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管 理 统 计 学
[第四版]
第八章 参数检验
案例导入
2015年1月1日，修订后的《中华人民共和国环境保护法》开始施行。众多生产企业开始进行工艺改造，以满足污染物排放的监测指标。那么，工艺改造后，生产企业的污染物排放量是否有明显的减少呢？污染物排放量达到多少，就可以认为产生了显著的变化呢？这是一个显著性检验的问题。
通过本章的学习，你将发现，显著性检验是工业生产以及社会科学中常用的统计推断方法，帮助实现从样本参数推断总体参数的过程。
学习目标
本章要求掌握假设检验的基本思想、检验步骤和两类错误以及与区间估计的关系。重点掌握假设检验中显著性水平的设定与小概率原理应用之间的关系。
8.1 参数检验的思想
8.1.1 参数检验解决的问题
参数检验在管理中应用非常广泛。例如，HKL公司是通信设备的主要生产商，绝大多数产品都需要大批量生产并检验。主产品RF板由16个电器元件组成，在制造阶段的焊接过程中，发现板上的焊接质量未能达到产品质量标准的要求。经过对大量可能影响焊接过程的因素进行考虑之后，一位工程师初步确定，这一焊接问题极可能是由于RF板的表层有疵点而引起的。
该工程师想知道在公司存货中表层有疵点的RF板所占的比率是否超过了供应商设计规格中所指定的值。
8.1 参数检验的思想
8.1.1 参数检验解决的问题
令 代表公司的RF实际存货中表层有疵点的板所占的比率， 代表供应商设计规格中所指定的值，建立如下假设：
（8-1）
（8-2）
表明公司存货中表层有疵点的板所占的比率未超过供应商设计中所指定的值。如果能够断定该比率是可以接受的，则工程师需要另行寻找引起焊接问题的原因。
表明公司存货中表层有疵点的板所占的比率超过了供应商设计规格中所指定的值，如果是这样，就可以确认表层有疵点就是引起焊接问题的主要原因，应当采取措施解决存货中表层疵点比率过高问题。
8.1 参数检验的思想
8.1.1 参数检验解决的问题
这位工程师进行假设检验的结果表明，结论 是真的，应该拒绝 ，即认为公司存货中表层有疵点的RF板所占的比率未超过供应商设计规格中所指定的值。
通过对存货的进一步调查发现，贮存的隔板受到了污染是导致这一比率过高的原因。因此，该工程师认为，改变贮存环境是解决焊接流量达到产品质量标准的重点。
8.1 参数检验的思想
8.1.2 参数检验的主要思想
为了进一步了解假设检验的主要思想，我们分析一个有具体数据的例子。已知，某企业过去生产某种零件的平均长度为4厘米，标准差为0.1厘米。改革工艺后，抽查了100个零件，测得样本平均长度为3.94厘米。现问：工艺改革前后零件的长度是否发生了显著的变化
这是关于工艺改革前后零件的平均长度（总体平均数）是否等于4的假设检验问题。
8.1 参数检验的思想
8.1.2 参数检验的主要思想
样本平均长度与原平均长度出现差异不外乎两种可能：
一是改革后的总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差；
二是由于工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。
因此，可以这样推断：如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变；反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。
8.1 参数检验的思想
8.1.2 参数检验的主要思想
根据样本平均数的抽样分布定理，有 或 。当 时，表明样本均值等于总体均值，即 ；当 很大时，表明样本均值离总体均值很远，即 很大。后一种情况是小概率事件。在正常情况下，小概率事件是不会发生的，那么在一次抽样中小概率事件居然发生了，我们就有理由认为样本均值是不正常的，它与原总体的性质已经发生变化，应该拒绝接受。
8.1 参数检验的思想
8.1.2 参数检验的主要思想
假设检验主要有以下两个特点：
第一，假设检验所采用的逻辑推理方法是反证法。为了检验某个假设是否成立，先假定它是正确的，然后根据抽样理论和样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。
第二，这里的合理与否，所依据的是“小概率事件实际不可能发生的原理”。即在一次观察中小概率事件发生了，则认为原假设是不合理的；反之，小概率事件没有出现，则认为原假设是合理的。
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
（1）提出原假设和备择假设。
（2）选择适当的统计量，并确定其分布形式。
（3）选择显著性水平α，确定临界值。
（4）作出结论。
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
（1）双侧检验
: ； :
提出原假设和备择假设
2
a
2
a
a
-
1
2
a
Z
-
0
2
a
Z
图8-1 双侧检验
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
（2）左侧检验
: ； : 或 ： ； ：
提出原假设和备择假设
图8-2 左侧检验
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
（3）右侧检验
: ； : 或 ： ； ：
提出原假设和备择假设
图8-3 右侧检验
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
不同的假设检验问题需要选择不同的统计量作为检验统计量；
常用的检验统计量包括 统计量、 统计量、 统计量、 统计量。
选择统计量
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
显著性水平表示 为真时拒绝 的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用α表示。假设检验就是应用了小概率事件实际不发生的原理。这里的小概率就是指α。通常取α=0.1，0.05，0.01。给定了显著性水平α，就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定 的接受区域和拒绝区域。临界值就是接受区域和拒绝区域的分界点。
选择显著性水平α，确定临界值。
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.1 参数检验的步骤
