运算) 2．利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
知识点01导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，
F(x)＝f(x)＋g(x)
则＝
＝＋，
∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)，
注：
函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．
即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）
证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)，
＝
＝
＝＋，
∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)．
注：
(3)＝(g(x)≠0)．
（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）
注：
【即学即练1】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cos x；
(2)y＝lg x－ex.
(3)f(x)＝x2＋sin x；
(4)g(x)＝x3－x2－6x＋2.
(5)y＝x2＋xln x；
(6)y＝；
(7)y＝；
(8)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
【即学即练2】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝x2＋tan x；
(3)y＝.
【即学即练3】（2024高二课堂练习）已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（2024高二课堂练习）f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
题型一：利用求导公式和法则求导
例1.【多选】（2024高二课堂练习）下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋；
(2)y＝；
(3)f(x)＝(x2＋9)；
(4)f(x)＝.
变式2.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝3xex－2x＋e;(3)y＝3＋4.(4)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)
(5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(6)y＝(1－)；（7）y＝xcos x－sin x；(8)y=x2cos x
(9)y＝tan x；(10)y＝x·tanx；(11)y＝；(12)y＝
【方法技巧与总结】
利用导数的公式及运算法则求导的思路
题型二：利用求导公式和法则求值
例2.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__________．
变式1.（2024高二课堂练习）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024高二课堂练习）已知是奇函数，则（ ）
A．14 B．12 C．10 D．-8
变式3.（2024高二课堂练习）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
例3.（2024高二课堂练习）已知函数f（x）＝f'（e）+xlnx，则f'（e）＝（　　）
A．1+e B．2 C．2+e D．3
变式1.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__________.
变式2.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝__________.
题型三：导数与曲线的切线问题
例4.（2024高二课堂练习）曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
变式1.【多选】（2024高二课堂练习）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
变式2.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　)
A．1 B．－1 C．7 D．－7
变式3.（2024高二课堂练习）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
变式4.（2024高二课堂练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
变式5.（2024高二课堂练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
变式6.（2024高二课堂练习）已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　)
A. B．1 C．－ D．－1
【方法技巧与总结】
关于函数导数的应用及其解决方法
应用 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
方法 先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
一、单选题
1．（2023上·江苏宿迁·高二校考期中）已知函数，则（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
2．（2024上·山西长治·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
4．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·广东茂名·统考一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2024上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024上·安徽滁州·高二统考期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·重庆·高三统考阶段练习）设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023下·河南南阳·高二统考期中）若，则（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023下·广西桂林·高二校考期中）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
15．（2023下·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是（ ）

A．曲线在附近增加
B．曲线在附近减少
C．曲线在附近比在附近增加的缓慢
D．曲线在附近比在附近增加的缓慢
16．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·广东·校联考二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为
C．的方程为 D．的方程为
19．（2023下·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）直线与曲线相切于点，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
20．（2024上·广东湛江·高三统考期末）若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 .
21．（2024上·云南·高三校联考阶段练习）已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为 ．
22．（2024上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
23．（2024上·上海普陀·高三校考期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为
四、解答题
24．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程.
26．（2023上·河北·高二校联考阶段练习）已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求函数的图象在点处的切线方程.
27．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
28．（2022上·福建福州·高二校考期末）已知函数.
(1)时，求证：是曲线的一条切线；
(2)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值.
29．（2024上·湖南·高二校联考期末）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直．
(1)求a，b的值；
(2)求经过点且与曲线相切的切线方程．
30．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数，直线l：与x轴交于点A．
(1)求过点A的的切线方程；
(2)若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．

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