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几 何 体 中 的 轨 迹 问 题
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在近两年的高考试题及各地的模拟试题中,偶见在空间图形中设置动点的轨迹问题,给人亮丽新鲜之感,其中以判断动点的轨迹形状居多,求解这类问题的办法就是化空间为平面的思想,充分地利用几何定义及关系式解决问题.
1．在正方体中,P是侧面一动点,若P到直线BC与直线 的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线.
2．在正四棱柱中,E,F,G,H分别为棱的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件 ,时,就有
3．如图:所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直,且,AB=4,BC=8,AB=6,,则点P在平面内的轨迹是
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
4．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD
的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与组
成的图形可能是
5．已知正四棱锥S-ABCD中,各边长均为2,P是平面SBD内一点,若满足,则点P的轨迹类型是
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6．P为四面体S-ABC的侧面SBC内一点,若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是侧面SBC内的
A. 线段或圆的一部分 B. 椭圆或双曲线的一部分
C. 双曲线或抛物线的一部分 D. 抛物线或椭圆的一部分
7．已知点P是棱长为的正八面体的一个对角面上的一个动点,若P到不在该对角面上
的一个顶点的距离是它到该对角面上的某个顶点的距离的倍,则动点P的轨迹是
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
8．正方体的棱长为1,在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线,这条曲线的长度是
A. B. C. D.
9．若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点,P到平面SAB,平面SBC,平面SCA的距离依次成等差数列,则点P的轨迹是
A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段
10．若A.B为平面内的两个定点,点,动点C(异于A.B)在平面内,且,则动点C在平面内的轨迹是
11．已知直平行六面体的各条棱长都为3,,长为2的线段MN的一个端点M在上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为
12．如图所示.点A是的二面角的半平面内一定点,A到直线的距离为3,过A作于B,O在BA的延长线上,内一点P到平面的距离等于P到点A的距离,试建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程.
二．如图：在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.
（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；
（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？
（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V1，二面角G－DE－C的大小为，二面角G－CE－D的大小为，求的值.
（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出P的轨迹,证明你的结论.
“立几”中的计数问题求解策略
湖北省浠水县第一中学 陈火焱
在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
直接求解
例1：从平面上取6个点，从平面上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？
解析: 利用三棱锥的形成将问题分成平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有个三棱锥
例2: 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有 A.40 B. 48 C. 56 D. 62种
解析: 满足题设的取法可以分成三类
在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法；
在两个对角面上除点P外任取3点，共有种不同取法；
过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有种不同取法,故共有40+8+8=56种
评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。
结合“立几”概念求解
例3: 空间10个点无三点共线，其中有6个点共面，此外没有任何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱锥？
解析:
结合“立几”图形求解
如果把两条异面直线看作“一对”，那么六棱锥的棱和底面所有的12条直线中，异面直线有
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 B
用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？
分类：以棱柱的底面为棱锥的底面 ;
以棱柱的侧面为棱锥的底面
以棱柱的对角面为棱锥的底面
以图中(梯形)为棱锥的底面
构造几何模型求解
在正方体的8个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？
与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？
（05年湖北）以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为
A. B. C. D. A
在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，在复习备考中，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系。
对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件: ① 与直线a异面;② 与直线a所成的角为定值;③ 与直线a的距离为定值d.那么这样的直线b有
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
2. 如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
3. 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面
A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无穷多个
4. 如图,点分别是四面体的顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组共有 个
5. 在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是
6. 正方体的8个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点组成的二面角为的大小可能值有 个.
1. D 2. B 3. D 4. 33 5. 4或6或7或8 6. 8个

