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2024年湖北省中考数学模拟练习试卷（解析卷）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2024的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的相反数是
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
3．小明过马路时，恰好是红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的时间）即可.
【详解】解：小明过马路时，恰好是红灯,这个事件是随机事件.
故答案选：B.
【点睛】本题主要考查的是必然事件、随机事件、不可能事件的概念.解题的关键在于是否能熟练掌握随机事件的定义.
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则计算即可
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题主要考查从不同方向观察物体，培养学生的空间想象能力．
6．已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于原点对称
D．在每一个象限内，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：对于反比例函数 ，
当时，，因此图象必经过点，故A选项结论正确，不合题意；
，因此图象位于第二、四象限，故B选项结论正确，不合题意；
反比例函数的图象关于原点对称，故C选项结论正确，不合题意；
在每一个象限内，y随x的增大而增大，故D选项结论不正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、所在象限、对称性、增减性等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
某校九年级一班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签的方式决定出场顺序，
则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
用树状图即可解决．
【详解】
树状图如下：
由图知，总的结果数是6，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的结果数为1，
故出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为．
故选：A
【点睛】
本题考查了用树状图或列表法求事件的概率，关键是根据树状图得到总的结果数及某事件发生时的结果数．
8．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：由可得
=
=
=
=
=
=-2
故答案为A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键．
9．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】连接，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到，再根据切线的性质得到，则，接着在中利用正弦的定义求出，然后在中利用正弦定义可求出的长．
【详解】解：连接，如图，
∵，
，
，
，
，
，
∵为切线，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【详解】试题分析：根据格点的定义可知：到坐标原点O的距离为10的格点在以点O为圆心，半径是10的圆上，所以此圆与坐标轴的4个交点符合题意，又，所以在第一象限内有点（6，8）和（8，6）两个，根据对称轴可知：其它三个象限内也各有2个点，所以到坐标原点O的距离为10的格点共有12个，故选D．
考点：1．勾股数2．点的坐标．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，且n是正整数、则 ．
【答案】3
【分析】估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
党的二十大报告提到，新时代十年来来我国人均国内生产总值大幅度增长，
从39 800元增加到81 000元，81 000用科学记数法表示是 ．
【答案】
【分析】根据科学记数法的表示方法进行解答即可。
【详解】根据科学记数法的表示形式，，可确定，n值等于原数的整数位数减1，可确定，故81 000用科学记数法表示为：．
故答案为：
【点睛】本题考查科学记数法，正确理解科学记数法的表示形式是解题的关键．
13．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，边与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为米，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m．
【答案】
【分析】在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
在中，
，且 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查利用三角函数解实际问题，解题的关键是选择合适的三角函数并且掌握其求法．
14．已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 ．
【答案】 ，，
【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为千米/小时, 根据题意建立分式方程解方程即可求解；
（2）分析题意，结合函数图象可知，从时，两人的距离S随t的增大而增大，当第一次相遇到小聪停下，S随t的增大而增大，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大．
【详解】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为千米/小时, 根据题意得，
解得，经检验，是原方程的解，
故答案为：24
第一段路程的速度为千米/小时
（2）结合函数图象可知，从时，两人的距离S随t的增大而增大，
小明的速度为千米/小时
当第一次相遇时，
解得
当第一次相遇到小聪停下，此时，
当第二次相遇时，
解得
小聪开始骑行第二段路程时的时间为，
当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大，此时．
当时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随t的增大而减小，
综上所述，，，时，S随t的增大而增大，
故答案为：，，
【点睛】本题考查了分式方程的应用，函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
15．抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧，
∵中，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即，
把代入得，
即，
∵，，
∴，故①错误；
②∵，，，
∴，
∴方程的两个根的积大于0，即，
∵，
∴，
∴，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
∴抛物线的顶点在点的右侧，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴当时，，
∴抛物线对称轴在直线的右侧，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∵，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴，故③正确；
④方程可变为，
∵方程有两个相等的实数解，
∴，
∵把代入得，即，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∵在抛物线上，
∴，n为方程的两个根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下．
16．如图，矩形中， ，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ．

