资源简介

【第一练】5.4.1正弦函数、余弦函数的图象＋5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会用五点法作图，培养直观想象，如第1题.
2.会利用正弦函数，余弦函数的图象性质解题，锻炼数形结合能力，运算求解能力，如第2，10，11题.
1．函数，的简图是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数，则命题正确的（ ）
A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数
C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数
3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是（ ）
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
4．y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式cos x<0，x∈[0，2π]的解集为 ．
6．函数的最小正周期为 ．
7．函数，的图象与直线的交点有 个．
8．求使下列函数取得最大值、最小值时自变量的集合，并写出最大值、最小值：
(1)，；
(2)，．
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)．
10．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
11．求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)．
【易错题目】第11题
【复盘要点】
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【复盘训练】
（2023·全国·高一随堂练习）
12．函数，当时，（　　）
A．在区间上单调递增，在区间上单调递减
B．在区间上单调递增，在区间上单调递减
C．在区间上单调递增，在区间、上单调递减
D．在区间、上单调递增，在区间上单调递减
（2023上·高一课时练习）
13．函数的一个单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·高一校考课时练习）
14．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ）
A．3 B．2 C． D．
（2023下·高一课时练习）
15．函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
16．函数的单调递减区间为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据给定函数探求时图象上对应点的位置及时函数图象位置即可判断作答.
【详解】函数，，因时，，即原函数图象过原点，排除选项A，C；
又当时，，则，即函数，的图象在x轴下方，排除选项B，选项D符合要求.
故选：D
2．B
【详解】由题得函数的周期为T= =2，又f(x)=sin(πx ) 1= cosπx 1，从而得出函数f(x)为偶函数．
故本题正确答案为B．
3．C
【分析】根据正弦函数图像性质即可作答.
【详解】根据正弦函数图像性质可知，当x＝时，y取最大值，则x＝是一条对称轴．
故选：C.
4．D
【分析】先通过的单减区间求出整体的范围，再结合已知解出的范围即可.
【详解】由的单调递减区间为，可得，解得，
又，时， .
故选：D.
5．
【分析】如图，画出函数y＝cos x的图像，由图像可求得结果
【详解】由函数y＝cos x的图像可知，不等式cos x<0的解集为.
故答案为：
【点睛】此题考查了三角函数不等式，利用了三角函数的图像，考查了数形结合的思想，属于基础题.
6．4
【分析】利用来求得的最小正周期.
【详解】的最小正周期为.
故答案为：
7．2
【分析】再平面直角坐标系下画出函数图象，数形结合即可判断；
【详解】解：
解：作，的图象及直线如下所示，知两函数图象有两个交点．
故答案为：2
8．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据正弦函数的图像性质即可求解；
（2）根据余弦型函数的图像性质即可求解.
【详解】（1）当时，函数取得最小值，
此时自变量的集合为，；
当，函数取得最大值，
此时自变量的集合为，；
（2）当时，函数取得最小值，
此时，故自变量的集合为，；
当时，函数取得最大值，
此时，故自变量的集合为，.
9．(1)偶函数
(2)奇函数
【分析】（1）结合函数的奇偶性确定正确答案.
（2）结合函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】（1）的定义域为，，
所以为偶函数.
（2）的定义域为，，
所以是奇函数.
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据正弦函数的单调性求得正确答案.
（2）根据余弦函数的单调性求得正确答案.
（3）根据正弦函数的单调性求得正确答案.
（4）根据余弦函数的单调性求得正确答案.
【详解】（1）在区间上递增，所以.
（2）在区间上递增，所以.
（3），，
在区间上递增，所以.
（4）在区间上递减，所以.
11．(1)的单增区间为；单减区间为.
(2)的单增区间为；单减区间为.
【分析】（1）根据的单调性，列不等式，即可求出的单增区间；
（2）根据的单调性，列不等式，即可求出的单增区间.
