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管 理 统 计 学
[第四版]
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第十二章 统计决策
§12.1 统计决策概述
§12.2 以期望值为准则的决策方法
§12.3 以最大可能性为准则的决策方法
§12.4 决策树方法
§12.5 贝叶斯决策方法
案例导入
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1981年3月30日，一个大学退学生Hinckley企图对里根总统行刺。他打伤了里根、里根的新闻必输以及两个保安人员。在1982年审判他时，Hinckley以精神病为理由作为其无罪的辩护。在18个医师中作证的医师是Daniel R.Weinberger，他告诉法院当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描（计算机辅助层析扫描）时，扫描显示30%的案例为脑萎缩，而给正常人以CAT扫描时，只有2%的扫描显示脑萎缩。Hinckley的辩护律师试图拿Hinckley的CAT扫描结果为证据，争辩说因为Hinckley的扫描展示了脑萎缩，他极有可能患有精神病，从而免于受到法院的起诉。一般地，在美国精神分裂症的发病率大约为1.5%。利用以上数据，运用贝叶斯公式，我们可以算出即使Hinckley的扫描展示了脑萎缩，他也只有18.6%的可能性患有精神分裂症，因此CAT扫描无法作为其无罪的证据。
学习目标
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本章要求掌握统计决策的原理和基本方法，重点掌握期望值决策法和贝叶斯决策方法。
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§12.1 统计决策概述—如何理解统计决策
统计决策是根据已掌握信息对实现的目标的未来行动所作出的决定。
决策的主体、目标、环境和行动方案构成了决策系统的四个基本因素。
在管理中，决策者经常会遇到各种决策问题，如确定型问题、不确定型问题和对抗型问题。在决策中，就有确定型决策、不确定型决策和对抗型决策等决策类型。
无论哪种决策类型，都要经过确定决策目标、拟定决策方案、预测方案得失、选择最优方案和实施方案等五个基本决策程序。
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§12.1 统计决策概述—狭义的统计决策
一般来说，统计决策有广义和狭义之分，凡是应用统计方法进行的决策称为广义的统计决策。狭义的统计决策是指不确定情况下的决策。在不确定情况下进行决策需要具备以下四个条件：
(1)决策人要求达到的一定目标，如利润最大，损失最小，质量最高，等等。从不同的目的出发往往有不同的决策标准。
(2)存在两个或两个以上可供选择的方案，所有的方案构成一个方案的集合。
(3)存在不以决策人主观意志为转移的客观状态，或称为自然状态。所有可能出现的自然状态构成状态空间。
(4)在不同情况下采取不同方案所产生的结果是可以计量的。所有的结果构成一个结果空间。
凡符合这四个条件的决策，即称为狭义的统计决策。
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§12.1 统计决策概述—概率判断和抉择
统计决策面对着的是各种不确定性因素，因此，统计决策的最显著特点是运用概率进行判断和抉择。
在这个过程中，常用到决策、收益（损失）和风险三个重要的基本概念。
决策是对方案的选择，不同的方案带来的收益或损失不同，最佳方案是能够使平均风险达到最小的方案。
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§12.1 统计决策概述—决策三原则
要作出正确的决策，必须遵循可行性、经济性和合理性三条原则
决策的首要原则是提供给决策者选择的每一方案在技术上、资源条件上必须是可行的。
经济性原则也即最优化原则。通过多种方案的分析比较，所选定的决策方案应能比采取其他方案能获得更好的经济效益或免受更大的亏损风险。
选择决策方案时，不一定费力去寻求经济上“最优”方案，而是选择使人满意的方案。也就是说，在某些情况下，应该以令人满意的合理的准则代替经济上最优的准则。
§12.2 以期望值为准则的决策方法
决策的方法与所选择的决策准则直接相关，期望值准则是风险型决策最常用的准则。以期望值为准则进行决策的基本方法是：根据收益表（或亏损表），计算各行动方案的收益期望值，然后从中选择期望收益最大（或亏损最小）的方案为最优方案。各个方案的期望收益值由以下公式计算得到：
式中，为第i个方案的损益期望值；表示在第i个方案在第j种状态下的损益值；表示第j种状态发生的概率；n为总共可能发生的状态数目。
决策的方法与所选择的决策准则直接相关，期望值准则是风险型决策最常用的准则。以期望值为准则进行决策的基本方法是：根据收益表（或亏损表），计算各行动方案的收益期望值，然后从中选择期望收益最大（或亏损最小）的方案为最优方案。各个方案的期望收益值由以下公式计算得到：
式中，为第i个方案的损益期望值；表示在第i个方案在第j种状态下的损益值；表示第j种状态发生的概率；n为总共可能发生的状态数目。
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例12-1，某施工单位对下月是否要开工进行决策。如果开工，天气好时可获利10万元，天气不好时将赔2万元；如果不开工，无论天气好坏都要赔0.4万元。根据预测表明，天气好的概率为0.8，天气不好的概率为0.2。按期望值决策准则对以上方案进行决策。
解 根据已知资料，可编制收益表如下：
表12-1 某施工单位的收益表

