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管 理 统 计 学
[第四版]
第十章 方差分析
1
案例导入
乳制品是我们日常生活消费品，如果作为生产商我们想知道乳制品的销售是否会受季节的影响，那么我们该如何进行研究 下表收集了某地区近四年各季节乳制品销售的数据:
学完本章，我们可以使用方差分析这一工具对我们的猜想作出检验，为我们研究问题提供一种新的思路。
季节对乳制品销售的影响
乳制品销售量(万吨) 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2012年 547.0 1144.5 1796.7 2518.7
2013年 621.6 1301.6 1971.1 2672.0
2014年 597.5 1259.6 1941.7 2643.2
2015年 615.2 1304.5 2013.5 2738.9
学习目标
2
本章要掌握:
本章要求掌握方差分析的原理和方法。
本章要求掌握方差分析的原理和方法。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.1 方差分析的内容
方差分析能够解决多个均值是否相等的的检验问题。
例如，KN市场调研公司在研究评价儿童干谷类食品的潜在的新品种时，认为能改善食品味道的四种关键因素是：
A．食品中小麦与玉米的比例；
B．甜味剂的类型：白糖、蜂蜜或人工制剂；
C．果味香料的有无；
D．加工时间的长短。
一个用于确定这四种因素对食品味道的影响的试验被设计出来。例如，一种被检验的食品是在某个特定的小麦与玉米的比例、甜味剂为白糖、加果味香精，以及短加工时间条件下制成；另一种被检验的食品在小麦与玉米比例不同但是其他三种因素相同条件下制成。由几组儿童品尝这些食品并说出他们对每种食品的评价。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.1 方差分析的内容
用于研究由品尝得来的数据的统计方法是方差分析。分析结果表明：
·食品成分及甜味剂类型对味道影响很大。
·果味香精事实上破坏了食品的味道。
·加工时间对味道没有影响。
这些信息帮助KN公司研究者们识别出了可能产生最佳口味食品的因素。
KN公司使用的试验设计及随后的方差分析在推荐生产方案中起到了很大作用。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.1 方差分析的内容
方差分析的优势:
方差分析所进行的检验是对多个样本的均值是否相等的问题的检验。
节省时间是这种方法明显的优点，它的另一个好处是，由于进行分析时是将所有的样本资料结合在一起，因而增加了稳定性。
例如，有30个样本，每一个样本包括10个观察单位。如果用t检验法，一次只能研究两个样本，即20个观察单位，而使用方差分析则可以把300个观察单位结合在一起进行研究。所以说，方差分析是一种实用、有效的分析方法。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.1 方差分析的内容
例9-1 某汽车公司设计了四种不同的营销方案。这四种方案的不同点集中表现在电话交易的频数上。为了比较研究这四种方案的营销效果，随机从五家分销商收集了前一期该种汽车交易的电话记录，如表9-1所示。
表9-1 五家分销商的电话交易频数情况表
问:不同的方案是否对汽车销售量产生影响。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.1 方差分析的内容
这是一个方差分析问题。即对四种方案下的电话交易频数的均值是否相等进行检验。
由于汽车是同一厂家生产的，它们的质量、外形设计、价格、内装修等所有可能影响销售量的因素全部相同，如果检验结果 为不相等，如图9-1(a)所示，则意味着它们来自于不同的总体，表明某种营销方案对汽车销售量产生影响。反之，如果检验结果 为不存在显著不同，则可以认为任何方案对销售量都没有影响，它们来自于相同的总体。见图9-1(b)。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.1 方差分析的内容
在方差分析中，因素是一个独立的变量，也是方差分析研究的对象。在本例中，营销方案就是一个因素。因素中的内容称为水平。本例中的因素包含四个水平，即有A、B、C、D等四种不同的方案。如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分析。在多因素方差分析中，双因素方差分析是最常见的。
在方差分析中，通常假定各个水平的观察数据是来自于服从正态分布总体中的随机样本，各个总体相互独立，且方差相同。而实际应用中无法严格地满足这些假定，一般只要求近似地符合上述假定。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.2 方差分析的原理
