资源简介

专题 立体几何
高考对这一部分的考察主要是一大一小两种命题形式。主要考查学生的空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
专题（一）空间点线面的位置关系
主干知识整合：
在高考中,立体几何往往有两个小题和一个大题,而小题中,一般会有一道专门考查空间点线面的位置关系的题目,大题则通常在进行鉴定会间角与距离的计算前要先进行位置关系的判断.而在方法的选择上,既可以用几何法,也可以用向量法,估计在2009年的高考中,仍将出现这种特点.因此,我们要既能对空间点线面的位置关系进行推理判断,也要熟练掌握向量方法.
平面的基本性质。
两直线平行与垂直的判定定理和性质定理。
直线与平面平行与垂直的判定定理和性质定理。
两平面平行与垂直的判定定理和性质定理。
经典真题感悟：
（08上海卷13） 给定空间中的直线l及平面(，条件“直线l与平面(内无数条直线都垂直”是“直线l与平面(垂直”的（ C ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
2.（07江西?理?7题）如图，正方体AC1的棱长为1，
过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（ D ）
A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°
3.（08海南卷15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______
热点考点探究：
考点一：空间想象能力与空间概念
例1 (1)如图,A,B到的距离分别是,AB与所成的角分别是,AB在内的射影分别是和.若,则 ( D)
A.
B.
C.
D.
(2) 空间直线是600角的异面直线,分别过作平面,使平面也成600角,这样的面平 ( A )
A. 有无穷对 B. 只有5对 C. 只有3对 D. 只有1对
【解析】(1)选D.
∵
∵
又∵,
(2)选A
过直线任作一平面,记为,因为与异面,且与成600角,故过直线作平面,与成600角,然后交换的位置(绕直线旋转),就会得到相应的,从而符合要求的平面有无数对.
考点二：空间线面平行、垂直等位置的判定与证明
例2 (1)在三棱柱ABC－A/B/C/中,点E、F、H、K分别为AC/、CB/、A/B、B/C/的中点,G为三角形ABC的重心,从K、H、G、B/中取一点作为P,使得棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为 ( )
A.K B. H C. G D.B/
(2)下列5个正方体图形中, 是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出垂直面MNP的图形的序号是__________(写出所有符合要求的图形序号).


【解析】(1)选C.
现按各选项顺序逐图画出.

