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高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
九、直线、平面、简单多面体
1、三个公理和三条推论：
（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．这是判断直线在平面内的常用方法．
（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上．这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一．
（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面．推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3和三个推论是确定平面的依据．如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，则 l α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，则Aα　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合．上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_______（答：24）
2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半．如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）（答：A）
（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____（答：）
3、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点．（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点．（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点．如（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_____（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 ．其中正确的命题是_____（答：①③）
4、异面直线的判定：反证法． 如（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝Φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝Φ；④ａ面α，b面α　；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立．上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_____（答：MN5、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角．如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是____（答：）；
6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线有且只有一条．而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交．如（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）；
7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理．
9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交．其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行．其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外．如（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线平行于平面内的一条直线b , 则 // 　Ｂ、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则⊥b　　Ｃ、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线　　Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）．
10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行．（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．如（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是　A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥β且aβ（答：D）；（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B．
11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直．（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直．②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．如（1）如果命题“若∥z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF．
12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角．
13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角．（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角．如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；（3）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为______（答：）；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为______（答：）．
14、平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线．
15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行．（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如（1）是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的两条边，且　　B、内有不共线的三点到的距离都相等　　C、都垂直于同一条直线　　D、是两条异面直线，，且（答：B）；（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行．其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；（3）正方体ABCD-A１B１C１D１中AB=．①求证：平面AD1B1∥平面C1DB；②求证：A1C⊥平面AD1B1 ；③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离（答：）；
16、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直．（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小．对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）．如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________（答：）；（2）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是______（答：）；（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：）；（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；（5）二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，则CD的长______（答：2）；（6）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为______（答：）．
17、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为_____（答：5）；（2）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD（答：）；（3）过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC＝90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
如（1）已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：①
②；③；④．其中正确的命题是_____（答：①③）；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则或；④若则．其中正确的命题是_____（答：①③④）
18、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）
（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行．③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面．如已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为，则异面直线BD与B1C的距离为_____（答：）．
（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解．如（1）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_____（答：）；（2）点P是120°的二面角α--β内的一点，点P到α、β的距离分别是3、4，则P到的距离为　_______（答：）；（3）在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到棱A1B1与棱BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为_______（答：抛物线弧）．
（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法．如（1）长方体的棱，则点到平面　的距离等于______（答：）；（2）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为______（答：eq \f(,6)a）．
（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离．
（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离．
（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长．如（1）设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离（答：）；（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3点的小圆的周长为，那么这个球的半径为______（答：）；（3）三棱锥的三个侧面两两垂直，，若四个点都在同一球面上，则此球面上两点A、B之间的球面距离是_________（答：）．
19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱．（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体．
20、棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱．②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形．③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．如（1）斜三棱柱A1B1C1－ABC，各棱长为，A1B=A1C=，则侧面BCC1B1是____形，棱柱的高为_____（答：正方；）；（2）下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱．其中真命题的为_____（答：②④）．
21、平行六面体：
（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
（2）几类特殊的平行六面体：{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}；
（3）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．如长方体三度之和为a+b+c＝6，全面积为11，则其对角线为_____（答：5）
22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比．如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____（答：1∶8）
23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥．特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体．如四面体中，有如下命题：①若，则；②若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；③若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；④若四个面是全等的三角形，则为正四面体．其中正确的是___（答：①③）
（2）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等．②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形．如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角．如（1）在三棱锥的四个面中，最多有___个面为直角三角形（答：4）；（2）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为________（答：）．
24、侧面积（各个侧面面积之和）：
（1）棱柱：侧面积＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积＝底面周长×侧棱长．如（1）长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则此长方体的侧面积为______（答：）；（2）斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B为120°，侧棱AA1于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA1=12cm，则斜三棱柱的侧面积为______（答：）；（3）若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为______（答：120）．
