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2023-2024学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，是小于的整数，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 必要条件 D. 既不充分也不必要条什
4.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上恰有一个零点，则( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在上单调递增 D. 关于直线对称
11.已知函数满足：对任意的，都存，且，则( )
A. 是奇函数 B.
C. 的值域为 D.
12.已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则( )
A. 是数集的特征函数
B. 是数集的特征函数
C. 是数集的特征函数
D. 是集合的特征函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______．
14.写出一个同时具有下列性质的函数了：______．
过定点；
是偶函数；
，，有
15.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式中的参量提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，公式中的为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度单位为开尔文，简称开，为阿伦尼乌斯常数已知某化学反应的温度每增加开，反应速率常数变为原来的倍，则当温度从开上升到开时， ______参考数据：
16.已知，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
若，试判断集合与的关系；
若，求的值组成的集合．
18.本小题分
已知，是方程的两个实数根．
求的值；
若为第二象限角，求的值．
19.本小题分
已知函数为奇函数，其中为常数．
求的解析式和定义域；
若不等式成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数已知函数．
证明：函数在区间上单调递增．
当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
交通运输部数据显示，年中秋国庆假期月日至月日期间，营业性旅客运输人数累计亿人次游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆据统计，某景区平时日均接纳旅客万人次，门票是元人，中秋国庆期间日均接客量是平时的倍为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜元时，旅游日均人数可增加万人便宜幅度是元一档，但优惠后的最终门票价格不低于元．
当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于万元，则该景区可以如何确定门票价格？
当在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于万元，则该景区应如何确定门票价格？
22.本小题分
已知函数为奇函数，为偶函数，且，其中为常数．
求函数和的解析式；
若函数的最小值为，求的值；
在的条件下，讨论函数的零点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
是小于的整数，
则．
故选：．
利用不等式性质和交集定义能求出结果．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：先判断充分性：
因为，但，
所以推不出，
即“”是“”的不充分条件；
再判断必要性：
若，则，
因为，
所以可以推出，
即“”是“”的必要条件，
综上：“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
分别从充分性和必要性判断即可．
本题考查充要关系，以及任意角三角函数的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，
则，
解得，．
故选：．
由已知结合三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由图可得函数图象关于轴对称，故为偶函数，
而答案C中，，为奇函数，排除答案C，
又因为时，图象在轴上方，而，，故排除．
故选：．
根据奇偶性排除答案C，再结合时，图象在轴上方，排除，进而得到答案．
本题主要考查函数图像的判断，考查函数的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，，令，得，是区间上的零点．
当时，函数在区间上有零点分为两种情况：
方程在区间上有重根，
令，解得．
当时，令，得，是区间上的零点．
若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根，
令，解得．
故选：．
根据零点存在定理，二次方程是否有重根进行讨论即可．
本题考查二次函数与方程之间的关系，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：对于，集合中的元素在对应关系下对应的元素为，而，故A错误；
对于，对于集合中的任意一个元素，在对应关系下，在集合内都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，故B正确；
对于，对于集合中的负数，在对应关系下没有对应的元素，故C错误；
对于，对于集合内的任意一个元素，在对应关系下，在集合中都有两个元素与之对应，故D错误．
故选：．
根据函数的定义分别进行判断即可．
本题主要考查函数定义的判断，根据变量的唯一性是解决本题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，
所以，则，
，
，
，
，
所以，则，
，
所以，则，所以，
故选：．
根据指对数互化，以及对数的换底公式，结合基本不等式，即可比较大小．
本题主要考查对数的运算，以及基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由可知，一定成立，A正确；
由可得，一定成立，B正确；
因为无法确定正负，即与的大小无法确定，C错误；
由，可得，，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，；
由此可得图象如图所示，
对于，由图象可知，的最小正周期为，故A正确；
对于，，由图象可知，图象关于对称，且，故B错误，D正确；
对于，由图象可知，在单调递增，在单调递减，故C错误．
故选：．
结合正、余弦函数的图象和的定义可确定的图象，根据图象可确定周期，对称轴和最大值和单调性，从而求得答案．
本题考查正余弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
