资源简介

人教B版必修四 11．4.2　平面与平面垂直 导学案
（原卷+答案）
课程标准
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明．
◆如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
2．从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面垂直的关系，归纳出以下判定定理.
◆如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
3．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
4．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　二面角
1．二面角的定义
从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．
2．图示与记法
图示 记法
二面角α-l-β或 二面角P-AB-Q或 二面角P-l-Q
3.二面角的平面角
定义 图示
在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角
4.平面与平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
如果两个平面α与β______________________，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．
知识点二　判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面经过另一个平面的一条________，则这两个平面互相垂直 ________ α⊥β
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在____________垂直于它们交线的直线________于另一个平面
符号语言 α⊥β
图形语言
基 础 自 测
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1-BD-C的大小为________．
2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
3．下列四个命题中，正确的序号有________．
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
4．平面α⊥平面β，α＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　平面与平面垂直的判定
例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
方法归纳
证明面面垂直的方法
(1)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(2)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
跟踪训练1　如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.
题型2　面面垂直性质定理的应用
例2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
方法归纳
(1)面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．
(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
跟踪训练2　如图所示，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
题型3　垂直关系的综合应用
【思考探究】　试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示]　垂直问题转化关系如下所示：
例3　(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
①EN∥平面PDC；
②BC⊥平面PEB；
③平面PBC⊥平面ADMN.
(2)如图，在多边形PABCD中，AD∥BC，AB⊥AD, PA＝AB＝AD＝2BC，∠PAD＝60°，M是线段PD上的一点，且DM＝2MP，若将△PAD沿AD折起，得到几何体P-ABCD.
①证明：PB∥平面AMC；
②若BC＝1，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-ACM的体积．
方法归纳
垂直关系的相互转化
1．在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
2．解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．
跟踪训练3　(1)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
①求证：PA⊥BD；
②求证：平面BDE⊥平面PAC.
(2)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.给出下面四个结论：
①A′D⊥BC；②三棱锥A′BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC.其中正确的序号是________.
题型4　二面角的概念及大小的计算(数学运算、直观想象)
例4　如图所示，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小．
方法归纳
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图所示，∠AOB为二面角α-a-β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
提醒：二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
跟踪训练4　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1B1的正切值．
教材反思
1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用线面垂直的性质证明平行问题．
(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题．
(3)掌握垂直关系的转化．
3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误．温馨提示：请完成课时作业(十九)
参考答案
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．两个半平面
4．所成角的大小为90°
知识点二
垂线　
知识点三
一个平面内　垂直　a α
[基础自测]
1．解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.
因为C1D＝C1B，O为BD中点，
所以C1O⊥BD.
因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1 - BD - C的平面角，
在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2，
所以sin ∠C1OC＝＝.
所以∠C1OC＝30°.
答案：30°
2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
答案：D
3．解析：③④不正确，如图所示，
α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．
答案：①②
4．解析：因为α⊥β，α＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
课堂探究·素养提升
例1　【证明】　连接AC，BC，
则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
跟踪训练1　证明：∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.又∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
例2　【证明】　(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
跟踪训练2　证明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB＝B，
∴VA⊥平面VBC，∵VA 平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
例3　【解析】　(1)证明：①∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，且EN 平面PDC，DM 平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
②∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，
∴PE⊥AD，BE＝E，∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
③由②知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
(2)①连接BD，交AC于点O，连接MO.
因为AD∥BC，所以△BCO∽△DAO，
因为AD＝2BC ，所以DO＝2BO，因为DM＝2MP ，
所以PB∥MO，
因为PB 平面AMC，MO 平面AMC，
所以PB∥ 平面AMC.
②因为平面 PAD⊥平面ABCD，
平面PAD平面 ABCD＝AD ，
AB 平面ABCD, AB⊥AD ，
所以BA⊥平面PAD.因为BC∥AD ，
BC 平面PAD, AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，则三棱锥 C - PAM 的高等于点B到平面PAD的距离，即BA＝2 ，
因为S△PAM＝S△PAD＝×AP×AD×sin 60°＝，所以VP - ACM＝VC - PAM＝S△PAM·BA＝.
跟踪训练3　解析：(1)证明：①因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝B，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD 平面ABC，所以PA⊥BD.
②因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，又AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
因为BD 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(2)因为AD∥BC，AD＝AB＝1，
AD⊥AB，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，
又因为∠BCD＝45°，
所以CD⊥BD，又因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′D，若A′D⊥BC，
则A′D⊥平面BCD，显然不成立，故①错误，③正确．
因为AD＝AB＝1，所以BD＝，CD＝BD＝，
所以VA′ - BCD＝VC - A′BD＝×S△A′BD×CD＝×1×1×＝，故②错误．
因为CD⊥平面A′BD，
所以CD⊥A′B，又A′B⊥A′D，A′D＝D，
所以A′B⊥平面CDA′，又A′B 平面A′BC，
所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正确．
答案：(1)见解析　(2)③④
例4　【解析】　取AD中点M，连接MO，PM，
因为四边形ABCD是正方形，
所以OA＝OD，所以OM⊥AD，
因为PO⊥底面ABCD，
所以∠POA＝∠POD＝90°，
所以△POA≌△POD，
所以PA＝PD，所以PM⊥AD，
所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，因为PO⊥底面ABCD，
所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角，
所以tan ∠PAO＝，
设正方形ABCD的边长为a，则AO＝a，
所以PO＝AO·tan ∠PAO＝a×＝a，
所以tan ∠PMO＝＝，所以∠PMO＝60°.
故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°.
跟踪训练4　解析：取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B - A1C1 - B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中tan ∠BOB1＝＝＝.
所以二面角B - A1C1 - B1的正切值为.

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