从方差分析的目的看，是要检验各个水平的均值是否相等，而实现这个目的的手段是通过方差的比较。
观察值之间存在着差异，差异的产生来自于两个方面:
是由因素中的不同水平造成的，例如，不同方案带来不同的销售量，对此我们可以称为系统性差异；水平之间的方差；既包括系统性因素，也包括随机性因素。
是由于抽选样本的随机性而产生的差异，例如，相同的方案在不同的分销市场的销售量也不同，可称为随机性误差。水平内部的方差。仅包括随机性因素。
10.1 方差分析的内容和思想
10.1.2 方差分析的原理
如果不同的水平（方案A、B、C、D）对结果（销售量）没有影响，那么在水平之间的方差中，就仅仅有随机因素的差异，而没有系统性差异，它与水平内部方差就应该近似，两个方差的比值就会接近于1：
反之，如果不同的水平对结果产生影响，在水平之间的方差中就不仅包括了随机性差异，也包括了系统性差异。这时，该方差就会大于水平内方差，两个方差的比值就会显著地大于1，当这个比值大到某个程度，或者说达到某临界点，就可以作出判断，不同的水平之间存在着显著性差异。
因此，方差分析就是通过对不同方差的比较，作出接受原假设或拒绝原假设的判断。
小概率原理仍然是方差分析的指导思想。方差分析的步骤包括建立假设、计算F统计量、给定置信水平、查表确定临界值、比较判断等。
10.2 单因素方差分析
10.2.1 单因素方差分析的步骤
第一步:首先对各组的水平状况进行了解，并计算它们的均值。
不妨令 表示第j种水平的样本均值，有
(10-1)
式中， 是第j种水平下的第i个观察值， 表示第j种水平的观察值个数。
数据列表及计算如表10-2所示。
10.2 单因素方差分析
10.2.1 单因素方差分析的步骤
表10-2 四种方案电话交易频数及均
10.2 单因素方差分析
10.2.1 单因素方差分析的步骤
第二步:采用F检验进行判断。
我们要对4个方案的总体均值是否相等进行F检验。由于检验的内容是营销方案对销售量影响问题，所以对所关心的问题提出如下原假设和替换假设：
相等， 即方案对销售量没有影响
不全相等 即方案对销售量有影响
若 ，查《F分布表》(附录2表7)知：
其中r为水平个数，n为各水平的观察值个数，括号中r-1，n-r分别为分子项和分母项的自由度。
由前面资料可以计算出F值:
F= 组间方差 / 组内方差
10.2 单因素方差分析
10.2.1 单因素方差分析的步骤
由于 故拒绝原假设，接受替换假设。即通过检验知，
不全相等，说明营销方案对销售量有显著影响，见图10-2。
10.2 单因素方差分析
10.2.2 F分布与F值的计算
水平间(也称组间)方差和水平内(也称组内)方差之比是一个统计量。
数理统计证明，这个统计量服从F分布。
F = 组间方差 / 组内方差 (10-2)
F分布有这样几个特征：
(1)统计量F是大于零的正数。
(2)F分布曲线为正偏态，它的尾端以横轴为渐进线趋于无穷。
(3)F分布是一种连续的概率分布，不同的自由度组合有不同的F分布曲线.如图10-2所示。
由图10-2看出，随着分子和分母自由度的增加，F分布以对称的正态分布为极限。许多类型的假设检验需要利用F分布，方差分析是其中重要的一种。
10.2 单因素方差分析
10.2.2 F分布与F值的计算
关于组间方差（SMA）和组内方差（SME）的计算方法说明如下。
在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和（SST），误差项离差平方和（SSE）以及水平项离差平方和（SSA）。其中
组内方差 = 误差项离差平方和 / 误差项自由度 = SSE /（n－r）
组间方差 = 水平项离差平方和 / 水平项自由度 = SSA /（r－1）
10.2 单因素方差分析
10.2.2 F分布与F值的计算
总离差平方和（SST）反映了离差平方和的总体情况。 如本例有:
误差项离差平方和(SSE) 反映的是水平内部，或组内观察值的离散状况。 如本例有
对公式分析不难发现，SSE实质上反映了随机因素带来的影响。
水平项离差平方和(SSA) 反映的是组间差异。
10.2 单因素方差分析
10.2.2 F分布与F值的计算
因为:
在各组同为正态分布，等方差条件下，等式右边最后一项为零，故有：
即
关键是如何确定各离差平方的自由度:
对总离差平方和（SST）来说，它是n个离差平方之和，共同拥有一个平均数，也就失去了一个自由度，其自由度应为n—1。因为它只有一个约束条件，即
10.2 单因素方差分析
10.2.2 F分布与F值的计算
对水平离差平方和（SSA）来说，它是4组水平（即四种不同方案）离差平方
之和，共同拥有一个平均数，也失去1个自由度，其自由度为4-1。用r表示组数，则有 。它也有一个约束条件，即要求：
对误差项平方和（SSE）来说，因为对各组（每一种水平）而言，其组内观察值个数为 ，它们都失去一个自由度，该组（水平）下的自由度 ，总共有r个组（水平），因此拥有的自由度个数为 。