图(a)中过KEF的截面为平行四边行PKNM,显然三侧棱均与此戴面平行,图(b)中,过HEF的截面为三角形PQR,其中P、Q、R为各侧棱中点,显然三棱柱底面各棱均与此截面平行.图(C)中,过GEF的截面为梯形MNQP,其中各项点M、N、Q、P均为所在棱的三等分点,显然该棱柱恰有两棱AB、A/B/与这个截面平行.图(d)中,过B/EF的截面三角形A/B/C/,此棱柱只有一个棱AB与此截面平行.
考点三：空间点、线、面关系中探究性问题
例3 如图,设动点P在棱长为1的正方体
ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上,记
为钝角时,求的取值范围.
【解析】由题设可知,以、、为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1).
由
所以
显然不是平角,所以为钝角等价于
,这等价于
因此,
【点评】本题属空间探索性问题,通过建立空间直角坐标系转化为代数问题,充分体现了空间向量的工具性.
考点四： 平面图形的翻折
例5 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B,并且D在 平面ABC内的射影落在AB上.
(1)求证:AD⊥平面DBC;
(2)求二面角D－AC－B的大小.
【解析】(1)设D在AB上的射影为H,则DH⊥平面ABC,
∵DH⊥BC,又BC⊥AB,
∴BC⊥平面ADB.
于是AD⊥BC ,
又AD⊥DC,∴AD⊥平面DBC.
(2)在平面ABC内作HE⊥AC,垂足为E,连结DE,则DE⊥AC,故∠DEF为二面角D－AC－B的平面角.
在
在
在
即二面角D－AC－B的平面角为.
规律总结
1. 画几何的截面形状,就是要画出这个截面与几何体各表面的交线,这就要求先找到截面与各表面的两个公共点,或者先找到一个公共点,再根据条件过此点作某线的平行线.
2.在解决空间位置关系的问题的过程中,注意几何法与向量法结合起来使用.若图形易找(例如,平面的垂线易作等),则用几何法较简便,否则用向量法.而用向量法,一般要求先求出直线的方向向量以及平面的法向量,然后考虑两个相关的向量是否平行或垂直.
3.对于空间线面位置的探索性问题,有的是运用几何直观大胆猜测后推是验证,有的是直接建系后进行计算,有时两种办法相结合,它因结果的不确定性,增强能力考查,而成为新高考的热点
专题能力训练：
一、选择题
1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直线的位置关系 （ D ）
A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行
2．下列说法正确的是 B 。
A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线
B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线
C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线
D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M
3．[2008年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（文科）第12题]已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（D ）
A． B． C． D．
4.三棱锥的侧面两两垂直，且所有侧棱之和为3，则三棱锥的体积的最大值为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
5.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出K条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线,则K的最大值是 4
二．填空题：
6．一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为
7.（全国二16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条① ；
充要条② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）（两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．）
三．解答题：
8. 已知在四面体中，，，，∈平面．
（1）若为△的重心，试证明；
（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．
8. 解：(1)连交于,则平分,且分所成的比为2∶1，从而
又，故．
(2)逆命题成立，证明如下：设分所成的比为，分所成的比为．则,
,于是,
= 因,故,
解得,于是为△的重心．
9. 08陕西卷19．
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则，
，．
点坐标为．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，
设平面的法向量为，则．
，
如图，可取，则，
，
即二面角为．
10. 解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
（2005湖北）如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，为的中点，在侧面内，找一点使。
分析1：把四棱锥补成长方体
设是它的一个中截面，不难看到当
延长交于则为所求。
解法1：如图设分别是棱的
中点，连结，是
棱的中点，是矩形，，，，而，，四边形是矩形，
平面，在面内作延长交于，，在矩形中，，在中，，所以当点在的中位线上，且时，。
分析2：以点为坐标原点，分别以直线为轴，y轴,z轴;正方向建立空间直角坐标系，设，其中，由，转化为，且，再求出的值，从而确定平面内点de 位置。解法2：如图在四棱锥中底面为矩形，，以为坐标原点分别以直线为轴，y轴,z轴;正方向建立空间直角坐标系，设，其中
则，，
,
要使，只需
，所以在侧面内，当点时，。
总结：用向量方法探讨线面垂直，就是利用这条直线与平面内的两条相交直线垂直，即然后求出点的坐标。
专题 (二) 空间距离
主干知识整合：
这块内容历来是高考考查的重点。同时贯穿着位置关系的判断。
两点的距离。异面直线间的距离。
线面间的距离。面面间的距离
经典真题感悟：
1.（湖南卷9）长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( C )
A.2 B. C. D.
（江苏?理?14题）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是　　　　．
3．（湖南?理?8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ D ）
A． B． C． D．
热点考点探究：
考点一：定义法——直奔问题核心
空间距离的概念：图形F1内的任一点与图形F2内的任一点间的距离中的最小值叫做图形F1与图形F2 的距离.它可以看成是两个点集的元素之间距离的最小值.
【题1】 如图（13），正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y,
（1）求MN的长(用x,y表示)；
（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离
【解析】 在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：
PN2=，
在中，MN=
；
（2）MN=，
故当，时，MN有最小值.
且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离.

