资源简介

2.5 简单复合函数的求导法则4种常见考法归类
课程标准 学习目标
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算) 3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
知识点01复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
【即学即练1】【多选】（2024高二课堂练习）下列所给函数为复合函数的是(　　)
A．y＝ln (x－2)　　　　　B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x
【即学即练2】【多选】（2024高二课堂练习）下列哪些函数是复合函数(　　)
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
知识点02复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′．即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
注：　(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．
【即学即练3】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
题型一：求复合函数的导数
例1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
变式2.（2024高二课堂练习）设函数，则函数的导函数等于 （ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
复合函数求导的步骤
题型二：利用复合函数求导法则求值
例2.（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知函数，则= .
变式2.（2024高二课堂练习）已知函数在上可导，函数，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式3.（2024高二课堂练习）设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
题型三：复合函数的导数与曲线的切线问题
例3.（2024上·山西阳泉·高三统考期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式2.（2024高二课堂练习）曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D．1
变式3.（2024高二课堂练习）曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
变式4.（山西省运城市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B．
C． D．
变式5.（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为 ．
变式6.（2024·山西临汾·统考一模）设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 .
【方法技巧与总结】
准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
题型四：复合函数的导数在实际问题中的应用
例4.（2024高二课堂练习）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
变式1.（2023上·海南·高三校联考阶段练习）烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
变式2.（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型刻画，其中是该种群的内禀增长率，若，则时，的瞬时变化率为 .
变式3.（2024上·江苏扬州·高二统考期末）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为 ．
【方法技巧与总结】
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
一、单选题
1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024上·江苏连云港·高二统考期末）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）下列函数的导数计算正确的是（ ）
A．若函数，则
B．若函数（且），则
C．若函数，则（e是自然对数的底数）
D．若函数，则
8．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是不恒为0的奇函数，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
9．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为 ．
11．（2022上·陕西西安·高二校考期末）函数的图象在处的切线方程为 .
12．（2024上·湖北黄石·高二校联考期末）已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为 .
13．（2023·河南·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则 ．
14．（2023·海南·统考模拟预测）曲线在点处的切线与轴平行，则 ．
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数（，），且，，是的导函数，则的最大值为 ．
16．（2020上·天津北辰·高三统考期中）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是 .
四、解答题
17．（2023下·高二课时练习）指出下列函数由哪些函数复合而成．
(1)；
(2)；
(3)．
18．（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
(2)
19．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
20．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)；
(5) ；
(6)
21．（2023上·江苏·高二专题练习）设函数，，分别为的导函数，解不等式.2.5 简单复合函数的求导法则4种常见考法归类
课程标准 学习目标
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算) 3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
知识点01复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
【即学即练1】【多选】（2024高二课堂练习）下列所给函数为复合函数的是(　　)
A．y＝ln (x－2)　　　　　B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x
【解析】函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.
答案：AD
【即学即练2】【多选】（2024高二课堂练习）下列哪些函数是复合函数(　　)
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
【解析】A不是复合函数；BCD都是复合函数．故选BCD
知识点02复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′．即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
注：　(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．
【即学即练3】（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
【解析】(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′uu′x＝＝.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
题型一：求复合函数的导数
例1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
【解析】(1)y＝，
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝
＝·(－2)
＝.
(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(3)设y＝sin u，u＝2x＋，
则y′x＝(sin u)′′＝cos u·2＝2cos.
变式1.（2024高二课堂练习）求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】（1）因为，所以
（2）因为，所以
（3）因为，所以
（4）因为，所以
（5）因为，所以
（6）因为，所以
变式2.（2024高二课堂练习）设函数，则函数的导函数等于 （ ）
A． B． C． D．
【解析】y＝f（a﹣bx）＝（a﹣bx）3，
∴y′＝3（a﹣bx）2×（﹣b）＝﹣3b（a﹣bx）2．
故选C．
【方法技巧与总结】
复合函数求导的步骤
题型二：利用复合函数求导法则求值
例2.（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由导数运算法则计算即可得.