【详解】（1）要求的单增区间，只需，解得：；
要求的单减区间，只需，解得：；
所以的单增区间为；单减区间为.
（2）要求的单增区间，只需，解得：；
要求的单减区间，只需，解得：；
所以的单增区间为；单减区间为.
12．D
【分析】利用余弦函数的单调性直接判断得解.
【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，D正确；
对于A，由，得在上单调递减，A错误；
对于B，函数在上不单调，B错误；
对于C，函数在上单调递减，C错误.
故选：D
13．C
【分析】画出的图象，数形结合得到答案.
【详解】画出的图象，如下，

可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求.
故选：C
14．C
【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到.
【详解】由题意得，故，，
解得，，
又因为函数在区间单调递增，所以，解得，
因为，所以，
故，解得，
故，解得，
又，故，所以
故选：C
15．A
【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行求解.
【详解】函数，
由，有，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A.
16． (k∈Z)
【分析】化简函数解析式，由，即可得结果.
【详解】由y＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为 (k∈Z).
【点睛】函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由可求得函数的减区间，由可求得增区间.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第一课】5.4.1正弦函数、余弦函数的图象＋5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
【课标要求】
1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象.
2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.掌握函数y＝sin x与y＝cos x的图象性质.
4.会利用函数y＝sin x，y＝cos x的图象性质求解相关问题.
【明确任务】
1.会画函数y＝sin x，y＝cos x的图象.【直观想象】
2.会利用函数y＝sin x，y＝cos x的图象性质求解相关问题.【直观想象，数学运算，逻辑推理】
三角函数的定义
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＝>0），那么：比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；
核心知识点1: 正弦函数的图象
12等分圆周画图法：
第一步，如图，在直角坐标系的轴上取一点，以为圆心，单位长为半径作圆，从与轴的交点起，把分成12等份．过上各分点作轴的垂线，得到对应于0，，，，…，的角的正弦值．第二步，把轴上从0到这一段分成12等份，描出上述对应于的13个点．第三步，把这些点用光滑的曲线连接起来，就得到函数，的简图．
将函数，的图象向左或向右每次平移个单位长度，即得到在上的图象，如图所示．
理论依据：，．
五点（画图）法：
对于函数，，当，，，，时，对应其图象上的五个点是关键点．
按照列表、描点、连线三步得到函数图象的简图．列表如下：
0
0 1 0 0
描出这五个点后，函数，的图象形状就基本确定了．在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数，的图象，如图． 强调 示例
解读：
（1）作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．
（2）在精确度要求不高的情形下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五点用平滑的曲线连接，而不能用线段连接，常用"五点法"画出函数的简图．
例1. 用“五点法”作出下列函数的简图：，
【解析】列表如下：
0
0 1 0 0
0
描点、连线，如图．
归纳总结:
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b（A≠0）上的简图的步骤：
（1）列表：
x 0 π π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
y y1 y2 y3 y4 y5
（2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，y1），（，y2），（π，y3），（，y4），（2π，y5）．
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
【举一反三】
1．用“五点法”作出下列函数，的简图：
核心知识点2：余弦函数的图象
图象变换法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位长度得到（如图所示）．
函数，的图象也可用五点（画图）法来画出简图．五个关键点，，，，． 理解 拓展
解读：
正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．正弦曲线、余弦曲线均为“波浪线”，两曲线形状相同，只是位置不同．
物理中简谐运动的图象是“正弦曲线”或“余弦曲线”的形状．
物理中，漏斗在平衡位置时，速率最大，此时加速度为0；漏斗离平衡位置最远时，速率最小，此时加速度最大．
