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2024中考数学专题复习 反比例函数
例题
【题型一】反比例函数概念及其解析式
【例1.1】（2023 云南）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【例1.2】（2022 陕西）将函数yx的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y的图象交于点A（n，3），则k的值为 　 　．
【例1.3】（2023 怀化）如图，反比例函数y（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
【题型二】反比例函数的图像与性质
【例2.1】（2023 武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
【例2.2】（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2.3】（2023 天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
【例2.4】（2023 湖北）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2.5】（2022 成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　．
【例2.6】（2023 泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【题型三】反比例函数k的几何意义
【例3.1】（2023 长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝　 ．
【例3.2】（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．

【例3.3】（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且ADAB，反比例函数y（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3.4】（2022 日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【例3.5】（2023 广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【题型四】反比例函数与方程、不等式的关系
【例4.1】（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【例4.2】（2023 常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
【题型五】反比例函数的实际问题
【例5.1】（2023 大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．0
【例5.2】（2023 扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 　 　m3．
【例5.3】（2023 南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为 　 　N．
【题型六】反比例函数的几何综合
【例6.1】（2023 徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 　 　．
【例6.2】（2023 无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y（x＜0），y（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 　 　．
【例6.3】（2022 济宁）如图，A是双曲线y（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　 　．
【例6.4】（2023 黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【例6.5】（2023 杭州）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【例6.6】（2023 乐山）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【例6.7】（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【例6.8】（2023 泸州）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
(1)求，的值；
(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
针对性练习
1．（2023 镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y的图象上，则y1　 　y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．
2．（2023 湖南）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．
3．（2023 山西）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022 济南）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y（x＞0）的图象交于点P（2，t），过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，下列结论错误的是（　　）
A．t＝3
B．k＝1
C．△OAP 的面积是3
D．点B（m，n）在y（x＞0）上，当m＞2时，n＞t
5．（2023 内蒙古）如图在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．（2022 山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为　 　Pa．
7．（2023 连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC，则k＝　 　．
8．（2023 黄冈）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
9．（2023 广安）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
10．（2023 南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
课后作业
1．（2023 永州）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022 宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（　　）
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b
3．（2023 嘉兴）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 广东）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______．
5．（2022 无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
6．（2023 齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．

7．（2023 深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB，反比例函数y（k≠0）恰好经过点C，则k＝　 ．
8．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　 　．
9．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 　 　．
10．（2023 遂宁）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
11．（2023 眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2023 枣庄）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
解析版
例题
【题型一】反比例函数概念及其解析式
【例1.1】（2023 云南）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
故选：A．
【例1.2】（2022 陕西）将函数yx的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y的图象交于点A（n，3），则k的值为 　18　．
解：将函数yx的图象沿y轴向上平移6个单位后，得到的图象函数解析式为yx+6，
把A（n，3）代入yx+6得：3n+6，
解得n＝6，
∴A（6，3），
把A（6，3）代入y得：
3，
解得k＝18，
答案：18．
【例1.3】（2023 怀化）如图，反比例函数y（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
解：把点A（1，3）代入y（k＞0）得，3，
∴k＝3，
∴反比例函数为y，
设直线AB为y＝ax+b，
代入点D（﹣1，0），A（1，3）得，
解得，
∴直线AB为yx，
解，得或，
∴B（﹣2，），
∵S△ABC＝9，
∴S△ACD+S△BCD，
∴CD＝4，
∴点C的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
答案：D．
【题型二】反比例函数的图像与性质
【例2.1】（2023 武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；
反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数图象经过点（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D选项错误，
答案：C．
【例2.2】（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
答案：C．
【例2.3】（2023 天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
解：将A（x1，﹣2）代入，得：，即：x1＝1，
将B（x2，1）代入，得：，即：x2＝﹣2，
将C（x3，2）代入，得：，即：x3＝﹣1，
∴x2＜x3＜x1．
答案：D．
【例2.4】（2023 湖北）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴
解得：，
故选：C．
【例2.5】（2022 成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜2　．
解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
答案：k＜2．
【例2.6】（2023 泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
答案：D．
【题型三】反比例函数k的几何意义
【例3.1】（2023 长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝　　．
解：△AOB的面积为，
所以k．
答案：．
【例3.2】（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．

