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6.2.3向量的数乘运算
班级 姓名
学习目标
1．了解向量数乘的概念.
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边内容 1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝ ； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝ ；②(λ＋μ)a＝ ； ③λ(a＋b)＝ ；特别地，有(－λ)a＝ ＝ ；λ(a－b)＝ .(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .【即时训练1】(多选题)已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　)　　A.|a|＝|b| B.|a|＝4|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反
2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？注：向量共线定理可以划分为两个定理：①判定定理：如果b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.②性质定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【即时训练2】判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线的向量)．①a＝5e1，b＝－10e1； ②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； ③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
向量的线性运算 例1、计算：(1)＝ ；(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝____________，y＝____________．(用a，b表示)
向量共线定理 例2、设a，b是不共线的两个向量.(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
用已知向量表示未知向量 例3、(1)在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)A．＋ B．－ C．－ D．＋(2)如图， ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)A．a－b　　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b变式、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
课后作业
一、基础训练题
1．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　)
A．　　 B．　 　 C．　 D．
2．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
3．(多选题)已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是(　　)
A．λa∥a B．λa与a方向相同
C.是单位向量 D．若|λa|>|a|，则λ>1
4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
6．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　)
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
7．(多选题)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________.
9．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
11．如图，四边形OADB是平行四边形，其对角线相交于C点，＝，＝，且＝a，＝b，用a，b表示向量.
二、综合训练题
12．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
13．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
三、能力提升题
14．如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________.
15．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
6.2.3 向量的数乘运算
参考答案
1、【答案】A　
【解析】＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1.
2、【答案】AB　
【解析】A正确．B正确．C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，
当m＝0时也成立，推不出a＝b.D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.
3、【答案】AC
【解析】∵a≠0，∴必有λa∥a，而是与a同向的单位向量，故A、C正确；
对于B，当λ>0时，λa与a同向，当λ<0时，λa与a反向；
对于D，由|λa|>|a| |λ||a|>|a| |λ|>1 λ>1或λ<－1，故B、D错误．
4、【答案】C　
【解析】由条件可知＝－，∴AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
5、【答案】A　
【解析】如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．
6、【答案】B　
【解析】若A，B，C三点共线，则与共线，
所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以所以km＝1，即km－1＝0.
7、【答案】ABC
【解析】在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；
＝＋＝＋＝a＋b，故B正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C正确；
＝＝－a，故D不正确．故选ABC.
8、【答案】2　
【解析】∵－3＋2＝0，∴－＝2(－)，∴＝2，∴＝2.
9、【答案】3　
【解析】∵＋＋＝0，∴＋＝－，
又由＋＝m得(M＋)－2＝m，
即－3＝m＝－m，所以m＝3.
10、[解]　设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．
11、解 在平行四边形OADB中，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
因为＝，点C是线段AB的中点，所以＝＝(a－b)，
所以＝2＝(a－b)．
因为＝，点C是线段OD的中点，
所以＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝(a－b)＋(a＋b)＝a－b.
12、【答案】C　
【解析】，分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，≠；
对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；
对于C，当a＝2b时，＝＝；
对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条件是a＝2b.
13、【答案】D
【解析】　由题图易得2a＋b＝c.因为向量λa＋b与c共线，所以λ＝2.故选D.
14、【答案】(1)e2＋e1　(2)e1－e2　
【解析】因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.]
15、【答案】3　
【解析】，共线，设＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2－，＝2k－k，
又＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3.
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