又因为，
所以的图象关于对称，
所以，
所以是偶函数，故A错误；
由，可得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
所以，故B正确；
因为无法确定函数的单调性，故无法确定函数的值域，故C错误；
因为是上的奇函数，所以，
又因为，，
所以，，，
所以，
所以，故D正确．
故选：．
由题意可得为奇函数，且关于对称，从而可得函数的周期为，再对选项逐一判断即可．
本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由集合的特征函数的定义可知不为空集，
则不为空集，如图示：Ⅰ部分表示，Ⅱ表示，
Ⅲ表示表示，Ⅳ表示，
当时，，，故，
当时，，中至少有一个为，此时，
符合特征函数的定义，即是数集的特征函数，A正确；
对于，当时，如上图，
若取值在Ⅰ部分，则，，则；
若取值在Ⅱ部分，则，，则；
若取值在Ⅲ部分，则，，则；
当时，，，则，
符合特征函数的定义，
即是数集的特征函数，B正确；
对于，当时，，，则；
当时，即取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分，
若取值在Ⅰ部分，，，则，
若取值在Ⅲ部分，，，则，
若取值在Ⅳ部分，，，则，
故此时符合特征函数的定义，
即是数集的特征函数，C正确；
对于，当时，即取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分，
当取值在上图中Ⅳ部分时，
此时，，则，
不符合特征函数定义，
故不是集合的特征函数，D错误．
故选：．
根据特征函数的定义，一一验证选项中的函数是否满足特征函数的定义，即可判断出答案．
本题属于新概念题，考查了函数思想及集合思想，理解定义是关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知，
则．
故答案为：．
由求解．
本题考查了诱导公式，属中档题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：因为函数过定点，是偶函数，且，，有，
故符合题意的一个函数解析式为．
故答案为：答案不唯一．
结合基本初等函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题可得：，解得：．
故答案为：．
由题意列出关系式，根据指对数的运算即可求解．
本题考查了函数和指对数的运算的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，
和均是方程的根，
设，
函数单调递增，函数单调递增，
单调递增，
又，，
，使得，
是的唯一一个零点，
，
即．
故答案为：．
由，可得，所以和均是方程的根，设，显然函数单调递增，再结合函数的零点存在定理可知存在唯一一个零点，所以，进而求出结果．
本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了函数的零点存在定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：集合，
当时，，
；
当时，，符合题意，
当时，，
若，则或，
解得或，
集合
【解析】先求出集合，，进而判断集合与的关系；
分和两种情况讨论，结合求出的值即可．
本题主要考查了集合的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：，是关于的方程的两根，
则，且，
由，可得，则，
经检验符合题意，则所求实数的值为．
因为为第二象限角，，
所以，，
所以．
【解析】列出关于的方程即可求得实数的值；
由题意可求，，进而利用平方差公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为为奇函数，
所以，即，
此时，，符合题意，
定义域为；
因为在上单调递减，
因为，
由可得，
解得
故的范围为．
【解析】结合奇函数定义可求，然后可求函数解析式，由函数解析式可求函数的定义域；
先判断函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．
本题主要考查了奇函数定义在函数解析式求解中的应用，还考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】证明：任取，，且，
则
，
由，，得，所以．
又由得，所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
解：令，即，
整理得：，即，
故，解得或舍去，
所以与有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在直线上，代入得：，
即，则隔离直线函数为，
若当时有，即，
所以在上恒成立，解得，则，
下证，
令，
即，，当且仅当时取得等号，
所以为函数与的隔离直线函数．
【解析】利用单调性定义证明即可；找到与的公共点，代入隔离直线，根据不等式的性质即可得．
本题考查函数的单调性证明，考查不等式解法，属于中档题．
21.【答案】解：设票价定价为元，由题意知，门票营业额记为，
则，
即，解得，
又，所以票价可以定、、元．
由知，，
当在区间上变化总能使门票营业额超过万元，
即当时，总有成立，
即在上恒成立，
由于时，门票营业额为万元，不合题意，
所以，从而，
设，显然在当上单调递增，
所以只需，即，解得，
结合，
所以在上变化时，总能使得门票日均营业额不低于万元，票价可定、元．
【解析】均可根据已知条件列不等式即可求解．
本题考查了函数与不等式在解决实际问题上的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，函数为奇函数，为偶函数，
所以，即，
解得，
，
又，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，有最小值，此时，
所以的最小值为，解得或舍，故．
由知，，，
则，
设，则，由，得，即，
而在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当，，
作出的图象如图所示：
由图可知，当，即时，直线与没有公共点，故函数无零点；
当，即时，与有个公共点，此时，方程有两个解，
所以函数有个零点；
当，即时，直线与有个公共点，设其横坐标分别为，，
其中，方程或有个解，所以函数有个零点；
当，即时，与有个公共点，其横坐标分别为和，
方程或有个解，所以函数有个零点；
当，即时，与有个公共点，其横坐标，方程有个解，所以函数有个零点；
综上，时，函数无零点；
或时，函数有个零点；
时，函数有个零点；
时，函数有个零点．
【解析】根据函数的奇偶性和，得到，解方程组即可求出结果；
根据求出函数的解析式，然后利用基本不等式求出函数的最小值即可求出结果；
根据求出，换元设，则，转化为的图像与直线的交点问题，分类讨论即可求出结果．
本题考查函数解析式的求法，函数零点与方程根的关系，数形结合，分类讨论的数学思想方法，属难题．
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