以上Al代表开工，A2代表不开工，计算得到两种方案的期望值如下：
E(A1)＝10×0.2+(－2)×0.8＝0.4(万元)；
E(A2)＝－0.4×0.2+(一0.4)×0.8＝一0.4(万元)
按期望值准则，应选取期望收益最大者：
max{0.4，一0.4}=0.4，所以，应选择开工的方案。
方案
天气好
天气坏
概率0.8
概率0.2
开工收益
不开工收益
10
－1
3
－1
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例12-2 某公司对每件产品进行检验的费用是0.1元，而每件产品的退货损失为1.25元。根据历史记录，各种不合格率发生的概率资料如表11—2所示。每1000件装成一箱出售，试用期望值决策准则对整箱检验还是不检验进行决策。
表12-2 某公司每箱产品检验费用亏损表
解：根据表11-2提供的数据，设Al为整箱检验，A2为整箱不检验，计算得到两种方案的期望费用支付额为
E(A1)＝100(元)，
E(A2)＝62.5×0.6+125X0.3+187.5×0.1＝93.75(元)
按期望值准则应选取期望支付额最小者
min{100，93.75}＝93.75．
所以，应选择整箱不检验的方案。
10

方案
不合格品率
5％
10％
15%
概率0.6
概率0.3
概率0.1
整箱检验费用
100
100
100
整箱不检验费用
62.5
125
187.5
§12.3 以最大可能性为准则的决策方法
当各种自然状态出现的概率相差较大，且有一种状态出现的概率明显地高于其他自然状态的概率时，则可以只考虑概率最大的那个自然状态下各行动方案的损益值，从中择优选取最佳方案，而这就是以最大可能性为准则的决策方法。
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例12-3，目前市场上正流行羊绒服装，某服装厂打算在原有的基础上增加羊绒大衣的生产。现有两种方案：
方案一，引进一条新的生产线进行大批量生产；
方案二，利用原有设备挖掘潜力进行小批量试产。
通过对市场的调查、分析测算，得到的收益表如下：
表12-3 某服装厂生产羊绒大衣的损益表
根据期望值准则，“引进新生产线”是最优方案，但是从一次性损益考虑，“羊绒服装热下降”的概率最大，采用最大可能性为准则进行决策的结果，应该选择“不引进新生产线”方案，进行小指量试产。
方案
羊绒服装热继续
羊绒服装热下降
期望收益
(万元)
0.25
0.75
引进新生产线
240
—50
22.5
不引进新生产线
50
10
20
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§12.4 决策树方法
决策树是由决策点□、方案枝 、机会点○、概率枝 和终点●等构成的一种类似树木的决策图。
例12-4 某公司为生产某种新产品而设计了两种基本建设方案，一个方案是建大厂，另一个方案是建小厂，建大厂需投资300万元，建小厂需投资140万元，两者的使用期都是10年，无残值。估计在寿命期内产品销路好的概率是0.7，产品销路差的概率是0.3，两种方案的年度损益值如表11-4所示。试用决策树进行决策。
表12-4 年度损益值
销路好
销路差
0.7
0.3
建大厂
100
—20
建小厂
40
30
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解： (1)首先根据资料画出决策树，见图7-1。
图11-1 决策树
(2)计算各状态点的期望收益值。
点2：[100×0.7+(一20)×0.3]×10—300 =340(万元)；
点3：(40×0.7+30×0.3)×10—140＝230(万元)。
将计算结果填入决策树中相应的状态点．
(3)作出抉择。点2大于点3，即建大厂方案优于建小厂方案。在建小厂方案上标志“∥”，表示被淘汰方案。
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§12.5 贝叶斯决策方法
风险型决策方法依据概率进行决策，具有一定的风险性。
概率分为先验概率和后验概率。
先险概率是根据历史资料或主观判断所确定的概率，并未经试验证实。
依此进行决策的风险必然很大。为了减少这种风险，就要通过科学试验、调查、统计分析等方法获得较为准确的信息，修正先验概率，并据以确定各个方案的期望损益值，拟订出可供选择的决策方案。
贝叶斯决策方法便是这种以获得新的信息修正先验概率，按后验概率进行分析判断的决策方法。
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在已具备先验概率的情况下，一个完整的贝叶斯决策过程包括以下几个步骤：