例2.用“五点法”作出下列函数y＝2＋cosx，x∈[0，2π]的简图
【解析】列表：
x 0 π π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
2＋cosx 3 2 1 2 3
描点连线，如图
归纳总结
用“五点法”画函数y＝Acosx＋b（A≠0）在[0，2π]上的简图的步骤：
（1）列表：
x 0 π π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
y y1 y2 y3 y4 y5
（2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，y1），（，y2），（π，y3），（，y4），（2π，y5）．
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
【举一反三】
2．用“五点法”作出函数的简图．
核心知识点3: 正弦函数、余弦函数的周期性
周期函数的定义
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．
周期函数的周期不止一个，如，，，…以及，，，…都是正弦函数的周期．事实上，且，常数都是正弦函数的周期．
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
求甚解
1 周期函数的定义是对定义域内每一个来说的，只有个别的的值满足时，不能说是的周期，例如，对有，但不是函数的周期．
2 从等式来看，对自变量本身加的非零常数才是周期，如恒成立时，并不是函数的周期．
3 设函数的定义域为，则由周期函数的定义可得，若，则，所以周期函数的定义域一定是无限集． 注意 示例
解读：
（1）并非所有的周期函数都有最小正周期．如常数函数，所有非零实数都是它的周期，但最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．
（2）一般不做特殊说明时，周期就是指最小正周期．
（3）对于周期函数，把握了函数在一个周期内的性质，整个定义域内的性质也就清楚了．
（4）若是周期为的周期函数，则的图象每隔个单位重复出现，这是周期函数的图象特征．
例3.已知函数的周期为1.5，且，则的值是______．
【解析】∵的周期为1.5，
∴．
【答案】20
4 如果是函数的一个周期，那么（即的非零整数倍）也是函数的一个周期．
归纳总结:
正弦函数、余弦函数都是周期函数，它们的周期都是（且），最小正周期都是．
【举一反三】
3．下列函数，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
4．若函数的最小正周期是2，则的值为（　　）
A． B．
C． D．
核心知识点4: 正弦函数、余弦函数的奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称；也可由诱导公式：，得到．所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 注意
解读：
判断函数的奇偶性时，一定要判断函数的定义域是否关于原点对称．当定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性．
例4.（2023上·高一课时练习）函数是（　　）
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
【答案】D
【分析】化简后根据余弦函数的性质判断
因为
所以该函数是周期为2π的偶函数．
故选：D
归纳总结:
判断函数奇偶性的两个关键点
（1）看函数的定义域是否关于原点对称；
（2）看f（－x）与f（x）的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
【举一反三】
5．已知函数，为奇函数，则 .
核心知识点5: 正弦函数、余弦函数的单调性
先在正弦函数的一个周期区上观察图象（如图所示），可得在上单调递增，的值从增大到1；在上单调递减，的值从1减小到．
… 0 … … …
↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘
根据正弦函数的周期性可知，正弦函数在每一个闭区间上都单调递增；在每一个闭区间上都单调递减．
类似地，余弦函数在每一个闭区间上都单调递增；在每一个闭区间上都单调递减． 强调
解读：
（1）两个函数都有无数个单调递增区间，也有无数个单调递减区间．
（2）正弦函数和余弦函数都不是定义域内的单调函数．
例5.（2023上·高一课时练习）函数在区间上（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【分析】由余弦函数的单调性分析判断
因为在区间上先增后减，
所以区间上先减后增，
故选：C
归纳总结:
用整体替换法求函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
【举一反三】
6．函数的单调增区间是 ．
核心知识点6:正弦函数、余弦函数的最值
由正弦函数、余弦函数的单调性的结论，可得到，
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值；
余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值．
解读：
正弦函数与余弦函数都有无数个最大值点与最小值点．
例6.（2023下·高一课时练习）若函数，则函数的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的性质求解即可.
，即
∴函数的最小值为
故选：A
归纳总结:
形如y＝sin（ωx＋φ）的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值（值域）.
