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2024年山东省济南市中考数学复习与训练卷
本试卷满分150分．考试时间为120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如图所示的几何体左视图是（ ）
A． B． C． D．
2. 天津到上海的铁路里程约米，用科学记数法表示的结果（ ）
A． B． C． D．
如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，
若∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6. 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
若点都在反比例函数的图象上，
则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10 . 如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，以下结论：
①， ②， ③， ④当时，．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11. 因式分解： ．
一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，
从袋子中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋子中有 个黑球．
13. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14. 如图，切于两点，的半径长为，则阴影面积为 ．
周末，小明和哥哥一起骑自行车从家里出发到滨江公园游玩，从家出发0.5小时后到武山湖，
游玩一段时间后按原速前往滨江公园，小明离家80分钟后，爸爸驾车沿相同路线前往滨江公园，
如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，
已知爸爸驾车的速度是小明骑车速度的3倍，如果小明比爸爸晚10分钟到达滨江公园，
那么滨江公园离家的距离是 km．

16 . 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
若，，则的长为__________
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
19. 如下图，在中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．
如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，
当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；
参考数据：，，，，，）

于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．
学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，
整理后得到下列不完整的图表：
类别 A类 B类 C类 D类
阅读时长t（小时）
频数 8 m n 4

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________；
扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度；
已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，
请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
22 .如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，
连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
23 .某校开设智能机器人编程校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．
A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，
用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，
购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．
问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
25 .如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，
点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．
若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
26 . 【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
① 判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
② 图2中的度数是______．
(3)【探究拓展】
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，
直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
2024年山东省济南市中考数学复习与训练卷（解析版）
本试卷满分150分．考试时间为120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如图所示的几何体左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．
【详解】解：从几何体的左面看会看到一个矩形，中间有一条水平虚线，故C正确．
故选：C．
2. 天津到上海的铁路里程约米，用科学记数法表示的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法即可得出结果．
【详解】解：用科学记数法表示的结果是，
故选B．
如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，
若∠2=50°，那么∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠2=50°，
∴∠3=50°，
∵∠1+∠3+60°=180°，
∴∠1=180°-60°-50°，
∴∠1=70°，
故选：C．
4. 实数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴．由数轴可得，即可判定结果．
【详解】解：∵由数轴可得，且，
∴，，，，
观察四个选项，正确的是D．
故选：D．
5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
6. 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
若点都在反比例函数的图象上，
则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选D．
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
9. 若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求得空白部分面积和阴影部分，根据题意列方程组，解方程组即可求得 ，进而可知的值．
【详解】，
又，
，
空白，
阴影，
阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，
，
，
，
解得：或者（舍），
．
故选B．
10 . 如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，以下结论：
①， ②， ③， ④当时，．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由抛物线开口方向得a<0，利用对称轴在y轴的右侧得b>0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1，a-b+c=0，则b=a+c=a+1，可得00，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x>-1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对④进行判断．
【详解】∵由抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b>0，
∴ab<0，故①正确；
∵点(0，1)和( 1，0)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=1，a b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
又∵a<0，
∴0∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
又∵a<0，
∴2a+2<2，即a+b+c<2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为( 1，0)，抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(1，0)的右侧，
又∵抛物线开口向下，
∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，
∴0∵x> 1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，
∴y>0或y=0或y<0，故④错误．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11. 因式分解： ．
【答案】(4x+3)(4x-3)
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：
=(4x+3)(4x-3)，
故答案为：(4x+3)(4x-3)．
一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，
从袋子中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋子中有 个黑球．
【答案】9
【分析】设有x个黑球，根据概率=符合条件的情况数目与全部情况的总数之比列出方程求解即可．
【详解】解：设有x个黑球，由题意，得
解得x=9，
经检验，x=9是原方程的解．
故答案为9．
13. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m 2≠0且Δ＞0，解不等式组即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴m 2≠0且，
解得：且m≠2，
∴m的取值范围是且m≠2．
故答案为：且m≠2．
14. 如图，切于两点，的半径长为，则阴影面积为 ．
【答案】
【分析】连接OA、OB、OP，先求出∠AOB=120°，然后由切线长定理得到∠APO=∠BPO=30°，则得到OP的长度，然后求出PB和PA，再根据面积的割补法求出阴影部分的面积.
【详解】解：如图，连接OA、OB、OP，
∵PA、PB是圆的切线，，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，
∴∠AOB=；
在Rt△AOP中，OA=6，
∴OP=12，
∴，
∴
=；
故答案为：.
周末，小明和哥哥一起骑自行车从家里出发到滨江公园游玩，从家出发0.5小时后到武山湖，
游玩一段时间后按原速前往滨江公园，小明离家80分钟后，爸爸驾车沿相同路线前往滨江公园，
如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，
已知爸爸驾车的速度是小明骑车速度的3倍，如果小明比爸爸晚10分钟到达滨江公园，
那么滨江公园离家的距离是 km．