其实，与离差平方和一样，SST=SSA+SSE之间的自由度也存在如下关系：
总离差自由度 = 误差项自由度 + 水平项自由度
于是，对本例有: 组内方差=
组间方差=
10.2 单因素方差分析
10.2.2 F分布与F值的计算
为了将方差分析的主要过程表现的更清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表，如表10-3所示。
表10-3 方差分析表
10.2 单因素方差分析
10.2.3 样本容量不等下方差分析
进行方差分析时，各个水平下的样本容量可以相同，也可以不同。
进行方差分析时，可以把方差分析的因素放在列的位置，也可以放在行的位置，但通常放在列的位置。这样与计算机中数据库的结构相一致，便于计算机处理。
例10-2：某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量进行评估，评估结果分为优、良、中、差四等。教师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。有一种说法，认为给教师评优秀的这组学生的考试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作评价差的学生，其考试的平均分数可能最低。为对这种说法进行检验，从对评估的每一个等级组中，随机抽取出共26名学生。其课程分数如表9-5所示。
10.2 单因素方差分析
10.2.3 样本容量不等下方差分析
表10-5 26名学生考试成绩
试检验各组学生的分数是否有显著差别。
10.2 单因素方差分析
10.2.3 样本容量不等下方差分析
解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差别，则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间没有必然的联系。
H0：各组平均分数相等；
H1：各组平均分数不全相等。
利用Excel软件，将计算结果列表，如表10-6所示。。
表10-6 学生平均成绩方差分析表
由于F＜ ，故接受原假设。可以认为学生的成绩与它们对教师教学质量的评估意见之间没有关系。
10.2 单因素方差分析
10.2.3 样本容量不等下方差分析
10.3 双因素方差分析
汽车销售量除了受到营销方案的影响之外，我们还想了解汽车的颜色是否影响销售量，如果不同的颜色对销售量存在显著的影响，就需要分析原因，采用不同对策。若把营销方案看作影响销售量的因素A，汽车颜色则是影响因素B。对因素A和因素B同时进行分析，就属于双因素方差分析。双因素方差分析的内容，是对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析有两种类型； 无交互作用的双因素方差分析， 有交互作用的双因素方差分析。这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
10.3 双因素方差分析
首先给出双因素方差分析表(表10-7)
表10-7 双因素方差分析表
10.3 双因素方差分析
例10-3 某商品有五种不同的包装方式(因素A)，在五个不同地区销售(因素B)，现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如表9-8所示。
表10-8 某种商品不同地区不同包装的销售资料
现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否有显著性影响( )。
10.3 双因素方差分析
10.3 双因素方差分析
10.3 双因素方差分析
离差平方和的计算如下：
接下来计算均方差：
10.3 双因素方差分析
因此，两因素统计量F值计算如下：
若使用计算机，Excel的输出结果如表9-9所示：
表10-9 双因素方差分析表
10.3 双因素方差分析
本章练习
1、方差分析的基本原理是什么
2、说明单因素方差分析中SST，SSE，SSA的含义及
三者之间的关系。
3、根据方差分析表说明方差分析的步骤。
4、某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同方式推销商品的效果是否有显著差异。随机抽取样本，得到如下数据：计算F统
计量，并以 的显著性水平作出统计决策。
本章练习
5、为测定光和声音对工人生产效率是否有影响，选了四个不种不同的光照强度和三种不同的噪音级别队生产效率进行测量,结果
如下表所示( )
光照因素是否对工人生产效率产生影响
噪音因素是否对工人生产效率产生影响
本章小结
本章介绍了:
方差分析的内容和思想
单因素方差分析的步骤；F分布与F值的计算；样本容量不等下的方差分析
无交互作用的双因素方差分析
谢 谢 观 看！

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