（1）进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料可能得到的结果和如何决定最优对策；
（2）搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概率，对历史概率要加以检验，辨明它是否适合计算后验概率；
（3）用概率乘法定理计算联合概率，用概率加法定理计算边际概率，用贝叶斯定理计算后验概率；
（4）用后验概率进行决策分析。
在贝叶斯决策中，先验分析是进行更深入分析的必要条件。决策者常常考虑是否要搜集和分析追加的信息，并权衡所需增加的费用及其对决策者的价值，对比这些信息的费用与根据预后验分析作出决策的风险和可能结果。所以，这种预后验分析主要涉及到两个问题：一是要不要追加信息，或者说追加信息对决策者有多大的价值；二是如果追加信息应采取什么策略行动。
所谓预后验分析，实际上是后验概率决策分析的一种特殊形式，也即用一套概率对多种行动策略组合，从中择优。
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例12-5，某工厂要研制开发一种新型童车，首要的问题是要研究这种新产品的销路A及竞争者优劣a的情况。他们估计：
当新产品销路好时，采用新产品可盈利X11=8万元；生产老产品，则因其他竞争者会开发新产品，而使老产品滞销，工厂可能亏损X12=－4万元；
当新产品销路不好时，采用新产品就要亏损X21=－3万元；不采用新产品，就有可能用更多的资金来发展老产品，获利X22=10万元。
现确定销路好（A1）的概率为P（A1）=0.6，
销路差（A2）的概率为P（A2）=0.4。
方 案
新产品销路好 A1
新产品销路差
A2
期望收益
(万元)
P（A1）概率 0.6
P（A1）概率 0.4
开发新产品 U1
8
-3
3.6
采用老产品 U2
-4
10
1.6
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采用新产品方案（U1）的期望值：
= X11P（A1）+ X12P（A2）=8×0.6+(－3)×0.4=3.6（万元）
不采用新产品方案（U2）的期望值：
= X21P（A1）+ X22P（A2）=(－4)×0.6+10×0.4=1.6（万元）
以上所示的数据即为先验分析，可根据其中所列出的期望值作为决策标准，选择行动方案A1。
采用新产品方案（U1）的期望值：
= X11P（A1）+ X12P（A2）=8×0.6+(－3)×0.4=3.6（万元）
不采用新产品方案（U2）的期望值：
= X21P（A1）+ X22P（A2）=(－4)×0.6+10×0.4=1.6（万元）
以上所示的数据即为先验分析，可根据其中所列出的期望值作为决策标准，选择行动方案A1。
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为了对先验概率进行补充和修正，就要进行实际（自然状态）调查。分别在销路好（A1）和销路差（A2）两种情况下进行调查，结果如下：
第一，在销路好（A1）的情况（自然状态）下进行调查，其结果对原来的先验概率P（A1）=0.6有三种修改：
（1）认为销路好(有竞争优势a1)的概率为P（a1/ A1）=0.8，
原概率修改为P（A1）P（a 1/ A1）=0.6×0.8=0.48；
（2）认为销路差(无竞争优势a2)的概率为P（a 2 / A1）=0.1，
原概率修改为P（A1）P（a2/ A1）=0.6×0.1=0.06；
（3）认为销路不确定(优势不稳定a3)的概率为P（a 3/ A1）=0.1，
原概率修改为P（A1）P（a 3/ A1）=0.6×0.1=0.06。
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第二，在销路差的情况（自然状态）下（A2）进行调查，其结果对原来的先验概率P（A2）=0.4有三种修改：
（1）认为销路好(有竞争优势a1)的概率为P（a 1/ A2）=0.1，
原概率修改为P（A2）P（a 1/ A2）=0.4×0.1=0.04；
（2）认为销路差(无竞争优势a2)的概率为P（a 2 / A2）=0.75，
原概率修改为P（A2）P（a 1/ A2）=0.4×0.75=0.3；
（3）认为销路不确定(优势不稳a3)的概率为P（a 3/ A2）=0.15，
原概率修改为P（A2）P（a 1/ A2）=0.4×0.15=0.06。
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对以上修改后的概率进行整理，得到3类共6种修改先验概率：
第a1类（1）种：认为销路有优势而实际上就是好的概率：