解：∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴
∴，
∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【例3.3】（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且ADAB，反比例函数y（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（，），
∵点D在AB上，且 ADAB，
∴D（，b），
∴BDa，
∴S△BDMBD ha×（b）ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDMabkab＝3，
∴ab＝16，
∴kab＝4，
答案：C．
【例3.4】（2022 日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCNk1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
答案：B．
【例3.5】（2023 广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：设A（m，），
在y中，令y得x，令x＝m得y，
∴B（，），D（m，），
∴C（，），
∴S2＝S4＝1，S3，
∵，
∴11，
解得k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，符合题意，
答案：C．
【题型四】反比例函数与方程、不等式的关系
【例4.1】（2023 宁波）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
答案：B．
【例4.2】（2023 常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
解：（1）将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【题型五】反比例函数的实际问题
【例5.1】（2023 大连）某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝5时，I＝8，则当R＝10时，I的值是（　　）
A．4 B．5 C．10 D．0
解：由题意知，I，
∴U＝IR＝5×8＝40（V），
∴当R＝10时，I4（A），
答案：A．
【例5.2】（2023 扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 　0.6　m3．
解：设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P．
∵当V＝3m3时，p＝8000Pa，
∴k＝Vp＝3×80000＝24000，
∴p，
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴p≤40000时，气球不爆炸，
∴40000，
解得：V≥0.6，
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．
答案：0.6．
【例5.3】（2023 南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为 　2500　N．
解：设功率为P，由题可知P＝FV，即v，将F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，即反比例函数为：v．当v＝30m/s时，F2500N．
答案：2500．
【题型六】反比例函数的几何综合
【例6.1】（2023 徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 　4　．
解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k＝2×2＝4，
答案：4．
【例6.2】（2023 无锡）已知曲线 C1、C2 分别是函数y（x＜0），y（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 　6　．
解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，
∴S△OA′Dk，S△OB′E|﹣2|＝1，
∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，
∴OB＝3，OA＝3，
由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝3，
∴，
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，
∴△A′OD∽△OB′E，
∴3，即，
∴k＝6．
答案：6．
【例6.3】（2022 济宁）如图，A是双曲线y（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　4　．
解：∵点C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵点B在双曲线y（x＞0）上，BD⊥y轴，
∴S△OBD4，
∴S△ABD＝4，
答案：4．
【例6.4】（2023 黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．

【例6.5】（2023 杭州）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
解：（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，

由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【例6.6】（2023 乐山）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．

，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【例6.7】（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【例6.8】（2023 泸州）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
(1)求，的值；
(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
（1）解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
针对性练习
1．（2023 镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y的图象上，则y1　＞　y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．
解：反比例函数y中，k＝5＞0，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y1＞y2，
答案：＞．
2．（2023 湖南）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．
解：轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
3．（2023 山西）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A． B． C． D．
解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
4．（2022 济南）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y（x＞0）的图象交于点P（2，t），过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，下列结论错误的是（　　）
A．t＝3
B．k＝1
C．△OAP 的面积是3
D．点B（m，n）在y（x＞0）上，当m＞2时，n＞t
解：∵反比例函数y（x＞0）的图象交于点P（2，t），
∴t＝3，故A正确，不符合题意；
∴P（2，3），
把（2，3）代入y＝kx+1得：
2k+1＝3，
解得k＝1，故B正确，不符合题意；
∵PA⊥x轴，y，
∴△OAP 的面积是3，故C正确，不符合题意；
当x＞0时，y中，y随x的增大而减小，
∴m＞2时，n＜3，故D错误，符合题意，
答案：D．
5．（2023 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
解：如图所示，过点B作轴，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，B，O三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将其代入得：，
故选：A．
6．（2022 山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 　400　Pa．
解：设p，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p400（Pa），
答案：400．
7．（2023 连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC，则k＝　　．
解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cos∠OAC，
∴，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴，
∴，
∴S△OEA，
∵S△OEA|k|，k＜0，
∴k．
答案：．
8．（2023 黄冈）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
9．（2023 广安）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
10．（2023 南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
经检验，是方程的解，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
课后作业
1．（2023 永州）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
2．（2022 宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（　　）
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b
解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴40a＝80b，
∴a＝2b，
∴a＞b，
答案：A．
3．（2023 嘉兴）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
4．（2023 广东）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______．
解：∵，
∴
故答案为：4．
5．（2022 无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B． C． D．
解：∵点A（，﹣2m）在反比例函数y上，
∴﹣2m，
解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（，﹣4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB542×11，
答案：D．
6．（2023 齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．

解：如图：

∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，解得：．
故答案为：．
7．（2023 深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB，反比例函数y（k≠0）恰好经过点C，则k＝　4　．
解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB，
∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中，即，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中，即，CE＝2，
，即，
∴OE＝2，
∴点C（2，2），
∴k＝22＝4．
答案：4．
8．（2023 衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 　24　．
解：设OA＝4a，
∵AO＝2AB，
∴AB＝2a，
∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），
由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，
∵Q为BE中点，
∴BQ＝12AB＝a，
∴Q（6a，a），
∵Q在反比例函数y＝kx（k＞0）上，
∴k＝6a×a＝6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C（6a，6a），
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，
∴P点横坐标为：x＝，
∴P（，4a），
∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，
∴四边形OMNH是矩形，
∴NH＝，MH＝a，
∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，
则k＝24，
故答案为：24．
9．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 　6　．
解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，
设点B（m，n），k＝mn，
则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，
则，即，
即AD＝3m，
则k＝mn＝3m yA，则yAn，
则点A（3m，n），则点D（0，n），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：yxn，
则点E（m，0）；
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y（x﹣m）+n，
则点C（0，），则CD＝n，
∵△BCE的面积＝S△CDB+S△CDECD （xB﹣xE）n×（mm）＝4.5，
则mn＝6＝k，
答案：6．
10．（2023 遂宁）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
（3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．

如图，过作轴于点，过作轴于点，设，

由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
11．（2023 眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．

12．（2023 枣庄）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
当点在轴负半轴上时：

，
∴
解得：或（不合题意，舍去）；
∴．
综上：或．

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