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管 理 统 计 学
[第四版]
第四章 时间序列分析
案例导入
近年来，中国房地产发展繁荣，房价更是水涨船高。下表是国家统计局对十年来广东省商品房年销售价格的统计数。
从2005到2014年间房价上涨了104%。未来房价还会继续上涨吗，如果会，又会上涨多少呢？
学习目标
本章学习要掌握同一现象在不同时间的增长速度、平均增长速度、长期趋势和季节变动等统计分析方法。
4.1 发展水平和发展速度分析
4.1.1 时间序列
定义
时间序列是反映现象随着时间的变化而变化的数据系列，也称为时间数列或动态数列。时间和指标数据是构成时间序列的两个基本因素。
实例
下表反映了某商场饮料销售量与库存量在各年的变化。（表4-1）
4.1 发展水平和发展速度分析
4.1.2 发展水平和增长量
发展水平
发展水平是指时间数列上指标的具体数值。
发展水平的指标形式可以是绝对数，也可以是相对数或平均数。
增长量
为了分析上方便，就把作为研究对象的发展水平称为报告期水平，把要对比的基础水平则称为基期水平。
用报告期水平减去基期水平，就等于增长量。其中，当基期水平为上期水平时，就称为逐期增长量；当基期水平为某个时期的固定发展水平（X0）时，就称为累计增长量。
逐期增长量：X1－X0、X2－X1、X3－X2、…Xn－Xn-1 。
累计增长量：X1－X0、X2－X0、X3－X0、…Xn－X0。
二者的关系：（Xn－X0）= （X1 －X0）+（X2－X1）+（X3－X2）+…（Xn－Xn-1）。
4.1 发展水平和发展速度分析
4.1.3 发展速度和增长率
发展速度
报告期水平与基期水平之比，称为发展速度。其中，当基期水平为上期水平时，就称为环比发展速度；当基期水平为某个时期的固定发展水平（X0）时，就称为定基发展速度。
环比发展速度：X1 / X0、X2 / X1、X3 / X2、…Xn / Xn-1 。
定基发展速度：X1 / X0、X2 / X0、X3 / X0、…Xn / X0 。
二者的关系：（Xn / X0）=（X1 / X0） （X2 / X1） …（Xn / Xn-1）
增长率
发展速度减去1就等于增长速度或增长率，分别有环比增长率和定基增长率。
4.2序时平均数和平均发展速度
4.2.1绝对数数列的序时平均数
定义
序时平均数也称为动态平均数，它反映现象在一定时期内发展水平达到的一般水平。
由于指标形式分绝对数、相对数和平均数等，所以对其平均的方法存在差异性。
分类
绝对数有时期数和时点数之分，二者的区别主要在于是否具有可加性。
时期数的序时平均数就等于各时期水平的简单平均。
时点数所反映的是现象在某一个瞬时的状态。
4.2序时平均数和平均发展速度
4.2.2相对数的序时平均数和平均数的序时平均数
库存周转速度属于相对数，该相对数的分母为时点数。从年度上看，年周转速度应等于年销售量与年平均库存量的比值。因此，先平均后对比是计算相对数序时平均的基本方法。
平均数序时平均数的计算与相对数的序时平均数的计算方法相同，也是先平均后对比。
4.2序时平均数和平均发展速度
4.2.3几何法平均发展速度
定义
平均发展速度反映的是现象在一定时期内发展速度的一般水平，它也是一种序时平均数。几何平均法是计算平均发展速度的最常用方法。它等于各时期环比发展速度连乘积的n次方根
平均发展速度减去1就等于平均增长速度或平均增长率
在计算中，由于各环比发展速度乘积等于定基发展速度，所以，平均发展速度最终是由最初水平和最末水平决定的，即
特点
几何平均法的优点是可以利用相关资料对未来发展水平进行预测，即
最末水平 = 最初水平×（平均发展速度）n
4.2序时平均数和平均发展速度
4.2.3 累计法平均发展速度
几何平均法的应用条件是要求现象呈现均匀变动。如果现象发生大起大落的变化，用几何平均法所计算的平均发展速度将失去代表性，这是几何平均法的缺点。这时应该使用累计法或方程法来弥补几何平均法的缺点。
累计法考虑各时期的发展状况，不只是受最初和最末两个极端值的影响，公式如下：
只要解出高次方程，所得的正根就是要求的平均发展速度。一般是通过查“平均增长速度查对表”得出结果的。累计法适合计算投资额等波动较大的现象的平均发展速度。
4.3长期趋势分析
定义
现象在时间的变动趋势可分为三种情况：上升变动、下降变动和水平变动。长期趋势分析就是要从现象的波动中寻找到发展趋势，以便对未来情况进行预测。