专题 直线与圆锥直线

专题（一） 线性规划 直线与圆
主干知识整合：
本节以直线方程的确定和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系为重点考查内容.新高考还增加了线性规划知识点的考查.2008年几乎每省份都有一道线性规划的客观试题.但作为2009年的高考,除上述仍为热点外,还须重视线性规划在解决生产、生活中应用题中的工具性.
主要考点为：
直线的倾斜角与斜率，直线方程的点斜式和两点式及一般式。两直线平行与垂直的条件。两直线的夹角。点到直线的距离。
简单的线性规划问题。
曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程。圆的参数方程。
经典真题感悟：
1.（全国一10）若直线通过点，则（ D ）
A． B．C． D．
2.（山东卷12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是C
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
3.（湖北卷9）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有C
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
热点考点探究：
考点一：直线的斜率与倾斜角，直线方程的探求
例1.已知点A(1,2x)、B(2,x2-3),试讨论：实数x为何值时，过A、B两点的直线的倾斜角为0°、锐角、钝角？
例2 已知两圆⊙和⊙都经过点A(2,－1),则同时经过点(D1,E1)和点(D2,E2)的直线方程为( )
A. B.
C. D.
考点二：直线与圆的位置关系
例3. 将圆按向量平移后得⊙O,直线与⊙O相交于A、B两点,若⊙O在上存在一点C,使,求直线的方程及对应的点C的坐标.
考点三：线性规划
例4. (1)在平面直角坐标系中,对于点(),满足: ,目标函数,那么满足的解 ()有 ( )
A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 无数个
(2)已知实数系数方程的两个实根分别为,且,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
考点四：求圆的方程
例5.（江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
规律总结
1. 出现含参数的直线或圆的方程为条件时,要从方程形式的代数特征入手,挖掘参数的几何特征,尤其对讨论位置关系问题,把握好参数几何特征,结合几何图形的背景可大大简化计算.
2. 圆的方程呈现多种形式,一般方程、参数方程及标准方程,它们分别显现不同的代数特征和三角特征.我们运用圆方程时,恰当选择,可以方便求方程或讨论圆的性质.
3.线性规划是概念性极强的内容:可行域实质上是约束条件的交集;可行解是可行域内的点的坐标;而最优解是可行域内的极限点,最后还要优中选优(尤其对与线性规划相关的应用问题求解更应注意这一点).
专题能力训练：
选择题：
1、若是直线的倾斜角，则sin(45o-)的值属于 D
A B[-,] C(-1, ) D[-1, ]
2、两条直线ax+y-4=与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是 （ A ）
A -1-1 C a<2 D　a<-1或a>2
3、曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是 C
A、y2=8－4x B、y2=4x－8 C、y2=16－4x D、y2=4x －16
4、是的__C____条件
A、充分不必要条件 B、充要条件
C 必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
5、方程所表示的曲线是 D
A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆
填空题：
6．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是 ．

7．设有一组圆．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
Ｄ．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 BD ．（写出所有真命题的代号）
解答题：
8．设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发，向北直行，先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与相遇.设、两人速度一定，其速度比为，问两人在何处相遇？
9．已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两个圆都外切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点、，求的取值范围.
10．在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定、两点，在轴正半轴上求一点，使取得最大值．
11．如图，已知：射线为，射线为，动点在的内部，于，于，四边形的面积恰为.
当为定值时，动点的纵坐标是横坐
标的函数，求这个函数的解析式；
（2）根据的取值范围，确定的定义域.


专题 （二） 直线与圆锥曲线
主干知识整合：
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
经典真题感悟：
1.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 ．
2.(2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为___________.
热点考点探究：
考点一：直线与曲线交点问题
例1.已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
考点二：圆锥曲线中的最值问题
对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
例2 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。
考点三：弦长问题
涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
例3.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
考点4：圆锥曲线关于直线对称问题
例4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为,
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围.
规律总结
1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线方程与圆锥曲线C的方程联立,消去(也可消去)得一个关于变量的一元方程
①当时,若有,则与C相交;若,则与C相切;若,则与C相离.
②当时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.
2. “设而不求”的方法
若直线与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A()、B(),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.
3. 韦达定理与弦长公式
斜率为的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(),B()则 ,然后再结合韦达定理可求出弦长等.
专题能力训练：
一、选择题
1.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3
C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
3.斜率为2的直线过双曲线的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率的取值范围是 ( D )
A. B. C. D.
4.过点A(4,0)的直线与抛物线交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是 ( C )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C. 直角三角形 D.形状不确定
二、填空题
5.已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.
6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.
7.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.
三、解答题
8.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
9.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.
10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.
11. 已知过双曲线方程
(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)是否存在直线,使为被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