（2）正棱锥：正棱锥的侧面积＝×底面周长×斜高．如（1）已知正四棱锥P－ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是_______（答：）；（2）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于______（答：）．
提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积．
25、体积：
（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）．如（1）设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于__（答：）；（2）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，则棱柱的侧面积为___，体积为___（答：；）．
（2）棱锥：体积＝×底面积×高．如（1）已知棱长为1的正方体容器ABCD—A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_____（答：）；（2）在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=，则正三棱锥A-BCD的体积为__（答：）；（3）已知正三棱锥底面边长为，体积为，则底面三角形的中心到侧面的距离为___（答：）；（4）在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则．类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________（答：）．
特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体．补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.如（1）用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，若，
，则多面体的体积为_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为 （答：）；（3）如图的多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为________（答：4）．
26、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体．（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种．其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：
正四面体　　正六面体　　正八面体　　　正十二面体　　　正二十面体
27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝．提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）．如（1）在半径为10的球面上有三点，如果，则球心到平面的距离为______（答：）；（2）已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC的距离为______（答：12）
28、球的体积和表面积公式：V＝．如（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，则球的表面积为______（答：）；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积．（答：表面积，体积）；（3）已知直平行六面体的各条棱长均为3，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为______（答：）；
29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；
（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系．如（1）甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____（答：1∶2∶3）；（2）若正四面体的棱长为，则此正四面体的外接球的表面积为_____（答：）；（3）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_____（答：）；
（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离．如已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则的最小值是_____（答：）；
30、你熟悉下列结论吗？
⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；
⑵从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
⑶AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影成，设∠BAC=,则coscos=cos；
⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；
⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+
cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2．如（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为____________（答：30°）；（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则的关系为____________．（答：）
⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则．如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于__（答：）
⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心．
⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1．
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2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学预测卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C．　　　　　 　　 D．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
3．已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．复数 （ ）
A．2 B．－2 C． D．
5．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A．<< B．<< C． << D． <<
7．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的最小值和最大值分别为（ ）
A．－3，1 B．－2，2 C．－3， D．－2，
9．定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则 与底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
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理科数学预测卷
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上
13．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
14．过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________
15．已知双曲线的离心率是。则＝
16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
18．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
19．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
20．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10% X2 2% 8% 12%
P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）
21．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
22．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
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理科数学预测卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为
A. B.
C. 　　　　　 　　 D.
解：函数的定义域必须满足条件：
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
解：A． 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知；
3．已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是
（A）1 （B）2 （C） （D）
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。
展开
则的最大值是;
或者利用数形结合, ，对应的点A,B在圆上,
对应的点C在圆上即可.
4．复数 （ ）
A．2 B．－2 C． D．
【标准答案】：A。
【试题解析】：
5．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
6．若，则（ ）
A．<< B．<< C． << D． <<
【解析】由，令且取知<<
【答案】C
7．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标
为, 且（为点P处切线的倾斜角），又∵，
∴，∴
8．函数的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，
【标准答案】：Ｃ
【试题解析】：∵
∴当时，，当时，；故选Ｃ；
【高考考点】三角函数值域及二次函数值域
【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错。
【备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。
9．定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
解：令，令；
令得
10．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】.D．由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
解：C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.
另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为
长度均为，平面的法向量为,
则与底面所成角的正弦值为.
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
解析：B.分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；
种四种花有种种法.共有.
另解：按顺序种花，可分同色与不同色有
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理科数学预测卷
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上
13．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
解：区域是三条直线相交构成的三角形（如图）
显然，只需研究过、两种情形，
且即
14．过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________
解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，
建立方程组，得交点纵坐标，从而
15．已知双曲线的离心率是。则＝
解：，离心率，所以
16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为 。
解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，
设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．函数是偶函数．
18．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
如图，在四棱锥中，底面四边长
为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE
又
（2）
为异面直线与所成的角（或其补角）作连接
，
所以 与所成角的大小为
（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
19．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
【解析】（I）在取得极值即
（Ⅱ）即 令即对任意都成立则即
【试题解析】本题考查运用导数求三次函数的单调区间，从而求字母参数的取值范围，属于中等题
【高考考点】导数的三大应用
【备考提示】要熟练掌握导数的三大应用：①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率；②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为；③单调性的判断： ，单调递增；，单调递减，和一些常见的导数的求法. 要熟练一些函数的单调性的判断方法有，作差法，作商法，导数法；对于含参范围问题，解决方法有，当参数为一次时，可直接解出通过均值不等式求最值把其求出；当为二次时，可用判别式法或导数法等求.而此种题型函数与方程仍是高考的必考，以函数为背景、导数为工具，以分析、探求、转化函数的有关性质为设问方式，重点考查函数的基本性质，导数的应用，以及函数与方程、分类与整合等数学思想.其中试题灵活多变。
20．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10% X2 2% 8% 12%
P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3
（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；
（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）
【试题解析】 (I)由题设可知, Y1和Y2的分布列分别为
Y 1 5 10
P 0.8 0.2
Y 2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E Y1=5×0.8+10×0.2=6,
D Y1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D Y2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(II)
当时，为最小值.
