资源简介

【第二练】5.4.1正弦函数、余弦函数的图象＋5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.熟记正弦函数，余弦函数的图象性质，培养数学抽象，如第2题；
2.能够灵活应用正弦函数，余弦函数的图象性质解绝较复杂的问题，培养运算求解能力，数形结合能力，如第7，9，10，12，13题；
（2023·高一课时练习）
1．使函数为偶函数的最小正数φ＝（　　）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一随堂练习）
2．当时，函数（　　）
A．在区间上单调递增，在区间上单调递减
B．在区间上单调递增，在区间，上分别单调递减
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．在区间，上分别单调递增，在区间上单调递减
（2023上·高一单元测试）
3．函数的定义域是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2023·全国·高一随堂练习）
4．函数，，则y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
（2023下·高一单元测试）
5．函数的最小值等于（ ）
A．1 B． C． D．
（2023上·高一单元测试）
6．下列函数中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
（2023上·江苏南京·高二统考期中）
7．已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ）
A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]
8．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数` B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2
（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）
9．已知函数满足，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．在区间上有两个零点
（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）
10．写出同时满足下列条件的函数的一个解析式 .．
（2023上·广东深圳·高一校考期末）
11．函数的最小正周期是，则 ．
12．已知函数f(x)=3sin(x- )( >0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图像的对称轴完全相同．若x,则f(x)的取值范围是 ．
（2024上·广东广州·高一统考期末）
13．已知函数其中，，函数最小正周期为；从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：
(1)的单调递增区间；
(2)在区间的最大值和最小值.
条件①：函数图象关于点对称；
条件②：函数图象关于对称.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【易错题目】第9，13题
【复盘要点】熟记正弦函数、与余弦函数的图象性质，灵活应用性质求解加复杂的问题.
典例（多选题）（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）已知函数的图象关于点成中心对称，则（ ）
A．在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若在上有两个不相等的实根，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据对称可得，即可根据三角函数的性质逐一求解.
由于的图象关于点成中心对称，
所以，故，由于，所以，，
对于A，当，则，故在区间上单调递减，A正确，
对于B，，则，故当时，即时，取最大值2，B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，，要使在上有两个不相等的实根，则在上有两个不相等的实根，
因此，解得，故D正确，
故选：ACD
【复盘训练】
（2023下·高一课时练习）
14．下列对的图象描述错误的是（　　）
A．在和上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线与直线之间
C．关于轴对称
D．关于点中心对称
（2023下·高一课时练习）
15．已知，则的图象（　　）
A．与的图象关于x轴对称
B．与的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到的图象
D．向右平移个单位，得到的图象
（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）
16．已知函数，若，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．与和有关
（2023上·安徽蚌埠·高一校考阶段练习）
17．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
18．已知函数的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且.若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是 .
（2024·陕西榆林·统考一模）
19．已知函数.若存在，使不等式成立，则的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由函数为偶函数，得，由此能求出使函数为偶函数的最小正数φ的值．
【详解】∵函数为偶函数，
∴，
∴使函数为偶函数的最小正数．
故选：B
2．B
【分析】根据函数，的单调性依次判断选项即可.
【详解】函数，，
，为减函数，，为增函数，
，为减函数，
故选：B
3．D
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式，再借助余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，则，即，
因此，解得，
所以函数的定义域是.
故选：D
4．B
【分析】根据正弦函数的单调性求值域即可.
【详解】由的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减，
又，，，
故.
故选：B
5．D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求出最小值作答.
【详解】依题意，，
即，当，即时，，
所以当时，.
故选：D
6．D
【分析】利用三角函数的周期公式求解判断.
【详解】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误；
B. y＝cos x的最小正周期为，故错误；
C. y＝sin的最小正周期为，故错误；
D. y＝cos，故正确；
故选：D
7．B
【分析】根据题意，为的最大值点，根据在上恰有1个零点，结合三角函数图象，列不等式求出实数ω的取值范围.
【详解】由得，
，
所以，即，
，
因为，，，
因为在上恰有1个零点，
所以
①，无解，
②，解得，
综上，实数ω的取值范围为，
故选：B.