【详解】，则.
故选：B.
变式1.（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知函数，则= .
【答案】
【分析】首先求函数的导数，并求，再根据函数的解析式，即可求解.
【详解】，
则，得，
所以，
故.
故答案为：
变式2.（2024高二课堂练习）已知函数在上可导，函数，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】∵，∴，
∴.
故选：B.
变式3.（2024高二课堂练习）设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
【解析】∵f′(x)＝－sin(x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
∵其为奇函数，∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0，
∴tan φ＝，又0<φ<π，∴φ＝.
题型三：复合函数的导数与曲线的切线问题
例3.（2024上·山西阳泉·高三统考期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义即可求得函数在某点处的切线方程.
【详解】因为，
所以，
所以在点处的切线斜率为.
所以切线方程为，即，
故选：D.
变式1.（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义结合条件求解即可.
【详解】由题意得斜率为，
，所以，
解得，
故选：C.
变式2.（2024高二课堂练习）曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D．1
【解析】依题意得
y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A
变式3.（2024高二课堂练习）曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【解析】∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，
故直线l可设为x－y＋m＝0(m≠1)．
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
变式4.（山西省运城市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】令，则，
令，有，则，
即有，即，故，
令，则，
令，有，则，
即有，即，
故有，即.
故选：BD.
变式5.（2024上·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】确定两函数是互为反函数，它们图象关于直线对称，因此只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，由切点到直线的距离即可得结论．
【详解】由得，即，
所以函数的反函数是，因此它们的图象关于直线对称，
取得最小值时，两点一定关于直线对称，
由得，令，则，此时，
因此曲线上斜率为1的切线的切点坐标为，它到直线的距离为，
由对称性知的最小值是．
故答案为：．
变式6.（2024·山西临汾·统考一模）设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可得出，令，则，分析可知，函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，
则，
令，可得，
可得，
因为，令，则，且函数在上单调递增，
令，其中，
因为曲线有两条斜率为的切线，则函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
题型四：复合函数的导数在实际问题中的应用
例4.（2024高二课堂练习）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
【解析】设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·
＝cos，
将t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos ＝(m/h)．
s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
变式1.（2023上·海南·高三校联考阶段练习）烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
【答案】
【分析】根据公式和已知条件直接求解即可
【详解】因为水的初始温度为，所以，解得，所以，
则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是.
故答案为：
变式2.（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型刻画，其中是该种群的内禀增长率，若，则时，的瞬时变化率为 .
【答案】/
【分析】求时的瞬时变化率，即求在处导数值，求导，代入计算即可.
【详解】当时，，则，
则时，的瞬时变化率为.
故答案为：.
变式3.（2024上·江苏扬州·高二统考期末）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为 ．
【答案】2
【分析】计算出及后代入计算即可得.
【详解】，，
故，，
则.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
一、单选题
1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算法则依次得出答案.
【详解】因为，所以A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项错误；
因为，所以D选项正确.
故选：C.
2．（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对求导，将代入求即可.
【详解】由已知可得，
所以，所以
故选：A.
3．（2023上·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即，
故选：A.
4．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，依题意可得，利用余弦函数性质可求出的最小值.
【详解】∵的最大值为2，∴．
∴，，∴，
∴，即，的最小值为．
故选：D.
5．（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数定义求出，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解.
【详解】因为为奇函数，则，
可得，
注意到，可知不恒成立，
则，即，可得，
所以，
则，故，
可知切点坐标为，切线斜率为2，
所以切线方程为.
故选：C.
二、多选题
6．（2024上·江苏连云港·高二统考期末）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可.
【详解】，，
，.
故选：BC.
7．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）下列函数的导数计算正确的是（ ）
A．若函数，则
B．若函数（且），则
C．若函数，则（e是自然对数的底数）
D．若函数，则
【答案】BCD
【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.
【详解】对于A，，所以，A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，C正确，
对于D，，D正确，
故选：BCD
8．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是不恒为0的奇函数，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】根据奇函数的性质以及符合函数的导数判断四个选项即可.