21．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得
，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
22．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由得：，即，所以，对成立。
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，
，
A．
O
t
s
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
D
B
C
A
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
D
B
C
A
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高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
五、平面向量
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别．向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）．如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行．提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量．的相反向量是－．
如下列命题：（1）若，则．（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同．（3）若，则是平行四边形．（4）若是平行四边形，则．（5）若，则．（6）若，则．其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示．如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同．
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2．如（1）若
，则______（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）
4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0．
5、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直．
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝．规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量．如（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）
（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0．如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）
（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积．
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；④．如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；（3）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）
6、向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点．注意：此处减向量与被减向量的起点相同．如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；
（2）坐标运算：设，则：
①向量的加减法运算：，．如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知，，则 （答：或）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （答：（9,1））
②实数与向量的积：．
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．如设，且，，则C、D的坐标分别是__________（答：）；
④平面向量数量积：．如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）．（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值（答：或）；
⑤向量的模：．如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；
⑥两点间的距离：若，则．如如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为．（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程．（答：（1）2；（2））；
7、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，．如下列命题中：① ；② ；③
；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨．其中正确的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
8、向量平行(共线)的充要条件：＝0．如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
9、向量垂直的充要条件： .特别地．如(1)已知，若，则 （答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是________ （答：）
10.线段的定比分点：
（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；
（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为．如若点分所成的比为，则分所成的比为_______（答：）
（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式．在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标．在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比．如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______（答：）；（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）
12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
（3）在中，①若，则其重心的坐标为．如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）
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八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视．若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．如（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D．（答：C）；（2）方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率．圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化．如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）．方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）．如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）；（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）．方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）．如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）；（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时．
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向．
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，．
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁．如（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：．如（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；（2）双曲线的离心率为，则= （答：4或）；（3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）；
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线．如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；
5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；
（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离．
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：）；（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：1）；（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；（8）直线与双曲线交于、两点．①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①；②）；
7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离．如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：）；（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：）；（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答：）；
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②．如（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 （答：）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：）；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）；
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝．特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解．如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=．如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
12．你了解下列结论吗？
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）．如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：）
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②
（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
13．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）；　
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：）；(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；
⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）．如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹．（答：）；（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）；（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化．如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（1）设为点P的横坐标，证明；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2）
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;
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三、数　　列
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．如（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___（答：）；（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；（4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （）（答：A）
A B C D
2.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法或．如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列．
（2）等差数列的通项：或．如(1)等差数列中，，，则通项　　　　（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）
（3）等差数列的前和：，．如（1）数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）.
（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且．
提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素．只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）
3.等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列．
（3）当时,则有，特别地，当时，则有.如（1）等差数列中，，则＝____（答：27）；（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0　　B、都小于0，都大于0　　C、都小于0，都大于0　　D、都小于0，都大于0　（答：B）
(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 ．（答：225）
（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；．如（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）
(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性．上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值．（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，
，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）
(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或
．如（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：）；（2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列．
（2）等比数列的通项：或．如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比. （答：，或2）
（3）等比数列的前和：当时，；当时，
．如（1）等比数列中，＝2，S99=77，求（答：44）；（2）的值为__________（答：2046）；
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解．
（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项．提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个．如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素．只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为．如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数．（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）．
(2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列．当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　. （答：）；（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）
(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
(4) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列．如若是等比数列，且，则＝ （答：－1）
(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 _____（答：－2）
(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.