=

第a1类（2）种：认为销路有优势而实际上是差的概率：


=
对以上修改后的概率进行整理，得到3类共6种修改先验概率：
第a1类（1）种：认为销路有优势而实际上就是好的概率：


=

第a1类（2）种：认为销路有优势而实际上是差的概率：


=
21
第a2类（1）种：认为销路无优势而实际上就是好的概率：


=

第a2类（2）种：认为销路无优势而实际上就是差的概率：


=
第a2类（1）种：认为销路无优势而实际上就是好的概率：


=

第a2类（2）种：认为销路无优势而实际上就是差的概率：


=
22
第a3类（1）种：认为销路好坏不确定而实际上好的概率：


=

第a3类（2）种：认为不确定而实际上差的概率：


=
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根据以上调查修改后的概率，针对销路有优势（a1）、销路无优势（a2）和销路优势不确定（a3）分别对行动方案U1和U2计算期望值，并作出决策。
第一套销路好的方案：
（1）销路有优势（a1）时采用新产品方案（U1）的期望值：
E（U1/a1）= X11P（A1/a1）+ X12P（A2/a1）
=8×0.923+(－3)×0.077=7.153（万元）
（2）销路有优势（a1）时不采用新产品方案（U2）的期望值：
E（U2/a1）= X21P（A1/a1）+ X22P（A2/a1）
=（－4）×0.923+10×0.077
=－2.92（万元）
比较结果，选择期望值最大方案E（U1/a1）=7.153（万元）。
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第二套销路差的方案：
（1）销路无优势（a2）时采用新产品方案（U1）的期望值：
E（U1/a2）= X11P（A1/a2）+ X12P（A2/a2）
=8×0.167+(－3)×0.833
=－1.16（万元）
（2）销路无优势（a2）时不采用新产品方案（U2）的期望值：
E（U2/a2）= X21P（A1/a2）+ X22P（A2/a2）
=（－4）×0.167+10×0.833
=7.66（万元）
比较结果，选择期望值最大方案E（U2/a2）=7.66（万元）。
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第三套销路不确定的方案：
（1）销路优势不确定（a3）时采用新产品方案（U1）的期望值：
E（U1/a3）= X11P（A1/a3）+ X12P（A2/a3）
= 8×0.5+(－3)×0.5
= 2.5（万元）
（2）销路优势不确定（a3）时不采用新产品方案（U2）的期望值：
E（U2/a3）= X21P（A1/a3）+ X22P（A2/a3）
=（－4）×0.5+10×0.5
=3（万元）
比较结果，选择期望值最大方案E（U2/a3）=3（万元）。
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把以上所选销路好（a1）、销路差（a2）和销路不确定（a3）三套方案中期望值最大者与相对应的概率相乘，得出调查修改后的期望利润值：
E（U/a）= P（a1）E（U1/a1）+ P（a2）E（U2/a2）
+ P（a3）E（U2/a3）
= 0.52×7.153+0.36×7.66+0.12×3=6.84(万元)
对比可知，在只作先验分析，不作进一步的调查研究时，最佳方案所得期望利润值为3.6万元，而如果作进一步的调查研究，由于信息量的增加使我们决策更有把握，可能达到的期望利润值为6.84万元。这两个数值之差(6.84—3.60)＝3.24万元，就是获得信息的价值。
以上决策方案的计算和选择可采用决策树形式来进行。
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贝叶斯决策的优点表现在：
(1)提供了一个进一步研究的科学方法。也就是说，它能对信息的价值或是否需要采集新的信息作出科学的判断。
(2)它能对调查结果的可靠性加以数量化的评价，而不是像一般的决策方法，对调查结果或者是完全相信，或者是完全不相信。
(3)贝叶斯决策将主观概率同调查结果这两种信息结合起来进行分析判断，减少了判断的片面性。
(4)它可以反复地运筹，使决策逐步完善。
贝叶斯决策方法也有其局限性，主要表现在：
(1)它需要的数据多，计算工作量更大。
(2)有些数据必须采用主观概率，难以使人信服。
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本章小结
29
统计决策是利用信息对可选方案进行选择的行为。选择决策的准则是决策中的关键问题。贝叶斯决策法是考虑了先验信息和补充信息后进行决策的方法，因而是比期望值决策法更具有稳定性的决策方法。
30
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