分类
测定长期趋势的方法主要有三种：随手画法、移动平均法和最小平方法。
随手画法需要一定的经验的技巧，具有实用价值。本章重点介绍移动平均法和最小平方法。
4.3长期趋势分析
4.3.1移动平均法
移动平均法是指将时间序列各发展水平按照固定的周期长度计算所有的序时平均数所得到的新的时间序列。周期长度可以选2、3、4、…等，从方便角度可选3、5、7、…等。表4-3给出了周期长度为3季、4季、5季的移动平均数时间序列。
4.3长期趋势分析
4.3.1移动平均法
表4-3 周期长度为3季、4季、5季的移动平均数表
三季移动平均就是每三季的数据放在一起计算序时平均数所得到的新时间序列，以此类推
4.3长期趋势分析
4.3.1移动平均法
下 图显示了移动平均法描述的饮料销售量的长期变动趋势
4.3长期趋势分析
4.3.1移动平均法
周期性原则
一般情况下，移动的时间长度越长所得的趋势性就越明显，但是，当现象发展呈现周期性规律时，移动平均的时间长度应与现象的周期长度相同，否则，趋势性就会受到破坏。如上图的四季移动与五季移动。
当现象存在明显的周期性时，必须按照周期性长度来确定移动时间长度，在此基础上，移动平均的时间长度越长其趋势性就越明显。
特点
移动平均法的优点在于计算简便，运用灵活，不受现象复杂性影响。其缺点主要有三个：一是失去首尾两头的若干数据，平均的时间长度越长，失去的信息就越多；二是不能较好地进行长期趋势的预测；三是对周期性处理不好会影响数列的趋势性。
4.3长期趋势分析
4.3.2最小平方法
利用最小平方法可以得到一条直线趋势方程。直线趋势方程的一般形式为：
式中， 为时间数列 趋势值；t时间变量； 为截距项，是t=0时 的初始值；b为趋势线斜率，表示时间t变动一个单位时趋势值 的平均变动数量。
按照最小平方法的要求，要使Q= 达到最小，Q对 和b的偏导数必须等于零。进一步可以得到估计参数 和b的标准方程组，即
或
4.3长期趋势分析
4.3.3非线性趋势
非线性趋势也称为曲线趋势。现象非线性趋势变动的形式多种多样，例如可能为抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型、Gomperte曲线型等等，各种曲线的拟合方法各不相同。这里只介绍较常用的抛物线型和指数曲线型
4.3长期趋势分析
4.3.3非线性趋势
抛物线型
当现象的长期趋势近似于抛物线形态时，可拟合为如下二次曲线方程：
按多元回归的方式用最小二乘法导出下列三个标准方程式：
4.3长期趋势分析
4.3.1移动平均长期趋势
指数曲线型
当现象的长期趋势每期大体上按相同的增长速度递增或递减变化时，可拟合为如下指数曲线方程：
指数曲线的特点是各期环比增长速度大体相同，或者说时间序列的逐期趋势值按一定的百分比递增或衰减。式中，若b＞1，逐期增长率随t的增加而增加；若b＜1，逐期增长率随t的增加而降低。为估计参数 和b，可将公式两端取对数：
设定Y=1g ，A=lg ，B=lgb，则有Y=A+tb，运用最小平方法可估计出A和B，再取反对数即可得参数 和b 的估计值。
4.4季节变动分析
4.4.1月平均法
当使用的数据为月数据和季数据时，就可以研究数据中包含的季节变动规律。季节分析的方法主要有月平均法和趋势剔除法两种。
月平均法是把各年同月的数据排列在一起，计算出月平均值和月平均值的平均值，再计算各月平均值与月平均值的平均值的比值，即是所求的季节比率或季节指数。
4.4季节变动分析
4.4.2趋势剔除法
月平均法计算季节指数比较简便，易于理解，但却包含了现象向上发展的趋势，导致季节指数受到不同的加权作用，近期的季节指数在整个指数中的影响大，远期的季节指数影响小。因此，我们应该先剔除趋势值的影响，再计算季节指数。
第一步，对原数据（Y）计算移动平均数（T）。T=∑Y/n。
第二步，计算具体的季节比率（SI）。SI=Y/T。
第三步，计算月（季）平均值，消除不规则波动。
第四步，计算季节比率（S）。
第五步，使用季节比率进行预测。
本章小结
时间数列不同于横截面静态数列，要求数据在时间上具有可比性。对时点数和时期数的计算方法有差别。计算和分析现象的增长速度和移动趋势时，要注意现象的季节性和周期性问题。在对现象进行预测时，可以将长期趋势分析方法和季节变动分析方法结合起来使用。
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