【举一反三】
7．函数在区间上的最小值是
A． B． C． D．0
核心知识点6:正弦函数、余弦函数的对称性
对正弦函数和余弦函数来说，对称中心就是函数图象与轴的交点，其横坐标是函数的零点；对称轴是过图象的最高点或最低点且与轴垂直的直线．
曲线名称 对称中心 对称轴
正弦曲线 ， ，
余弦曲线 ， ，
注意
解读：
（1）两函数图象都有无数个对称中心，也有无数条对称轴．
（2）一个周期内，正弦函数和余弦函数都在图象对称轴与其交点处取得最值．
（3）若定义域不是，则正弦曲线和余弦曲线不一定有对称轴和对称中心．
例6.（2023·高一课时练习）函数图象的一个对称中心可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的对称性逐一验证即可.
对于A，由，得，，
则不是函数图象的一个对称中心，故A错误；
对于B，由，得，
则不是函数图象的一个对称中心，故B错误；
对于C，由，得，
则不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，，得，，
则是函数图象的一个对称中心，故D正确.
故选：D.
归纳总结:
求y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
【举一反三】
（2023·四川省成都市期末）若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值．
（1）由函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为可得的周期T＝π，即，解得ω＝2．又当时，取得最小值，所以，
所以，解得．
因为所以．所以．
令解得
所以的单调递减区间为．
（2）由可得所以当时，取得最小值，为－1，
当时，取得最大值，为，所以函数的值域是．
（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）
8．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一随堂练习）
9．函数和都单调递增的区间是（　　）．
A． B．
C． D．
10．函数y＝是（　　）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
（2023·江苏南京调研）
11．设，则（　　）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
12．函数在区间上的最小值为 ．
（2024上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期末）
13．已知.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的值域.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．作图见解析
【分析】根据题意，结合三角函数的五点作图法，列表、描点、连线，即可求解.
【详解】解：列表
0
0 1 0 0
0
描点，连线，如图所示：
2．见解析
【解析】令x0，，π，，2π，得到相应的y的值，再描点即可；
【详解】（1）列表：
0
1 0 0 1
1 1
（2）描点，连线可得函数在上的图象，将函数图象向左、向右平移（每次个单位长度），就可以得到函数的图象，如图所示．
【点睛】本题考查五点法作图象的步骤，着重考查余弦函数的图像及性质，属于基础题．
3．C
【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期.
【详解】函数的最小正周期为，故A不符合；
函数，其最小正周期为，故B不符合；
因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合；
因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.
故选：C.
4．B
【分析】根据周期公式即可得到答案.
【详解】依题意．所以ω的值为，
故选：B.
5．或
【分析】根据题意得到，解出再对赋值即可.
【详解】由题意知，
即.
∵，
∴当时，；
当时，.
故答案为：或.
6．
【分析】利用整体代入法求得函数的单调增区间.
【详解】由，解得，
所以的递增区间是 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
7．B
【详解】因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，函数在区间上的最小值是，故选B.
【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解，考查三角函数的图象，考查分析问题以及解决问题的能力.
8．B
【分析】根据余弦型函数的最小正周期，进而即得.
【详解】由题可知最小正周期.
故选：B.
9．A
【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调递增区间即可求解.
【详解】函数的单调递增的区间是，
函数的单调递增的区间是，
由，可得函数和都单调递增的区间是.
故选：A.
10．A
【分析】先求函数的定义域，然后根据奇偶性定义判断函数奇偶性.
【详解】定义域为R，，则是奇函数．
故选：A.
11．AD
【分析】根据余弦型函数的性质一一分析即可.
【详解】，
根据余弦函数的奇偶性知为偶函数，最小正周期，A正确，B错误；
，故的图象不关于直线对称，C错误；
，故的图象关于点对称，D正确.
故选：AD.
12．
【分析】利用的范围推出的范围，结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，，，所以，
当即时取得最小值为.
故答案为：
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案；
（2）根据，确定，由正弦函数的性质求得答案.
【详解】（1）令，则，函数u在R上为增函数，
函数在上为增函数；
即，解得，
所以函数的单调递增区间.
（2）当时，，则，
故在时的值域为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