专题（三）圆锥曲线及轨迹问题
主干知识整合：
求曲线轨迹方程的思想方法体现了解析几何最基本也是重要的解题思想方法,因而求曲线轨迹方程成为新高考的热点内容.试题多以解答题形式出现,它是考查我们根据曲线的几何特征熟练地运用解析几何知识将其转化为数量关系,再运用代数(如函数与方程)的知识作答的能力.
经典真题感悟：
1.（08陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
2.（08辽宁卷10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
3.（08湖南卷12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
热点考点探究：
考点一：定义法求轨迹
例1： 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线 y2 = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．
(1)求点F2的轨迹;
(2)是否存在直线y = x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．
点评 这是“定义法”求轨迹的问题．对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的．
考点二：交轨法求轨迹
例2.已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E , F，使得 | PF | + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由．
点评 这是“交轨法”求轨迹的问题．将向量c +λi与i- 2λc分别用坐标表出是解题的关键．回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求．对于①也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试．
考点三：代入法(相关点法)
例3 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,
且,O为坐标原点,动点P满足.
(1)求的值
(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.
考点四：与轨迹有关的综合题
例4 O为坐标原点, 和两点分别在射线 上移动,且,动点P满足,记点P的轨迹为C.
(I)求的值;
(II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?
(III)设点G(－1,0),若直线与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在以G为圆心的圆上,求的取值范围.
规律总结：
1.求曲线轨迹方程是解析几何两大基本问题之一,其实质就是根据已知条件先列出轨迹满足的”几何量关系”,然后通过坐标化转化为动点的坐标满足的方程,然后根据轨迹的”纯粹性”和”完备性”进行”去”和”留”.
2.探求轨迹有两大类型:一种是几何关系已知、轨迹未知,常用求轨迹的方法有直接法、相关点法(又称代入法)和参数法;另一种是曲线的类型(形状)已知,轨迹未知,常采用定义法和特定系数法.
3.如果题设条件是坐标系未确定情形,应根据条件适当选择坐标系,即保持问题一般性,又要使求出轨迹方程简炼,反映曲线的一些本质特征(如对称性等).
专题能力训练：
选择题：
1.(2008年浙江卷)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得三角形ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是 ( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 一条直线
D.两条平行直线
2设,常数,定义运算”*”; ,若,则动点的轨迹是 ( D )
A. 圆 B. 椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
3已知分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,过的平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为 (C )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线
4.（08全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
5.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A
（A） (B)
(C) (D)
填空题：
6.与圆外切,又与轴相切的圆心的轨迹方程为____或.______
7.已知双曲线过A(－2,4)和B(4,4),它的一个焦点为F(1,0),则它的另一个焦点轨迹方程为_________
三．解答题
8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围．
9. 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,且,O为坐标原点,动点P满足.
(1)求的值
(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.
10.已知抛物线的方程为,过点的直线与抛物线相交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线和,记和相交于点M.
(I) 证明:直线和的斜率之积为定值;
(II) 求点M的轨迹方程.
专题 直线与圆锥直线