根据样本资料计算出检验统计量的具体值，并用以与临界值比较，作出接受或拒绝原假设 的结论。如果检验统计量的值落在拒绝区域内，说明样本所描述的情况与原假设有显著性差异，应拒绝原假设；反之，则接受原假设。
做出结论
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.2 参数检验中的两类错误
为真 为不真
接受H0 正确决策 第二类错误（采伪），概率为β
拒绝H0 第一类错误（拒真），概率为α 正确决策
8.2 参数检验的步骤与两类错误
8.2.3 两类错误的概率α和β的关系
在一般场合，当n固定时，减少α必然导致β增大；反之，减少β必然会增大α。以利用 统计量进行右侧检验的情况为例：
图8-4两类错误的关系
8.3 一个总体参数的假设检验
8.3.1 总体均值的假设检验
例8-1 根据过去大量资料，HL厂生产的保温产品的使用寿命服从正态分布N(μ=1020， =1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高
8.3.1.1 总体均值的假设检验（总体方差已知）
解：根据题意，提出假设：H0：μ=1020，H1：μ＞1020
检验统计量
由α=0.05，查《正态分布分位表》（附录2表4）得临界值 =1.645。
由于Z=2.4＞ =1.645，所以应拒绝 而接受 ，即这批产品的使用寿命确有显著提高。
8.3 一个总体参数的假设检验
8.3.1 总体均值的假设检验
总体方差未知，对总体均值的检验不能用上述Z检验法，因为此时的检验统计量Z中包含了未知参数 。为了得到一个不含未知参数的检验统计量，很自然会用总体方差的无偏估计量——样本方差 来代替 ，于是得到t统计量。t统计量在 成立时分布为
8.3.1.2 总体均值的假设检验（总体方差未知）
利用服从t分布的统计量去检验总体均值的方法称为t检验法。
8.3 一个总体参数的假设检验
8.3.1 总体均值的假设检验
例8-2 CS厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000克。某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准差为24克。试问在0.05的检验水平上，能否认为这天自动包装机工作正常
8.3.1.2 总体均值的假设检验（总体方差未知）
解：根据题意，检验目的是观察产品的平均每袋重量是否与标准重量一致。因此，可建立如下假设：
H0：μ=1000，H1：μ≠1000
检验统计量
由α=0.05，查《t分布表》(附录2表5)得临界值 。
由于｜t｜=1.75＜ (n－1) = 2.306，所以接受 ，即可认为这天自动包装机工作正常。
8.3 一个总体参数的假设检验
8.3.2 总体比率（成数）的假设检验
例8-3 研究人员估计S市居民家庭的电脑拥有率为30％。现随机抽查200个家庭，其中有68个家庭拥有电脑。试问该研究者的估计是否可信？（α=0.1）。
解：假设 ： ，
样本比率 =m/n=68/200=0.34
由于样本容量大，所以可近似采用Z检验法，有
给定α=0.1，查《正态分布分位表》（附录2表5）得 。
由于 ，接受原假设，即认为该研究者的估计是可信的。
8.3 一个总体参数的假设检验
8.3.2 总体方差的假设检验
方差或标准差是衡量变量的离散程度、研究生产活动的均衡性、产品质量的稳定性等最常用的指标，也是正态总体的重要参数之一。所以对总体方差的检验也是常见的一类假设检验问题。若 为真，则检验统计量服从自由度为n－1的分布，即
8.3 一个总体参数的假设检验
8.3.2 总体方差的假设检验
例8-4 根据长期正常生产的资料可知，某厂所产维尼纶的纤度服从正态分布，其方差为0.0025。现从某日产品中随机抽出20根，测得样本方差为0.0042。试判断该日纤度的波动与平时有无显著差异（取α=0.10）。
解：假设 ： ，
统计量 =(20－1)0.0042/0.0025=31.92
α=0.10，查《 分布表》（附录2表6）得 =30.14，故应拒绝 而接受 ，即认为该日纤度的波动性与平时有显著差异（因样本方差大于0.0042，可认为该日纤度的波动性比平时显著增大）。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
设 ， ，…， 与 ， ，…， 分别独立来自总体N( ， )与总体N( ， )的两个样本，其中 、 已知。
假设 ， 。
如 为真，则统计量 服从标准正态分布，可用此统计量来检验上述假设。
8.4.1.1 两个总体方差已知的场合
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
例8-5：某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试（表示耐磨性的一种考核指标），其结果如下：
合镍铸件( ) 72.0 69.5 74.0 70.5 71.8
合铜铸件( ) 69.8 70.0 72.0 68.5 73.0 70.0
根据以往经验知硬度 ， ，且 ，试在α=0.05水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高。
8.4.1.1 两个总体方差已知的场合
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
解：要检验的假设为： ， 。由于 与 均已知，所以用U检验。
拒绝域为 ，即拒绝域为{μ>1.645}。
现由样本求得 =71.56， =70.55，因此U=0.834，样本未落在拒绝域中，因此在α=0.05水平上认为镍合金铸件的硬度没有明显提高。
8.4.1.1 两个总体方差已知的场合
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
8.4.1.2 两总体方差未知，但 的场合
设 ， ，…， 与 ， ，…， 分别独立来自总体N( ， )与总体N( ， )的两个样本，其中 、 、 、 未知。但 。
假设 ， 。
如 为真，则统计量 服从自由度为n1+n2-2的t分布，可用此统计量来检验上述假设。
其中，
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
8.4.1.2 两总体方差未知，但 的场合
