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【第一练】5.5.1课时1 两角和与差的正弦、余弦公式
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.熟记弄清两角和与差的正弦、余弦公式，培养运算，如第2题
2.能灵活应用两角和与差的正弦、余弦公式求解相关问题，锻炼与运算求解能力，如第5题.
3.能灵活应用求解相关问题，锻炼与运算求解能力，如第7题.
1．利用公式求的值.
（2021上·高一课时练习）
2．利用公式证明：
（1）； （2）．
3．已知，，求的值．
4．已知，是第二象限角，求的值.
5．已知，，，，求的值.
6．利用和（差）角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
7．化简
(1)
(2)
(3)
(4)
8．已如，是第三象限角，求的值.
【易错题目】第4，5，7，8题
【复盘要点】熟记两角和与差的正弦、余弦公式，注意公式之间的联系.
【复盘训练】
（2023下·高一课时练习）
9．，则 （ ）
A． B． C． D．
（2023下·高一课时练习）
10．的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·高一课时练习）
11．在中，已知，，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
（2023·高一课时练习）
12．已知，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·高一课时练习）
13．已知，，，，则 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【解析】将转化为，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
2．证明见解析；
【分析】直接利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】证明：根据，
所以（1）．
（2）
3．
【分析】首先利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
4．
【解析】由平方关系得出，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，是第二象限角，得
所以
【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
5．
【解析】由平方关系得出，的值，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，，得
由，，得
所以
【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】根据两角和与差的正弦、余弦公式，结合特殊角的三角函数，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由.
（2）解：由.
（3）解：由.
7．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解.
【详解】（1）解：，
，
（2），
，
，
（3），
，
，
（4），
，
，
.
8．
【解析】逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出，根据平方关系得出，结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，又是第三象限角，∴.
因此.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式以及平方关系，属于中档题.
9．B
【分析】利用两角差的余弦公式及诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
10．B
【分析】根据已知，化简可得，即可得出答案.
【详解】.
故选：B.
11．C
【分析】先求得，，而，从而利用和角余弦公式即可求解.
【详解】在中，因为，所以，
因为，所以.
因为，
所以.
当时，，
即；
当时，，
即.
综上可知，的值为或.
故选：C
12．D
【分析】根据，判断，从而求得，利用拆角的方法结合两角和的余弦公式，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以
,
故选：D
13．
【分析】运用同角三角函数平方关系及两角差的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得：，，
所以，
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】5.5.1课时1 两角和与差的正弦、余弦公式
【课标要求】
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差（和）的正弦公式.
3.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.
【明确任务】
会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.【数学运算】
1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
2.三角函数值再各个象限的符号
一全正，二正弦，三正切，四余弦
核心知识点1: 两角和与差的余弦公式
：．
：．
（1）公式的结构特征：
（2）记忆要诀：两角差（和）的余弦值等于两角的余弦值乘积加上（减去）两角的正弦值乘积． 总结
（3）使用范围：，为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合． 示例
（4）若或是的形式，则直接利用诱导公式进行化简计算．
解读：（1）两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”．“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦值乘余弦值，正弦值乘正弦值；“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反．
（2）与诱导公式配合使用可求出一些非特殊角的余弦值，如，．
例1.求和的值．
【解析】．
．
归纳总结: 两角和与差的正弦公式的记忆技巧：“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”.
【举一反三】
1．计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于
A． B． C． D．
核心知识点2：两角和与差的正弦公式
：
： 拓展
拓展 和（差）角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是和（差）角公式的特例．例如：．
求甚解
1.可以利用诱导公式推导；
2. 可以利用诱导公式或用代替中的推导．
（1）公式的结构特征：
（2）记忆要识：记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同． 总结
（3）使用范围：，为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合． 示例
（4）若或是的形式，则直接利用诱导公式进行化简计算．
（5）公式拓展：．
推导：
．
解读：（1）两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦值乘余弦值，余弦值乘正弦值；“符号相同”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同．
（2）根据公式，可知，我们只要知道，，，的值，就可以求出的正弦值和余法值．
（3）与诱导公式配合使用可求出一些非特殊角的正弦值．
例2.求和的值．
【解析】．
．
归纳总结
两角和与差的余弦公式的记忆技巧：“余余正正，符号相异”.①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦，正弦乘正弦，②“符号相异”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相异.
【举一反三】
2．已知，，，是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
（2023下·高一课时练习）
3．化简的结果为 .
4．的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．设,若,则等于
A． B． C． D．
6．的值是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·高一课时练习）
7．计算： .
（2023下·高一课时练习）
8．计算： .
（2023下·高一课时练习）
9．若点在角的终边上，点在角的终边上，则的值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【详解】sin43°cos13°-cos43°sin13°
=sin(43°-13°)
=sin30°
=.
2．C
【分析】运用同角三角函数平方关系及差角的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得，，
则.
故选：C.
3．##
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
4．D
【分析】利用诱导公式和和差公式求解可得.
【详解】
.
故选：D
5．B
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求得的值，然后利用两角和的余弦公式求出正确选项.
【详解】由于为锐角，所以，所以，故选B.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的余弦公式，属于基础题.
6．B
【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式直接化简求值.
【详解】原式
，
故选：B.
7．##.
【分析】利用三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式和两角差的余弦，
可得.
故答案为：.
8．
【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式求解即可.
【详解】原式
.
故答案为:.
9．##
【分析】根据三角函数的定义，结合和角的余弦公式即可求解.
【详解】因为点在角的终边上，所以，
所以，
因为点在角的终边上，所以，
所以，.
所以.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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