【答案】30
【分析】由第一段路程求出小明的骑车速度，从而得到爸爸的速度．
对滨江公园离家距离设未知数，根据小明走的路程和爸爸走的路程相等列出方程，
最后解方程求出答案．
【详解】解：由第一段路程速度时间
得小明的速度为
爸爸驾车的速度是小明骑车速度的3倍
爸爸的速度为
设爸爸到达时间为
故小明到达时间为
根据小明走的路程和爸爸走的路程相等
列出方程
化简得
合并同类项
解得
滨江公园离家的距离
故滨江公园离家的距离．
故答案为：30
16 . 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
若，，则的长为__________
【答案】15
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
,，
，，
设，则，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：15
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【分析】利用负整数指数幂、零指数幂法则、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行化简即可得到结果．
【详解】解：
18. 解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集为﹣3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上见解析，整数解为﹣2、﹣1、0、1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得其整数解．
【详解】解：解不等式2（x+8）≤10﹣4（x﹣3），得：x≤1，
解不等式，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．
19. 如下图，在中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
【答案】见解析．
【分析】先证BC=AD，∠DAF=∠BCE，∠DFA=∠BEC，根据AAS证出△CBE≌△ADF，从而得出BE=DF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAF=∠BCE，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，
，
∴△CBE≌△ADF，
∴BE=DF．
莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．
如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，
当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；
参考数据：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度为．
【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．
学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，
整理后得到下列不完整的图表：
类别 A类 B类 C类 D类
阅读时长t（小时）
频数 8 m n 4

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________；
(2)扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度；
(3)已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)40，18，10
(2)162
(3)
【分析】（1）根据A类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、n的值；
（2）用乘B类人数的占比即可求解；
（3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：(名)，
，
，
故答案为：40，18，10；
（2）解：，
故答案为：162；
（3）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
22 .如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，
连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
23 .某校开设智能机器人编程校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．
A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，
用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，
购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．
问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)1或9
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出反比例函数的解析式，从而可求出，再次利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出平移后的一次函数解析式为，再联立平移后的一次函数解析式和反比例函数解析式，整理出关于x的一元二次方程，结合图像有且只有一个公共点，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，最后根据其根的判别式求出m的值即可；
（3）过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，可求出．设．分类讨论：①当点P位于上时，如图点，可得出，，从而可求出，，进而由，得出关于ｔ的等式，解出ｔ的值即可；②当点P位于延长线上时，如图点，同理由，得出关于ｔ的等式，解出ｔ的值即可；
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入，得，
解得：，
∴．
∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：将一次函数向下平移个单位后的解析式为，
联立，
整理，得：．
∵平移后的一次函数与反比例函数的图像有且只有一个公共点，
∴一元二次方程有2个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的值为1或9；
（3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，
∵，，
∴，
∴．
设．
分类讨论：①当点P位于上时，如图点，
则，，
∴，．
∴，即，
解得：，
所以此时点P坐标为；
②当点P位于延长线上时，如图点，
则，，
∴，．
∴，即，
解得：，
所以此时点P坐标为．
25 .如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，
点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．
若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1CBP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
26 . 【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
① 判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
② 图2中的度数是______．
(3)【探究拓展】
如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，
直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②；
(3)度，，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．
（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，
①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）结论：，．
理由：如图3中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．

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