【详解】因为函数及其导函数的定义域均为，是不恒为0的奇函数，
所以，所以，故B错误；
因为，则，所以，
所以为奇函数，故正确；
因为，所以，所以为偶函数，故D正确；
因为，所以，即，故A正确，
故选：ACD.
9．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】先根据条件分析出的周期性对称性，再得到的周期性的对称性，最后由求导得到和的周期性和对称性，代入求解即可.
【详解】由题意得，所以，
两式相减可得①，所以关于点中心对称，
又因为为奇函数，所以②，
即，所以关于点中心对称，
而定义域为，所以，A正确；
②式两边对求导可得，所以是偶函数，
以替换①中的可得，
所以，所以是最小正周期为4的周期函数，
因为，所以也是最小正周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，
所以也是最小正周期为4的周期函数，所以不恒成立，B错误；
由①得，令，解得，
所以③，即关于直线对称，
以替换③中的可得，
由②可知，所以④，
所以，所以C正确；
由上可知关于点中心对称，所以
又因为是偶函数，所以
又因为是最小正周期为4的周期函数，所以，
由条件可得，
所以，
由④知，所以，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
三、填空题
10．（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】令，
则，
有，，
故切线方程为，化简得.
故答案为：.
11．（2022上·陕西西安·高二校考期末）函数的图象在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】由函数的解析式，求得，根据导数求得，结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以在处的切线方程为，即.
故答案为：.
12．（2024上·湖北黄石·高二校联考期末）已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为 .
【答案】（或）
【分析】设切点坐标分别为，，由切线斜率可得，结合公切线方程解得或，进而可得公切线方程.
【详解】因为，，则，，
设函数上的切点坐标为，切线斜率为，
函数上的切点坐标为，切线斜率为，
由切线斜率可得，即，
可得公切线方程为，
代入点可得，
代入可得，
整理得，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：（或）.
13．（2023·河南·校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知切线列式求解即可.
【详解】依题意，设切点为，则，
由，求导得，于是，解得，
从而，则.
故答案为：
14．（2023·海南·统考模拟预测）曲线在点处的切线与轴平行，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为在点处的切线与轴平行，可得，解得.
故答案为：.
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数（，），且，，是的导函数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据条件先求解出的值，由此可得的解析式，然后根据导数运算以及辅助角公式求解出最大值.
【详解】由，得，
又，所以，则，
由，得，
所以，或，，
所以，或，，
因为，所以，所以．
则，则，
其中，当且仅当时取等号，
故的最大值为，
故答案为：.
16．（2020上·天津北辰·高三统考期中）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据已知求出，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为，由
所以，且过切点的直线为，
所以有：，
因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
故答案为：.
四、解答题
17．（2023下·高二课时练习）指出下列函数由哪些函数复合而成．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，.
(2)，.
(3)，.
【分析】根据复合函数的概念得到答案.
【详解】（1）由，复合而成；
（2）由，复合而成；
（3）由，复合而成.
18．（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用导数加减、乘法及简单复合函数导数求法求函数的导函数；
（2）应用导数除法法则求函数的导函数.
【详解】（1）
（2）
19．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可；
（2）利用复合函数求导运算求解即可；
（3）利用复合函数求导运算求解即可；
（4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导；
（5）利用复合函数求导运算求解即可；
（6）利用复合函数求导运算求解即可.
【详解】（1）由，
则.
（2）由，
则.
（3）由，
则.
（4）由
，
则.
（5）由，
则.
（6）由，
则.
20．（2023上·高二课前预习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)；
(5) ；
(6)
【答案】(1)
(2)．
(3)．
(4)
(5)．
(6)
【分析】利用基本初等函数的导函数公式结合复合函数求导法则运算求解
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）,
（5）
（6）
21．（2023上·江苏·高二专题练习）设函数，，分别为的导函数，解不等式.
【答案】
【分析】先求解出的导函数，然后列出不等式组并注意定义域，由此求解出不等式的解集.
【详解】因为，
所以，
解得，所以不等式解集为.

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