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2009年高考数学能力备考之选择题解题策略
云南省文山州砚山一中（663100）马兴奎
一、考情分析
在整个高考数学试卷中，选择题约占总分的至，所以，选择题的答题成功与否，对整个数学成绩有着举足轻重的地位，数学选择题通常是由一个题干和四个可供选择的选项组成,要求解答者从中选出一个符合题目要求的选项,即通常说的“四选一”的选择题。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查学生灵活应用基础知识解决数学问题的能力，既考查基础又考查能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。能够准确地,迅速地解答选择题是思维结构优化的体现,从思维的角度来看,解选择题是逻辑思维与直觉思维的结合,精算能力与估算能力的结合,信息提取能力与信息处理能力的结合,数的精确与形的直观的结合,因此,研究选择题的解题策略,加强选择题的求解训练是很有必要的. 解一道选择题有一个思维选择和解法选择的问题,要正确,迅速地解选择题,就必须有效、合理的运用、合情的推理、简缩的思维、合理的策略和正确的算理进行求解.
二、考查功能
由于作为试题的选择题比较短小,可容纳较多的题量,试题的思辨性强及评分准确等特点,所以,选择试题具有较多的考查功能。
1.能在较大的知识范围内,考查基础知识,基本技能和基本思想方法;
2.能比较确切地测试考生对数学概念,性质,定理,法则和公式的理解,掌握和熟练的程度;
3.能有效地考查考生演绎证明,计算求解,直觉猜想等理性思维能力以及综合运用数学知识解决问题的能力;
4.通过对选择题的开放性,探究性和创造性设计,有利于考查考生的学习潜能和后继学习能力;
5.能比较容易地考查考生的思维速度,解题速度和思维水平的差异.
三、解答策略
选择题是属于“小灵通”题，其解题“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是“不择手段”、“小题不能大做”，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做，解答大部分选择题的基本策略是“直接求解策略”，直接求解策略是由题干给出的条件出发,进行演绎推理,直接得出结论,再将该结论与四个选项做比较,从而决定出应该选择的符合题目要求的选项的求解策略.这种策略多数用于一些定量性的问题,是解选择题最常用的策略。其次，部分选择题还可用“间接求解策略”，间接求解策略是充分利用选择题给出的全部信息:包括题干给出的信息,四个选项提供的信息以及四个选项中只有一个是符合题目要求的信息,不进行或少进行直接运算,而进行选择的策略。 间接求解策略包括逆向化策略,特殊化策略,图形化策略,极限化策略，整体化策略及其他策略，在解选择题时要根据题干和选择支两个方面的特点灵活运用上述一种或几种策略“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接求解策略。另外，由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会掉下“陷阱”，应该从正反两个方面肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃。作为平时训练，解完一道题后，还要引导学生考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力。
1．直接求解策略
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择。这种方法称之为直接求解策略。
【例1】（2008年，四川卷）设定义在上的函数满足，若
，则
（A）13 （B）2 （C） （D）
【分析及解】∵，∴
∴函数为周期函数，且，∴
故选（C）
评述：直接求解策略是解选择题的最基本方法，运用直接求解策略时，要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，加快得到所需结论，如本题通过分析条件得到是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键。一般说来，当选择支提供的信息对正确选择无多大帮助时，可考虑运用直接求解策略。
2．逆向化策略
在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。逆向化策略与直接求解策略的解题方向相反，是充分利用题目中的选项信息进行解题的一种策略，但是在解题时，逆向化策略常常与其他解题策略结合起来使用。
【例2】（2008年，江西卷）已知函数，若对于任一实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A．（0，2） B．（0，8）
C．（2，8） D．（，0）
【分析及解】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取代入验证是否符合题意即可，取，则有 ，这个二次函数的函数值 对且恒成立，现只需考虑当时函数值是否为正数即可。这显然为正数。故符合题意，排除不含的选项A、C、D。所以选B
评析：本题虽然是考生比较熟悉的一次函数和二次函数问题，主要考查函数、方程、不等式等知识解决问题的能力，运用直接求解策略解答难度较大，但运用逆向化策略则显得简洁明快。
3．特殊化策略
在求解数学问题时，如果要证明一个问题是正确的，就要证明该问题在所有可能的情况下都正确，但是要否定一个问题，则只要举出一个反例就够了，基于这一原理，在解选择题时，可以通过取一些特殊数值，特殊点，特殊函数，特殊数列，特殊图形，特殊位置，特殊向量等对选项进行验证，从而可以否定和排除不符合题目要求的选项，再根据4个选项中只有一个选项符合题目要求这一信息，就可以间接地得到符合题目要求的选项，这是一种解选择题的特殊化策略.
【例3】（2008年，江西卷）若，且，则下列代数式中值最大的是
A． B． C． D．
【分析及解】取，，，，则，
，，∵，排除、、，
故选A
评析：本题运用直接求解策略解答难度较大，费时且易出错，运用特殊化策略则能达到准确、迅速解题的目的。
【例4】（2008年，北京卷）已知数列{an}对任意的满足，且,那么a10等于
（A） （B） （C） （D）
【分析及解】.取，容易计算满足题设，又，∴，即，∴，故选（C），
评述：本题的直接求解策略是比较难于下笔的,选取一个符合题目要求的特殊数列可以把抽象问题具体化。从而迅速破解。
运用特殊化策略是解高考数学选择题的最佳策略，解题时，要注意：①所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；②特殊只能否定一般，不能肯定一般；③当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这是要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到排除所有的错误选项达到正确选择为止。
4．图形化策略
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略。
【例5】(2007年，天津卷)
设均为正数,且则
(A) (B) (C) (D)
【分析及解】由题意画出函数
的图象，从图象可得,故选(A).