专题（一） 线性规划 直线与圆
主干知识整合：
本节以直线方程的确定和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系为重点考查内容.新高考还增加了线性规划知识点的考查.2008年几乎每省份都有一道线性规划的客观试题.但作为2009年的高考,除上述仍为热点外,还须重视线性规划在解决生产、生活中应用题中的工具性.
主要考点为：
直线的倾斜角与斜率，直线方程的点斜式和两点式及一般式。两直线平行与垂直的条件。两直线的夹角。点到直线的距离。
简单的线性规划问题。
曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程。圆的参数方程。
经典真题感悟：
1.（全国一10）若直线通过点，则（ D ）
A． B．C． D．
2.（山东卷12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是C
（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
3.（湖北卷9）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有C
A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
热点考点探究：
考点一：直线的斜率与倾斜角，直线方程的探求
例1.已知点A(1,2x)、B(2,x2-3),试讨论：实数x为何值时，过A、B两点的直线的倾斜角为0°、锐角、钝角？
解：过A、B两点的直线的斜率为k==x2-2x-3.
倾斜角为0°时，k=x2-2x-3=0，解得x=3或-1；倾斜角为锐角时，k=x2-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1；倾斜角为钝角时，k=x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3.
综上，x=3或-1时，过A、B两点的直线的倾斜角为0°；x＞3或x＜-1时，过A、B两点的直线的倾斜角为锐角；-1＜x＜3时，过A、B两点的直线的倾斜角为钝角.
例2 已知两圆⊙和⊙都经过点A(2,－1),则同时经过点(D1,E1)和点(D2,E2)的直线方程为( )
A. B.
C. D.
解析】选A.
将点A(2,－1)代入方程得,即直线过点(D1,E1)和点(D2,E2).
【点评】上述求直线方程运用了”设而不求”,这是解析几何中一种十分重要的解法.
考点二：直线与圆的位置关系
例3. 将圆按向量平移后得⊙O,直线与⊙O相交于A、B两点,若⊙O在上存在一点C,使,求直线的方程及对应的点C的坐标.
【解析】将圆化为标准方程为
按向量平移后得⊙O方程为.
∵,且,
,设直线的方程为
由
将(1)代入(2),整理得,设,则
因为点C在圆上,故
,解之得,此时(*)式.
所求的直线的方程为,对应C点坐标为(－1,2),或直线方程为,相应C点坐标为(1,－2).
【点评】本题解答的关键是对条件的解读,即由与,可推理出,而,近两年新高考中把解析几何与向量综合起来,解答时准确读向量的条件往往是破题的关键.
考点三：线性规划
例4. (1)在平面直角坐标系中,对于点(),满足: ,目标函数,那么满足的解 ()有 ( )
A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 无数个
(2)已知实数系数方程的两个实根分别为,且,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】(1)选B
据已知可得关于的约束条件为
或,故可行域如图:
由于
故使得即为使得
即使得可行域内的点与点连线的斜率为－2,易知过且斜率为－2的直线与可行域只有一个交点,故解的个数也只有1个.
(2)选A.
设,由已知有
∵表示如图中区域点与原点连线的斜率,故可求得.
考点四：求圆的方程
例5.（江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
规律总结
1. 出现含参数的直线或圆的方程为条件时,要从方程形式的代数特征入手,挖掘参数的几何特征,尤其对讨论位置关系问题,把握好参数几何特征,结合几何图形的背景可大大简化计算.
2. 圆的方程呈现多种形式,一般方程、参数方程及标准方程,它们分别显现不同的代数特征和三角特征.我们运用圆方程时,恰当选择,可以方便求方程或讨论圆的性质.
3.线性规划是概念性极强的内容:可行域实质上是约束条件的交集;可行解是可行域内的点的坐标;而最优解是可行域内的极限点,最后还要优中选优(尤其对与线性规划相关的应用问题求解更应注意这一点).
专题能力训练：
选择题：
1、若是直线的倾斜角，则sin(45o-)的值属于 D
A B[-,] C(-1, ) D[-1, ]
2、两条直线ax+y-4=与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是 （ A ）
A -1-1 C a<2 D　a<-1或a>2
3、曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是 C
A、y2=8－4x B、y2=4x－8 C、y2=16－4x D、y2=4x －16
4、是的__C____条件
A、充分不必要条件 B、充要条件
C 必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
5、方程所表示的曲线是 D
A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆
填空题：
6．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是 ．

7．设有一组圆．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切
Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交
Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交
Ｄ．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 BD ．（写出所有真命题的代号）
解答题：
8．设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发，向北直行，先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与相遇.设、两人速度一定，其速度比为，问两人在何处相遇？
9．已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两个圆都外切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点、，求的取值范围.
10．在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定、两点，在轴正半轴上求一点，使取得最大值．
11．如图，已知：射线为，射线为，动点在的内部，于，于，四边形的面积恰为.
当为定值时，动点的纵坐标是横坐
标的函数，求这个函数的解析式；
（2）根据的取值范围，确定的定义域.
8. 解：如图建立平面直角坐标系，由题意
可设A、B两人速度分别为3v千米/小时 ，
v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变
方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.
则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分
（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,
即.
……①………………6分
将①代入……………8分
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置.
设直线相切，
则有……………………11分
答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分
9.解：（1）∵|PM1|-5=|PM2|-1，∴|PM1| - |PM2|=4
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。
c=4，a=2，b2=12，
故所求轨迹方程为－=1（x≥2）。 …………4分
（2）当过M2的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，
直线方程为 y=k(x-4)
与双曲线 3x2-y2-12=0联立，消去y化简得
(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0 …………6分
又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0
由解得 k2>3。…………8分
由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有|AM1|·|BM1|=e|x1+1|·e|x2+1|=4[x1x2+(x1+x2)+1]
=4(++1)=100+ …………10分
∵k2-3>0，∴|AM1|×|BM1|>100
又当直线倾斜角等于时，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10
|AM1|·|BM1|=100 故 |AM1|·|BM1|≥100。…………12分
10．解：设，再设、B（0，b）、C（x，0）．
则 ． …………3分
．…………10分
当且仅当∵∴有最大值,最大值为，
∴ 在内为增函数．
∴ 角α的最大值为．此时C点的做标为…………12分
11. 解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
则|OM|=a，|ON|=b。
由动点P在∠AOx的内部，得0∴|PM|==，|PN |==
∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k ①
又由kPM= -=， kPN==，
分别解得，，代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1。
∵y>0，∴
（2）由0 (*)
当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)x>。
当0当k>1时，由不等式②得，且，∴(*)
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：，将它代入函数解析式，得
解得 (k>1)，或x∈k（0综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；
当0当k>1时，定义域为{x|}.