考点二：向量法——化证明为计算
空间向量要把平面向量的知识迁移过来，加以类比，实际上它们本质上是一样的，只是位置范围扩大了.用向量法解立体几何问题，关键是建立空间直角坐标系，坐标原点O的任意性，要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值，三坐标轴一定是相互垂直.
夹角公式：设a=(a1，a2，a3)，b=（b1，b2，b3），则
cos〈a·b〉
距离公式：在空间直角坐标系中，已知A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）,则
例2. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD
为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，
PA=2，E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
并求出N点到AB和AP的距离.
【解析】解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 图（14）
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0，，1），
从而
设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则
，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.
考点三：平移法——集中条件构造图形
平移法是将空间问题转化为熟知的平面问题的重要手段之一.
立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化.
例3已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD
侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD
为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
【解析】（I）解：如图（17），作PO⊥平面ABCD，
垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交 图（16）
于点E，连结PE.
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=， 图（17）
即点P到平面ABCD的距离为.
（II）如图（18），取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=.
在Rt△PEG中，EG=AD=1. 图（18）
于是tan∠GAE==,
又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan.
考点四：等积法——求点面距的特法
等积法包括等面积法和等积法，等面积法可以求出点到直线的距离，等体积法可以用来求点到平面的距离. 等面积法是平面几何中用到的，而等体积法则是立体几何用来求点面距的特法.
例4 正三棱柱的所有棱长都为
，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
【解析】（Ⅰ）取中点，连结． 图（19）
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
， 图（20）
．
在正方形中，，平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
【点评】 本题中两次用到等积法，第（Ⅱ）用到等面积法，第（Ⅲ）问用到等体积法.
规律总结：
求角与距离的关键是化归：空间角化为平面角，空间距离化为两点间距离，最终化为求三角形中边角；
向量法在题目中的应用
等体积法在题目中的应用
专题能力训练：
选择题：
1．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 C 。
A．6 B．5 C．4 D．3
2．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（B）
A．100米 B．50米 C．25米 D．50米
3．四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积 （ A ）
A． B． C． D．以上全不正确
填空题：
设地球的半径为R，在北纬30°圈上有A、B两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬度线的长为_________。
已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成30°角，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离为 。
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。
解答题：
7.正四面体ABCD的棱长为1，求：
A到平面BCD的距离；
【解析】 （1）过A作AO⊥平面BCD于O，
连BO并延长与CD相交于E，连AE.
∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.
∴O是△BCD的外心.
又BD＝BC＝CD，
∴O是△BCD的中心，
∴BO=BE=.
又AB＝1，且∠AOB=90°,
∴AO=.
∴A到平面BCD的距离是.
8．（07福建?理?18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
专题 (三) 空间角
主干知识整合：
立体几何的空间角度中，对三种角度的求解与性质的探究，属于高考永恒的话题
经典真题感悟：
1．（07全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）
A． B． C． D．
2．（07浙江?理?16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是________。
3．（07广东?理?19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。
（Ⅰ）求V(x)的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；
解：1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，
，
在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；
热点考点探究：
考点一：异面直线所成的角——空间角的最小元素
直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了.要注意的是角的取值范围，分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）.其范围是.
【例1】 如图（1）所示，在空间四边形ABCD中，
已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，对角线
BD=，求AC和BD所成的角.
【解析1】 如图（2）所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位线定理知，EF∥AC，且EF=，GE∥BD，且GE=.
GE和EF所成的锐角（或直角）就是AC和BD所成的角.
同理，GH=，GH∥AD，HF∥BC.
又AD⊥BC，∴.
∴
在△EFG中， 图（2）
∴，即AC和BD所成的角为.
【解析2】 如图（3），在平面BCD内，过C作
CE∥BD，且CE=BD，连DE，则DE∥BC且DE=BC.
∴∠ACE就是AC和BD所成的角（若∠ACE为钝角，
则∠ACE的补角就是AC和BD所成的角）.
又AD⊥BC,∴AD⊥DE.
∴ 图（3）
在△ACE中，
∴∠ACE=90°，即AC和BD所成的角为90°.

【点评】 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三种类型：利用图有已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
考点二：线面角——直线与射影的夹角为主体
直线与平面所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜线与平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角.直线与平面所成角不存在补角的问题. 直线与平面成角的范围是.
【例2】 如图（4），在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，
AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，
OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；
(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小.
【解析】(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：
∴OD∥PA,又AC平面PAB, 图（4）
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,
∴OA=OC=OB,
又∵OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,
则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,
则OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF. 图（5）
在Rt△ODF中,sin∠ODF=,
∴PA与平面PBC所成角为arcsin
【点评】 求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角.
考点三：二面角——用平面角来量度
面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、线面角不同，它的取值范围是【0,】.
二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小求解，以利用平面几何、三角函数等重要知识.
【例3】在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.