8．AD
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、最值对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；
B.当时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当或时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故D正确．
故选：AD
9．BCD
【分析】根据满足，得到的图象关于对称，从而求得，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数满足，
所以的图象关于对称，
所以，则，即，
因为，则，所以，
则，故A错误；
，故B正确；
由，得，因为在单调递增，故C正确；
由，得，易知在上有两个零点，故D正确.
故选：BCD
10．答案不唯一
【详解】分析题中两个条件得到的性质，从而得解.
【分析】因为，故函数是上的偶函数，
又因为，故，
因此函数是周期为的函数，
故满足以上条件的一个函数为．
故答案为：（答案不唯一）.
11．
【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
12．
【详解】由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当 x∈时，－≤2x－≤，
所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.
13．(1)
(2),
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得函数解析式，再由正弦型函数的单调性求解；
（2）根据自变量取值范围，利用整体思想，转化为正弦函数值域问题求解即可.
【详解】（1）若选①：因为函数的最小正周期为，
所以，解得，
因为的图象关于点对称，所以，
解得，
由，则，故.
若选②：因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为的图象关于直线对称，所以，
则，
由，则，故.
综上，不论选择①还是②，都有，
令，解得，，
故函数的单调增区间为
（2）当时，，
所以，
即当时，，时，.
14．C
【分析】根据余弦函数的性质依次判断各选项即可得答案
【详解】解：由余弦函数的性质知：为周期函数，最小正周期为，值域为，对称轴为，对称中心为
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：C
15．D
【分析】由题知，，进而根据正余弦函数图象，平移变换求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，的图象向右平移个单位，得到的图象，它们的图象既不关于轴对称，也不关于轴对称.
故选：D
16．A
【分析】由题意求得，再利用作差法，结合诱导公式即可得解.
【详解】因为，，
所以，则，所以，
所以
，
所以.
故选：A.
17．BC
【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可.
【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A正确；
，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；
，所以的图象关于点对称，故C错误；
若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．
故选：BC．
18．
【分析】由函数的对称中心为，可得，根据，可得的值，又由题意得|x1－x2|的最小值即为函数的半个周期，代入数据即可得结果.
【详解】因为函数的图像的一个对称中心为，
所以，所以ω＝3k－1，，
由得，，
由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即，
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，解题的关键是根据对称中心求出的值，并进行计算，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.
19．
【分析】根据的范围求出范围，可得的值域，可得答案.
【详解】当时，，则，
所以，因此在上的值域为，
若存在，使不等式成立，
则，所以的取值范围是.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】5.4.1正弦函数、余弦函数的图象＋5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
题型一: 正弦函数、余弦函数图象
例1 已知函数，用五点法作出在上的图象．
【解】列表如下：
0
0 1 0 0
1 3 1 1
描点、连线即可得到函数在上的图象，如图所示．
【方法总结】五点法作函数的图象一般通过列表、描点、连线三步完成．
①取的五个值0，，，，分别求出对应的的值，并列出表格，注意给定区间的端点值要取上；②在直角坐标系中描出上述点；
③用光滑的曲线顺次连接各点，注意各关键点的性质和图象的变化趋势，特别是平衡点两侧的弯曲形状．
1．已知函数的图象经过点，则 ．
2．设函数的图象过点．
(1)求；
(2)求函数的周期和单调增区间；
(3)画出函数在区间上的图象.
题型二: 求与三角函数有关的函数的定义域
例2 求函数的定义域．
【解】∵，∴．取余弦函数的图象在一个周期内连续的一段如图，则当时，．
∴函数的定义域为．
【方法总结】求与三角函数有关的函数的定义域时，往往需要解有关的三角函数不等式，解此类不等式的基本方法是“数形结合”，通常利用正弦或余弦曲线解决，解形如的不等式，可令，根据的解集，代入求解的取值范围．这是整体代换的思想．
3．函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
[山东济南2023高一月考]
4．函数的定义域为 .