专题 （二） 直线与圆锥曲线
主干知识整合：
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
经典真题感悟：
1.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 ．
2.(2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为___________.
热点考点探究：
考点一：直线与曲线交点问题
例1.已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
考点二：圆锥曲线中的最值问题
对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。
例2 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。
解：由消去得，由题意，有：
设M（），则
由P（）、M（）、Q（）三点共线，可求得
设，则在上为减函数。
所以，且
所以 所以或
考点三：弦长问题
涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
例3.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
考点4：圆锥曲线关于直线对称问题
例4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为,
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围.
【解析】(I)设椭圆的方程为
由条件知,
故椭圆的方程是
(II)依题意,直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是,设点F(2,0)关于直线的对称点为,则
因为在椭圆上,所以
即
故,则
因为
于是,当且仅当(*)
上述方程存在正实根,即直线存在.
解(*)得
即的取值范围是
规律总结
1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线方程与圆锥曲线C的方程联立,消去(也可消去)得一个关于变量的一元方程
①当时,若有,则与C相交;若,则与C相切;若,则与C相离.
②当时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.
2. “设而不求”的方法
若直线与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A()、B(),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.
3. 韦达定理与弦长公式
斜率为的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(),B()则 ,然后再结合韦达定理可求出弦长等.
专题能力训练：
一、选择题
1.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3
C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
1.解析：弦长|AB|=≤.
答案：C
2.解析：解方程组,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入验证即可.
答案：B
3.斜率为2的直线过双曲线的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率的取值范围是 ( D )
A. B. C. D.
4.过点A(4,0)的直线与抛物线交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是 ( C )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C. 直角三角形 D.形状不确定
二、填空题
5.已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.
.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.
答案：②③④
6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.
7.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.
6解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.
答案：18或50
7.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).
即kAB=8.
故所求直线方程为y=8x－15.
答案：8x－y－15=0
三、解答题
8.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
9.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.
10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.
11. 已知过双曲线方程
(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)是否存在直线,使为被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
8解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x==p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）?
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2.
9.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.
所以所求双曲线方程为=1.
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有
，∴kl=
∴l的方程为y= (x－2)+2,
由,消去y,整理得x2－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.
10.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).
∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.
(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.
设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2. ②
把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,
由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).
11.解析(1)设,
则
则有…………………..①
………………………..②
①-②得
∵
∵双曲线的一条渐近线方程为,而,
与双曲线交于两点.
为所求.
(2)假设过N直线交双曲线于, 则有
,.
两式相减得
∵
∵双曲线的一条渐近线方程为,
直线与双曲线没有公共点.
以为弦中点的直线不存在.
【点评】”设而不求”是保证A、B两交点存在的情况下,所采用整体运算求直线方程的方法,但如果是假定直线与曲线存在两个交点A、B为前提下求出直线,则必须验证与圆锥曲线公共点的存在性.