例8-6：杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中，现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个。其中9个来自一种鸟巢，15个来自另一种鸟巢，测得杜鹃蛋的长度（mm）如下：
n=9 21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2 =22.20
=0.4225
m=15 19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3 =21.12
=0.5689
试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关(α=0.05)。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
8.4.1.2 两总体方差未知，但 的场合
解： ；
取统计量
拒绝域为
算得统计量值T=3.568>2.074，落在拒绝域内，所以拒绝 ，即蛋的长度与不同鸟巢有关。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
8.4.1.3 两总体方差未知的一般场合
（1）n与m不太大时。
此时 ， ，且两者独立，从而
故有： （8-8）
当 与 分别用其相合估计 和 代替后，则
（8-9）
近似服从自由度是L的t分布，其中， 。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.1 关于两个正态总体均值的检验
8.4.1.3 两总体方差未知的一般场合
（2）n与m较大时。
当n与m较大时，L也将随之而增大，我们知道，当L≥30时，自由度为L的t分布就很接近于正态分布N(0，1)，故在n与m较大时，我们将上式中的 改记为U，并记为U近似服从N(0，1)分布。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.2 关于两个正态总体比率差的检验
大样本情况下，且 ， ， ， 时，两个总体的样本比率都近似服从正态分布，所以样本比率之差也近似服从正态分布，标准化后得
（8-10）
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.2 关于两个正态总体比率差的检验
此情况下的检验统计量为
（8-11）
其中， 为两个样本比率的加权平均值，即
（8-12）
当 时，上述 统计量近似服从标准正态分布，即
（8-13）
8.4.2.1 大样本情况下，两个总体比率差与零比较的检验
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.2 关于两个正态总体比率差的检验
此情况下的检验统计量为
（8-14）
由于两总体比率 和 未知，分别用相应的样本比率代替 统计量分母中的两个总体比率。
上述 统计量近似服从标准正态分布，即
（8-15）
8.4.2.2 大样本情况下，两个总体比率差与非零比较的检验
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.3 关于两个正态总体方差比的检验
设 ， ，…， 与 ， ，…， 分别独立来自总体N( ， )与总体N( ， )的两个样本，且相互独立。其中 、 、 、 未知。
假设 ， 。
若 为真，则统计量 服从自由度为n1-1、n2-1的F分布，可用此统计量来检验上述假设。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.3 关于两个正态总体方差比的检验
例8-10：甲、乙两台机床加工同一轴。从两台机床加工的轴分别随机抽取若干根，测得直径为(单位：毫米)：
机床甲 20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9
机床乙 20.7，19.8，19.5，20.8，20.4，19.6，20.2
假定各机床加工轴的直径分别构成正态总体。试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异（α=0.05）。
8.4 两个总体参数的假设检验
8.4.3 关于两个正态总体方差比的检验
解：首先建立假设： ，
在n=8，m=7，α＝0.05时， =5.7，
故拒绝域为{F≤0.195或F≥5.70}
现由样本求得 =0.2164， =0.2729，从而F=0.793，未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可以认为两台机床加工精度一致。
8.5 区间估计与参数检验的关系
8.5.1 区间估计与参数检验的关系
抽样估计或称参数估计是根据样本资料估计总体参数的真值，而假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。
区间估计通常求得的是以样本估计值为中心的双侧置信区间，而假设检验不仅有双侧检验也常常采用单侧检验，视检验的具体问题而定。
区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（可信度）1-α去估计总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性水平α去检验对总体参数的先验假设是否成立。
区间估计问题可以转换成假设检验问题，假设检验问题也可以转换成区间估计问题。这种相互转换形成了区间估计与假设检验的对偶性。
8.5 区间估计与参数检验的关系
8.5.2 参数检验中的P值
假设检验的结论是在给定的显著性水平下做出的。因此，在不同的显著性水平下，对同一检验问题所下的结论可能完全相反。
给定显著性水平，对于相同的样本容量和分布，临界值是固定的，拒绝区域也就固定了。但不同样本得出的检验统计量的值不同，即使都落在相同的区域，所下的结论相同，但检验的把握程度实际上是不同的。
通常把“拒绝原假设的最小显著性水平”称为假设检验的P值。
本章小结
假设检验是统计推断的重要内容。它是用样本信息对总体参数进行的一种判断，这种判断是基于小概率原理进行的。本章详细阐述了假设检验中对小概率原理的应用、两类错误问题，以及假设检验与区间估计之间的联系与区别。
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