【答案】
【分析】连接，构造相似三角形，推出，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，

四边形为矩形，
，，，
为中点，
由翻折知，，
，，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质应用，相似三角形的判定和性质应用，解题的关键是作出适当的辅助线，构造相似三角形解答．
三、解答题（共8小题，共72分，写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．）
17．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答：
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______．
【答案】(1)x≥﹣2
(2)x＜3
(3)见解析
(4)﹣2≤x＜3
【详解】（1）解：解不等式①得x≥﹣2
故答案为：x≥﹣2；
（2）解：解不等式②得x＜3，
故答案为：x<3；
（3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示为：
（4）解：根据数轴，不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
故答案为：﹣2≤x＜3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，利用数形结合，根据数轴表示的不等式解集，确定求不等式组的解集是解答此题的关键．
18．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到；
（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
19．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
读书量 1本 2本 3本 4本 5本
人数 10人 25人 30人 15人
(1)本次调查共抽取学生多少人？
(2)表中的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角的度数为 ；
(3)求该样本中平均每人的读书量；
(4)已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
【答案】(1)100人
(2)20，
(3)本
(4)1950人
【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角的度数；
（3）根据求平均数的公式求解即可；
（4）总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：由统计表和扇形统计图可得，读2本的有25人，占总人数的，
∴抽样调查的学生总数为（人），
本次调查共抽取学生100人．
（2）解：由（1）得：本次调查共抽取学生100人，
∴（人），
；
（3）解：（本）
该样本中平均每人的读书量为本．
（4）解：（名），
估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950名．
【点睛】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90 ，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．
21．如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：的度数为_________．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可；
（2）根据题目叙述画出图形即可；
（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得．
【详解】（1）在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图；
（2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示：
（3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，
再根据对称的性质可得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形．
22．为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面的墙体A处．另一端固定在对面墙体上距离地面的B处，现建立平面直角坐标系（如图所示）．已知大棚上某处离地面的高度y（单位：m）与其离墙体的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：，两墙体之间的距离．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地面的高度；
(3)为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为的支撑立柱（立柱位于墙体和墙体之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于，直接写出立柱长度t的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】，
（1）首先根据题意得到，，然后代入求解即可；
（2）将抛物线解析式转化成顶点式求解即可；
（3）将和代入函数表达式求解即可．
【详解】（1）由题意可得，，，
将，代入得，
解得
∴；
（2）∵
∴顶点坐标为
∵，图象开口向下，
∴函数有最大值
∴设备安装位置距离地面的高度为；
（3）∵立柱距离两边墙体的水平距离不少于，
∴当时，
当时，
∵
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
23．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，
试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，
如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．
【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证∽即可得；
（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由得，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)PA+PC的长为
(3)存在，点Q的坐标为或，理由见解析
【分析】（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解；
（2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解；
（3）先求出抛物线的对称轴，可得点，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．
（2）解：如图，连接PA、PB、PC，
∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PC+PB．
∵两点之间线段最短，
∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝．
∴PA+PC的最小值＝．
（3）解：存在，理由：
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
∴点，
∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．
∴OM=ON=1，OB=OC=3，
∴，
∴∠CBM=∠MNO，
当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意，
∴点Q在点N上方，
设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1，
∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似，
∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，
当时，，如图（2），
∴，
∴，解得：，
∴点；
当时，，如图（3），
∴，
∴，解得：，
∴点，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
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2024年湖北省中考数学模拟练习试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2024的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3．小明过马路时，恰好是红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．不确定事件
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6．已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于原点对称 D．在每一个象限内，y随x的增大而减小
某校九年级一班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签的方式决定出场顺序，
则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，
交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（ ）
A． B．5 C． D．
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，
则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，且n是正整数、则 ．
党的二十大报告提到，新时代十年来来我国人均国内生产总值大幅度增长，
从39 800元增加到81 000元，81 000用科学记数法表示是 ．
如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边 保持水平，边与点B在同一直线上，
已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为米，
他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m．
已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，
小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，
然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．
小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 ．
15．抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 （填写序号）．
如图，矩形中， ，，为中点，为上一点，
将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ．

三、解答题（共8小题，共72分，写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．）
17．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答：
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______．
18．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

(1)求证：；
(2)若平分，直接写出的形状．
19．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，
让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，
学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，
并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，
绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
读书量 1本 2本 3本 4本 5本
人数 10人 25人 30人 15人

(1)本次调查共抽取学生多少人？
(2)表中的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角的度数为 ；
(3)求该样本中平均每人的读书量；
(4)已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
21．如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接；
(2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：的度数为_________．
为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．
大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面的墙体A处．
另一端固定在对面墙体上距离地面的B处，现建立平面直角坐标系（如图所示）．
已知大棚上某处离地面的高度y（单位：m）与其离墙体的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：，两墙体之间的距离．
求y关于x的函数关系式；
(2) 现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地面的高度；
(3) 为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为的支撑立柱（立柱位于墙体和墙体之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于，直接写出立柱长度t的范围．
23．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，
试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，
如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．
如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？
若存在；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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