题型三: 求与三角函数有关的函数的值域（或最值）
例3 函数的值域为______．
【解析】方法一：函数．
∵，∴，即，
∴，即函数的值域为．
方法二：∵，
∴原函数可化为．
∵不成立，∴．
又原函数的定义域为，
∴，即，得，解得，即函数的值域为．
【答案】
点透 注意函数定义域为，因而，从而转化为关于的不等式，求出函数的值域．
【方法总结】求与三角函数有关的函数的值域（或最值）的方法
（1）图象法：将正弦型函数或余弦型函数内部的整体看作一个变量，再结合图象考虑或的性质；
（2）换元法：若函数中既有正弦又有余弦，可考虑换成同名函数，再换元为，注意此时的取值范围；
（3）分离常数法：求解含有正弦、余弦的分式函数的值域问题，关键是将原函数解析式分离常数，变形为基本函数的形式，再根据正弦、余弦函数的值域及基本函数的性质求解．
[天津第四中学2023高一期末]
5．函数在区间上的最小值是 .
6．函数，，则的最小值为 ．
7．函数的最大值为 ；
题型四:三角函数的单调性与单调区间
例4 已知函数（，）在时，取得最大值2．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间．
【解】（1）因为在取得最大值2，所以，且，，，．又，所以，所以．
（2）令，，解得，．
所以的单调递减区间为，．
【方法总结】求解正弦函数、余弦函数的单调区间时，注意函数的定义域．求复合函数的单调区间可多次运用复合函数“同增异减”的单调性法则．注意变换前后两函数的单调性是否相同．
[江苏南通中学2023高一开学考]
8．设函数，则在上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数.则函数的单调递减区间是 .
[北京顺义区2023高一期末]
10．已知函数，满足.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
题型五: 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小
例5.（2023·河南省南阳市第一中学校月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析 ，．
∵在上是减函数，且，∴，即．
答案A
【方法总结】用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
[河北保定一中2023高一期末]
11．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
[甘肃兰州2023高一月考]
12．下列不等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
题型六: 与三角函数有关的函数图象的识别及应用
例6 函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数的定义域为，可排除B，D；
当时，，，
所以，故选A．
【答案】A
【方法总结】解决图象辨识题的思路方法
函数图象与解析式的对应问题一般是根据图象所反映出的函数性质来解决的，如函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性、最值等，零点也可以作为判断的依据．也可采用特殊值法进行排除．
13．已知函数的图象的一部分如图所示，则该函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
[河北石家庄2023高一月考]
14．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当或，有0个交点 B．当或，有1个交点
C．当，有2个交点 D．当有2个交点时，设2个交点的横坐标分别为，，则
15．求函数的图象与直线及轴围成的封闭图形的面积 ．
易错点1 求单调区间时忽视系数的符号致错
例1 求函数的单调递减区间．
【错解】设，∵的单调递减区间为，，
∴，，解得，．
∴函数的单调递减区间为，．
易错警示 求函数的单调区间时，若，需先利用诱导公式转化为，将求的单调递增区间转化为求的单调递减区间，求的单调递减区间转化为求的单调递增区间．
【正解】∵，
∴求函数的单调递减区间即求的单调递增区间，
∴，，解得，．
∴函数的单调递减区间为，．
16．函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
17．函数的单调递增区间为 .
易错点2 忽略定义域导致错误
例2 [河北保定2023高一期末]函数的单调递增区间为______．
【错解】由余弦函数的性质可知在，上单调递增，，上单调递减，又因为在定义域上为单调递增函数，所以原函数的单调递增区间，．
【错因分析】忽视所求函数的定义域，盲目地求复合函数的单调区间．
【正解】令，由，可得，，解得，，所以以函数的定义域为，．由余弦函数的性质可知在，上单调递增，在，上单调递减，又因为在定义域上为单调递增函数，所以由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间，．
【答案】，
18．函数的单调递增区间为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】直接代入计算即可得到关于的方程，解出即可.
【详解】∵函数的图象经过点，
∴．
故答案为：.
2．(1)
(2)周期为，增区间是
(3)图象见解析
【分析】（1）根据可得，再结合即可解出；
（2）由（1）知，由周期公式即可求出最小正周期，根据整体代换法，由即可得到单调增区间；
（3）根据五点作图法即可作出图象．
【详解】（1）∵f（x）的图象过点．∴sin，∴，
即，∵﹣π＜＜0，∴.