专题（三）圆锥曲线及轨迹问题
主干知识整合：
求曲线轨迹方程的思想方法体现了解析几何最基本也是重要的解题思想方法,因而求曲线轨迹方程成为新高考的热点内容.试题多以解答题形式出现,它是考查我们根据曲线的几何特征熟练地运用解析几何知识将其转化为数量关系,再运用代数(如函数与方程)的知识作答的能力.
经典真题感悟：
1.（08陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
2.（08辽宁卷10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
3.（08湖南卷12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
热点考点探究：
考点一：定义法求轨迹
例1： 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线 y2 = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．
(1)求点F2的轨迹;
(2)是否存在直线y = x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．
解 (1) 由题意知F1(1, 0)，设F2(x , y)，则 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a > 0．……………………………①
∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF1| = | BF1| =．于是
(ⅰ) 当 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|时，有 |AF2| = |BF2| , 再代入①得：
F2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F1(1, 0), D(1, 4)．
(ⅱ) ∵ 当 | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 时，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| => 4 = |AB| ,
∴ 点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)两点，
故所求的轨迹方程为 l：x = 1与Q：( y≠0，y≠ 4 )．
(2) 设存在直线L：y = x+ m满足条件．(ⅰ) 若L过点F1或点D，
∵ F1、D两点既在直线l：x = 1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上，
∴ L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意．
(ⅱ) )若L不过点F1和D两点，(m≠-1, m≠3)，则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上，
∴ 要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点．
由 得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0,
从而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) ,
当△= 0时，有．即存在符合条件的直线 y = x+．
点评 这是“定义法”求轨迹的问题．对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的．
考点二：交轨法求轨迹
例2.已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E , F，使得 | PF | + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由．
解 ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) ,
由向量平行关系得 OP与AP的方程分别为λy = ax，y- a = - 2λax．…………………………………… ①
由此消去参数λ，得 点P(x ,y)满足方程为, …………………………………………… ②
∵ a > 0 , 从而，有(1) 当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E，F ；
(2) 当0<时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：；
(3) 当时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：．
点评 这是“交轨法”求轨迹的问题．将向量c +λi与i- 2λc分别用坐标表出是解题的关键．回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求．对于①也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试．
考点三：代入法(相关点法)
例3 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,
且,O为坐标原点,动点P满足.
(1)求的值
(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.
【解析】(1)由已知得
(2)设点P坐标为,得
,它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.
【点评】 (1)的结果表示点轨迹在曲线上,为解决(2),利用,建立与参数的关系,然后解出(用表示),代入即得所求轨迹,这就是代入法.
考点四：与轨迹有关的综合题
例4 O为坐标原点, 和两点分别在射线 上移动,且,动点P满足,记点P的轨迹为C.
(I)求的值;
(II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?
(III)设点G(－1,0),若直线与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在以G为圆心的圆上,求的取值范围.
【解析】 (I) ∵,分别在射线上,
即,
又∵
.
,
.
(II) 设由可得
即
两式相减有: .
∵、不同时为0,
轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线.
(III)
消去,整理得: .
∵直线与曲线C交于M、N两点,
设
即
由(1)整理得:
由(3)有:
由(2)有.
又∵M、N在以点G为圆心的圆上,
设MN的中点为Q,则
∵,
∵
又∵
.
整理得
把(6)代入(4)中有:
由
又由(6)有
∵
于是
解得
再由.
综合得的取值范围为
规律总结：
1.求曲线轨迹方程是解析几何两大基本问题之一,其实质就是根据已知条件先列出轨迹满足的”几何量关系”,然后通过坐标化转化为动点的坐标满足的方程,然后根据轨迹的”纯粹性”和”完备性”进行”去”和”留”.
2.探求轨迹有两大类型:一种是几何关系已知、轨迹未知,常用求轨迹的方法有直接法、相关点法(又称代入法)和参数法;另一种是曲线的类型(形状)已知,轨迹未知,常采用定义法和特定系数法.
3.如果题设条件是坐标系未确定情形,应根据条件适当选择坐标系,即保持问题一般性,又要使求出轨迹方程简炼,反映曲线的一些本质特征(如对称性等).
专题能力训练：
选择题：
1.(2008年浙江卷)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得三角形ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是 ( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 一条直线
D.两条平行直线
2设,常数,定义运算”*”; ,若,则动点的轨迹是 ( D )
A. 圆 B. 椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
3已知分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,过的平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为 (C )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线
4.（08全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
5.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A
（A） (B)
(C) (D)
填空题：
6.与圆外切,又与轴相切的圆心的轨迹方程为____或.______
7.已知双曲线过A(－2,4)和B(4,4),它的一个焦点为F(1,0),则它的另一个焦点轨迹方程为_________
三．解答题
8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，试确定实数的取值范围．
解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | 　　y=∴动点P的轨迹是椭圆∵∴曲线E的方程是 .
（2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得设M1（, 则

i) L与y轴重合时，
ii) L与y轴不重合时， 由①得 又∵,
∵ 或 ∴0＜＜1 ,
∴∵
而 ∴∴ ∴ ,
,∴的取值范围是 .
9. 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,且,O为坐标原点,动点P满足.
(1)求的值
(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.
【解析】(1)由已知得
(2)设点P坐标为,得
,它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.
10.已知抛物线的方程为,过点的直线与抛物线相交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线和,记和相交于点M.
(I) 证明:直线和的斜率之积为定值;
(II) 求点M的轨迹方程.
【解析】(I) 依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为
将其代入,消去整理得.
设A,B的坐标分别为,
则
将抛物线的方程改写为,求导得.
所以过点A的切线的斜率是,过点B的切线的斜率是,
故,所以直线和的斜率之积为定值－2.
(II) 设,因为直线的方程为即
同理,直线的方程为
联立这两个方程,消去得
整理得,注意到,所以.
此时
由(I)知, ,所以,
所以点M的轨迹方程是.

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