(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列．这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．如已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）
⑵已知（即）求，用作差法：．如①已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：）
⑶已知求，用作商法：．如数列中，对所有的都有，则______（答：）
⑷若求用累加法：
．如已知数列满足，，则=________（答：）
⑸已知求，用累乘法：．如已知数列中，，前项和，若，求（答：）
⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）．特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求．如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项．如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）
注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．如数列满足，求（答：）
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.如（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的．二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：（答：）
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如①求证：；②已知，则＝______（答：）
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 如（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）；（2）设函数，数列满足：
，①求证：数列是等比数列；②令
，求函数在点处的导数，并比较与的大小．（答：①略；②，当时，＝；当时，<；当时，>）
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③，；
④ ；⑤；
⑥.
如（1）求和： （答：）；（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；
（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和．如①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= 　（答：）；②求和： （答：）
8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：
（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清．如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列问题）.
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二、函　数
1.映射: AB的概念．在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一．如（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是　A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象　　C、中每一个元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个（答：12）；（5）设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}）.
2.函数: AB是特殊的映射．特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个．如（1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ （答：2）
3. 同一函数的概念．构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则．而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数．如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等．如（1）函数的定义域是____(答：)；（2）若函数的定义域为R，则_______(答：)；（3）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________(答：)；（4）设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围（答：①；②）
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围．
（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）．如（1）若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）．
5.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题．求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（答：[4,8]）；（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；（3）已知的图象过点（2,1），则的值域为______（答：[2, 5]）
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_____（答：）；（2）的值域为_____（答：）（令，．运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；（3）的值域为____（答：）；（4）的值域为____（答：）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，，的值域（答： 、（0,1）、）；
（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，，的值域为______（答：、、）；
（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；（3）求函数及的值域（答：、）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧．
（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）
②型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：）
③型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值（答：）
④型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）
（7）不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧．如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）．
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值．（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数．在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是__________（答：）；（2）已知，则不等式的解集是________（答：）
7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）．如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 ．（答：）
（2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式．如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_____（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域．
（3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组．如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= __（答：）．
8. 反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数．如函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、　B、　　C、　　D、　（答：D）
（2）求反函数的步骤：①反求；②互换 、；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）．注意函数的反函数不是，而是．如设.求的反函数（答：）．
（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域．如单调递增函数满足条件= x ，其中≠ 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是____________（答：[4,7]）.
②函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同．如（1）已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值（答：）；
③．如（1）已知函数，则方程的解______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数，f (4)＝0，则＝　 （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性．如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为________（答：（2,8））；
⑤设的定义域为A，值域为B，则有，
，但．
9.函数的奇偶性．
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．如若函数，
为奇函数，其中，则的值是 （答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数的奇偶性____（答：奇函数）．
②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）．如判断的奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称．
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.（答：）
④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件．如若为奇函数，则实数＝____（答：1）.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”．如设是定义域为R的任一函数， ，．①判断与的奇偶性； ②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____（答：①为偶函数，为奇函数；②＝）
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
10.函数的单调性．
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在．如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：）)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)．
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗 （①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围．（答：）
11. 常见的图象变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的．如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为__________(答： )
②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的．如（1）若，则函数的最小值为____(答：2)；（2）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；（3）函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)
③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；
④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 　　(答：C)
⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的．如（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．
⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.
12. 函数的对称性．
①满足条件的函数的图象关于直线对称．如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；
②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为．特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为
；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为．如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________（答：）；
⑥曲线关于点的对称曲线的方程为．如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝______（答：）
⑦形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点．如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）
⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到．如（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称 （答：轴）　　
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上．如（1）已知函数．求证：函数的图像关于点成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线．①写出曲线的方程（答：）；②证明曲线C与关于点对称．
13. 函数的周期性．
（1）类比“三角函数图像”得：
①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；
如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：
①函数满足，则是周期为2的周期函数；
②若恒成立，则；
③若恒成立，则.
如(1) 设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；（4）设是定义域为R的函数，且，又，则= (答：)
14.指数式、对数式：
，，，，，，，，，，， ．如（1）的值为________(答：8)；（2）的值为________(答：)
15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较．
16. 函数的应用．（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去．（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立型．
17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题．求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究．几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型： ---------------；
②幂函数型： --------------，；
③指数函数型： ------------，；
④对数函数型： -----，；
⑤三角函数型： ----- ．如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则____（答：0）
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有　A、 B、 C、 D、（答：A）；（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求（答：1）；（3）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；（4）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增．如果，且，则的值的符号是____（答：负数）
（3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究．如（1）若，满足
，则的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若，满足
，则的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.（答：）．
O 1 2 3 x
y
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高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形．按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角．射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边．
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
3. 终边相同的角的表示：
（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度．（答：；）
（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .
（3）终边与终边关于轴对称.
（4）终边与终边关于轴对称.
（5）终边与终边关于原点对称.
（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________．（答：）
4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）
5.弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．（答：2）
6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿．（答：）；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______（答：（－1，）；（3）若，试判断的符号（答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式．如（1）若，则的大小关系为_____(答：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_______ （答：）；（3）函数的定义域是_______（答：）
8.特殊角的三角函数值：
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
0 1 0 －1
1 0 －1 0
1 0 0 2- 2+
1 0 0 2+ 2-
9. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商数关系：
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值．在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值．如（1）函数的值的符号为____（答：大于0）；（2）若，则使成立的的取值范围是____（答：
）；（3）已知，，则＝____（答：）；（4）已知，则＝____；＝_________（答：；）；（5）已知，则等于　　A、　　B、　　C、　　　D、（答：B）；（6）已知，则的值为______（答：－1）．
10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数．如（1）的值为________（答：）；（2）已知，则______，若为第二象限角，则________．（答：；）
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
如（1）下列各式中，值为的是 A、 　B、　C、　　D、　（答：C）；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的　A、充要条件　　B、充分不必要条件　　　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知，那么的值为____（答：）；（4）的值是______（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等），如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；（3）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）
(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）
(3)公式变形使用（．如（1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：）；(2)设中，，，则此三角形是____三角形（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)．如(1)若，化简为_____（答：）；（2）函数
的单调递增区间为___________（答：）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)．如（1）
（答：）；（2）求证：；（3）化简：（答：）
(6)常值变换主要指“1”的变换（
等），如已知，求（答：）.
(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”，如（1）若 ，则 __（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值．（答：）；（3）已知，试用表示的值（答：）．
13、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用．如（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数取得最大值时，的值是______(答：)；（3）如果是奇函数，则= (答：－2)；（4）求值：________(答：32)
14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．
15、正弦函数、余弦函数的性质：
（1）定义域：都是R．
（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1．如（1）若函数的最大值为，最小值为，则__，＿（答：或）；（2）函数（）的值域是____（答：[－1, 2]）；（3）若，则的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）；（4）函数的最小值是_____，此时＝__________（答：2；）；（5）己知，求的变化范围（答：）；（6）若，求的最大、最小值（答：，）．特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：①、的最小正周期都是2；②和的最小正周期都是．如(1)若，则＝___（答：0）；(2) 函数
的最小正周期为____（答：）；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）．如（1）函数的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则______（答：－5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值．（答：）
（5）单调性：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增．特别提醒，别忘了！
16、形如的函数：
（1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；
（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）；
（3）函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法．
（4）函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象．要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）；（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是 （答：）
（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正．如（1）函数的递减区间是______（答：）；（2）的递减区间是_______（答：）；（3）设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则A、　B、在区间上是减函数　　C、　　D、的最大值是A（答：C）；（4）对于函数给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线成轴对称；③图象可由函数的图像向左平移个单位得到；④图像向左平移个单位，即得到函数的图像．其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_______（答：）
17、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：．遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期．绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定． 如的周期都是, 但
的周期为，而，的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处．
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数．但要注意在整个定义域上不具有单调性．如下图：
18. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；
；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）．
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在中，A＞B是成立的_____条件（答：充要）；（3）在中， ，则＝_____（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____（答：）；（5）在中，若其面积，则=____（答：）；（6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 （答：）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）．
19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：表示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在内．(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？，， ．
20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）．如（1）若，且、是方程的两根，则求的值______（答：）；（2）中，，则＝_______（答：）；（3）若且，，求的值（答：）.
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六、不等式
1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则．如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，则．其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）
2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝）
3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；
4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）．如如果正数、满足，则的取值范围是 _________（答：）
5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论．).