（2）由（1）知，因此，所以最小正周期为，周期为．
由题意得．
解得
所以函数的单调增区间是．
（3）列表
x 0
－1 0 1 0
故函数在区间上的图象为
3．C
【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果.
【详解】依题意有，即，且，
∴函数的定义域为．
故选：C．
4．
【分析】由对数函数和三角函数定义域，可确定正弦函数和余弦函数的取值范围，再根据三角函数单调性即可求得其定义域.
【详解】由题意可知，要使函数各部分有意义，
则须满足即
由正弦函数和余弦函数单调性得；
即得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
5．
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】解：因为，所以，
所以当时，函数.
故答案为：.
6．
【分析】先化简函数得，再换元利用二次函数求函数的最小值.
【详解】由题得，
因为，所以，设，
所以当t=时，g(t)的最小值=-4.
故答案为-4.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7．
【详解】试题分析：根据题意，由于函数，根据三角函数的有界性可知，得到y的最大值为3，故答案为3.
考点：三角函数的值域
点评：主要是考查了分式函数的值域的求解，属于基础题．
8．D
【解析】求出函数的减区间，再与求交集妈阿中得．
【详解】由已知，
，，
又，∴减区间为．
故选：D．
9．
【分析】利用正弦型函数的单调性，令，即得解
【详解】∵的减区间是，
∴，
得出，
∴的递减区间是.
故答案为：
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：因为且，
所以，即，又，所以.
（2）解：由（1）可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
11．B
【分析】三角函数由诱导公式化成锐角三角函数，由正弦函数单调性比较；对数式根据对数函数单调性与1比较大小.
【详解】，
，
，
因为，所以由正弦函数的性质可得，
∴..
故选：B
12．BD
【分析】结合正弦函数、余弦函数在各个区间的单调性依次判断各选项，即可得解.
【详解】对于A，因为，且函数在上单调递增，则，故A错误；
对于B，因为，，且函数在上单调递减，
则，即，故B正确；
对于C，因为，且函数在上单调递减，则，故C错误；
对于D，因为，，且，
函数在上单调递增，则，即，故D正确；
故选：BD
13．D
【分析】根据奇偶性可排除B；A中函数与与轴交点间距离相等，与图象不符，可排除A；根据时，可排除C，由此可得正确选项.
【详解】由图象可知：图象关于原点对称，则为奇函数，
，为偶函数，排除B；
令，解得：，则与轴交点间距离相等，与图象不符，排除A；
当时，，，
，即在右侧函数值先为负数，与图象不符，排除C.
故选：D.
14．B
【分析】由“五点法”作出的图像，根据数形结合可逐一判断各选项.
【详解】因为函数，，
所以，，，，
且易知在上单调递减，在上单调递增，
据此可作出在上的大致图象如图所示．
对于选项A：由图可知当时有1个交点，故A错误；
对于选项B：由图可知当或时有1个交点，故B正确；
对于选项C：由图可知当时，有且只有1个交点，故C错误；
对于选项D：由图可知有2个交点时，故D错误．
故选：B．
15．
【分析】用挖补法将所求面积转化为长方形面积求解即可.
【详解】如图，由于的图象关于点对称，
所以区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积相等，区域Ⅱ和区域Ⅳ的面积相等，
则所求的封闭图形即区域Ⅰ和Ⅳ，面积是大矩形面积的一半．
由图易知大矩形的长为6，宽为，故所求面积为．
故答案为：
16．D
【分析】首先利用诱导公式将函数化简为，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为
故选：D.
17．
【分析】先对函数变形，然后由可求出函数的递增区间
【详解】，所以，
解得，
所以单调递增区间为
故答案为：
18．，
【分析】先求出函数的定义域，再求出的增区间，然后与定义域求交集即可.
【详解】由题意，得，所以，，
解得，．
令，，则，．
所以的单调递增区间为，，
所以函数的单调递增区间为，．
故答案为：，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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