评析：图形化策略是依靠图形的直观进行选择的,用这种策略解题比直接计算求解,更能抓住问题的实质,简捷迅速地得到结果.
5．极限化策略
有一些选择题中,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的策略是一种极限化策略.
【例6】正三棱锥中，在棱上，在棱上，使，
设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值是
A． B． C． D．
【分析及解】当时，，且，从而。因为，排除选择支故选D（或时的情况，同样可排除）
评析： 用极限法是解选择题的一种有效方法，也是在选择题中避免“小题大做”的有效途径。它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，计算简便，迅速找到答案。
6．整体化策略
在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的策略.
【例7】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为
（A）115000亿元 (B)120000亿元
(C) 127000亿元 (D)135000亿元
【分析及解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.
把亿元近似地视为亿元,又把近似地视为,这样一来,就有

四、教学建议
1．抓住学生的盲点，重视审题训练和细节训练
在高考中往往是审题决定成败，细节决定成败，审题和细节往往也是学生在复习中重视不够的地方。在高考这样十分紧张的考试中,对于平时已经进行了认真复习的同学来说, 审题决定成败,或者说,成也审题, 败也审题,注意审题是在高考中取得选择题高分成绩的关键。让学生明确目的，关键在于审题与细节，正确审题，注意陷阱；深入审题，注意隐蔽条件；全面审题，注意特殊情况，提高解题的正确率。
2．高考数学中教师要明确学生解答选择题的错误类型
从目前学生解答选择题的情况看，主要有以下一些错误类型出现，教师在进行这一专题的教学时，应注意结合实例分析产生下列错误的原因，使学生明其理，知其因，防患于末然，尽量不出错，得高分。
（1）由于紧张，速度过快而导致基础知识应用有误，公式定理记不清。
（2）审题匆忙，计算不仔细。
（3）对能力和思想方法要求较高的问题，不能耐心分析、探究、转化而直接乱猜一个答案。
（4）不善于把得到的结果进行有效检验或比较而丢分。
3．使学生熟练掌握最常规的解题策略
解选择题的最常规解题策略是直接求解策略，实践证明，大部分选择题都是用此策略解答，但教学中，教师应强化逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、极限化策略、整体化策略及其它策略的应用和训练，从而有效地提高学生解答选择题的能力。
4．帮助学生形成解题的策略意识
求解选择题从大处着想，从小处入手，力争小题不丢分，认真对待，在保证正确的基础上再求速度，注重运算过程，在草稿纸上留下较规范的书写痕迹或关键步骤，力争一次解决，感觉有问题则回头检验。
5．强化基础知识和基本技能的训练，抓好基础，整理错误，关注细节
在高考复习中，基础知识和基本技能的复习是最关键的，这是因为在解题中遇到的障碍，出现的错误，在大多数情况下都与基础知识理解和掌握得是否扎实有关，所以，不论是第一轮，第二轮还是冲刺阶段，都要随时检查自己对基础知识理解和掌握的情况。在细节上容易出现的问题是多方面的。①审题方面的细节.②基础知识方面的细节. ③运算方面的细节。忽略了细节，可能会造成错选，应引起注意。在细节上出现的问题会因人而异,因此,要根据自己的具体情况加以分析和解决,把自己曾经做过的题进行整理,特别是把曾经出现的错误进行分析,找出原因,争取在高考中不再犯同样的错误,关注细节,重视细节,通过细节的不失误使答题获得成功。在复习的最后阶段，要特别注意把自己曾经做过的题目再整理一下，重点是出现错误的地方，要分析和反思出现错误的原因，有针对性地进行再纠正，对一些在细节上出现的问题尤其要关注。
五、习题精选
1．（2007年，陕西卷）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14, 则S4n等于
（A）80 （B）30 （C）26 （D）16
2．（2007年安徽）若对任意x∈R,不等式恒成立，则实数的取值范围是
（A）<－1 （B）||≤1 （C）||<1 （D）≥1
3．（2002年，高考卷）一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3 （B）4 （C）3 （D）6
4．（2007年，安徽卷）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为
（A）0 （B）1 （C）3 （D）5
5．（2004年，湖北卷）已知的解析式可取为
A． B． C． D．
6．（2007年，江西卷）设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5
7．（2007年，天津卷）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．(1996年,全国卷)等差数列{}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
参考答案及提示
1．取 则 又 即
∴ 即 ∴
解之得：（舍去）， 故所求为故选B
2． 化为，显然恒成立，由此排除答案A、D
化为，也显然恒成立， 故排除C，所以选B；
3．如图所示，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中
心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，
从而外接球半径R＝.故S球＝3.
所以选（A）
4．设满足条件的函数为： 则 而从在上可能有5个根。故选D
5．在所给解析式中取，则有，对同一法则来说。用特殊值进行排除，A中，B中，C中，D中，只有C满足。故选C
6．可令，，∴，故选（B）
7．由于结果与公差无关,可设.
于是,即,解得或（舍去）故选(B).
8．取m＝1，依题意＝30，＋＝100，则＝70，又{}是等差数列，∴＝110，故所求为S3＝210，选（C）.

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