常用的放缩技巧有：
　　　　　　　　　　
如（1）已知，求证： ；(2) 已知，求证：；（3）已知，且，求证：；(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：；（5）已知，求证：
；(6)若，求证：；(7)已知，求证：；（8）求证：．
6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集．如（1）解不等式．（答：或）；（2）不等式的解集是____（答：或）；（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：）；（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是______.（答：）
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．如（1）解不等式（答：）；（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________（答：）.
8.绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式（答：）（4）两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______．（答：）
9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若，则的取值范围是__________（答：或）；（2）解不等式（答：时，；时，或；时，或）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为__________（答：（－1,2））
11.含绝对值不等式的性质：
同号或有；
异号或有.
如设，实数满足，求证：
12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
如（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____（答：（,））；（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（答：）；（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）
2). 能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______（答：）
3). 恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
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七、直线和圆
1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角．当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围．如（1）直线的倾斜角的范围是____（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：）
2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： ．如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______（答：）
3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线．（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线．（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线．（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式．如（1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1,)的直线的点斜式方程是___________（答：）；（2）直线，不管怎样变化恒过点______（答：）；（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______（答：）
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点．如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解．
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线间的距离为．
6、直线与直线的位置关系：
（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（2）相交；
（3）重合且．
提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直．如（1）设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合（答：－1；；；3）；（2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：）；（3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____（答：）；（4）设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程＝0所表示的直线与的关系是____（答：平行）；（6）直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是________（答：）
7、到角和夹角公式：（1）到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，且tan=()；（2）与的夹角是指不大于直角的角且tan=︱︱()．提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解．如已知点M是直线与轴的交点，把直线绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：）
8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_______（答：）；（2）已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是___________（答：）；（3）点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________（答：）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射．如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：）；（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知轴，，C（2，1），周长的最小值为______（答：）．提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解．
9、简单的线性规划：
（1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；③设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧．如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________（答：）
（2）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件．
②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；
④满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．如（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））；（2）点（－２，）在直线2x－3y+6=0的上方，则的取值范围是_________（答：）；（3）不等式表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数满足，则的最大值_________（答：21）
（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．
10、圆的方程：
⑴圆的标准方程：．
⑵圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且））；
⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为．圆的参数方程的主要应用是三角换元：；
．
⑷为直径端点的圆方程
如（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）；（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：或）；（3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：；；）；（4）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）；（6）若（为参数，，，若，则b的取值范围是_________（答：）
11、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内
；（3）点M在圆C上
．如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：）
12、直线与圆的位置关系：直线和圆
有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切．提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷．如（1）圆与直线，的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线与圆切于点，则的值____（答：2）；（3）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则A．，且与圆相交 　 B．，且与圆相交　　C．，且与圆相离 D．，且与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：，直线L：．①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②或　　③最长：，最短：）
13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含．如双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）
14、圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）；如设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：）；
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.．
15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
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高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧．本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩．
一、集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个．（答：8）（2）设，，，那么点的充要条件是________（答：）；（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_____个（答：7）
2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．如集合，，且，则实数＝______.（答：）
3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有______个．　（答：7）
4.集合的运算性质：　⑴；　⑵；⑶
； ⑷； ⑸； ⑹
；⑺.如设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.（答：，）
5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素．如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N＝，则___（答：）；（2）设集合，，
，则_____（答：）　
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．如已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围．　（答：）
7.复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．如在下列说法中：⑴“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；⑵“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；⑶“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；⑷“非”为真是“且”为假的必要不充分条件．其中正确的是__________（答：⑴⑶）
8.四种命题及其相互关系．若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”．提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假．但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据．（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根．
9.充要条件．关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件．如（1）给出下列命题：①实数是直线与平行的充要条件；②若是成立的充要条件；③已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 ．其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p：；命题q:．若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：）
10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，．如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______（答：）
11. 一元二次不等式的解集（联系图象）．尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
或 或
R
R R
如解关于的不等式：．（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）
12. 对于方程有实数解的问题．首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有．对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_______（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_______.（答：）
13.一元二次方程根的分布理论．方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？
（、、）．根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_________（答：（，1））
14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标．如（1）不等式的解集是，则=__________（答：）；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为________（答：）；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______（答：）．
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