图（6）
(1)求证：四边形B′EDF是菱形；
(2)求直线A′C与DE所成的角；
(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；
(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.
【解析】 (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,
下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，
由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形.
∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
(2)解：如图（7）所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，
图（7）
则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角为arccos.
(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.
图（8）
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a
则cosADB′=
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos.
(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.
图（9）
作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，
故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.
在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,
则由面积关系得OM=a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.
【点评】对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.
求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.
考点四：探索性问题
例4.如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形，在线段上是否存在一点，使成角，若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由。
分析：如图5把在三棱锥补成以为棱的
正方体HCDB---AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解
找到与面所成的角。在上任取一点
使，利用所成的角为来构建方程，再求
的值，若就确定了点的位置，若则说明满足条件的点不存在。
解法1：如图6，在三棱锥中，侧面
是全等的直角三角形，是公共的斜边，
是正三角形，
则
取的中点连结则，，，，作交的延长线于，则平面平面则，在Rt中，，
在中，，在中，
，
，在中，设，作，平面平面，就是所成的角。由(※)，在中，，要使成角，只需使，当时成角
解法2在解法1中接（※）以为坐标原点，以直线分别为轴，轴的正方向，以过
与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示
则，
又平面的一个法向量为，要使成角，
只需使成，只需使，即，
当时成角
规律总结：
1、求线面角关键是找、作线与面垂直，通常是先寻找面面垂直，得到线面垂直；
2、二面角的平面角的基本作法有：定义法，三垂线定理法，垂面法。点到面的距离通常在面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。另空间距离和角的求解应遵循：一作二证三计算。
3、向量法在题目中的应用
专题能力训练：
一．选择题：
1．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为 （ C ）
A．arccos B．arccos C． D．
2．正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成的角 （ A ）
A．45( B．60( C．90( D．30(
3.已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦为 ( A )
A. B. C. － D. －
4．等边三角形和等边三角形在两个相互垂直的平面内，则 （ B ）
A． B． C． D．
5.已知单位正方体ABCD－A1B1C1D1对棱BB1,DD1上有两个动点E,F,BE=D1F=,设EF与AB所成的角为,与BC所成的角为,则的最小值 ( B )
A.等于60o B. 等于90o C. 等于120o D. 等于135o
填空题：
6.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,若点P为三角形BCD的重心,则D1F与平面ADD1A1所成的角的大小为_________
7．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为
三．解答题：
8、如图，在四面体P-ABC中， PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，，F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（1）求证：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B—CE—F的大小。
解（I）证明：∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
二面角B—CE—F的大小为
10．如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点， 交于点．
(1) 求证：； (2) 在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
解(1) 证：；
(2) 解：在斜三棱柱中，有，
其中为 平面与平面所组成的二面角．
上述的二面角为,在中，
，
由于，
有．

专题六：角与距离
命题人：李小宝 叶丹 审题人：程强 刘永红
一．知识网络图解
二．考情分析及命题趋势
立体几何是培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力的一门学科，同时也培养学生的类思想，辨证思想和转换化归思想。2004年，2005年，2006年高考中立体几何部分基本保持在3道试题，中等难度的综合题1道，2—3道基础题（选择，填空）这种命题趋势将继续。
立体几何的综合型问题，一般是考查点，线，面的位置关系，求角和距离，求体积，面积和求有关量的取值。分布设问，难度逐步加大，同时小问之间存在一定联系。试题设计一题两法，既可用传统立体几何知识求解，又可用空间向量的知识求解，须恰当选用。
三．精典例题
例（一）
正三棱锥P--ABC，PA=4,AB=2,AE=3EP,D是BC中点，则 AD与BE成的角为
是直二面角，且AB与成角，AB与成角，则异面直线AB与l的夹角为
三棱锥D—ABC中，平面ABD，平面ABC均为等腰直角三角形，其腰，且二面角
求异面直线DA与BC所成的角：
求异面直线BD与AC所成的角.
例（二）．
在三棱锥中，三条棱OA, OB, OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是边AB的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是
在一个的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为
如图，在三棱锥，,,D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1,PA=2,求直线PA与平面DEF所成的角的大小。
如图，是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A .B在上，C在上，AM=MB=MN.
证明：
若，求NB与平面ABC所成角的余弦值。
例（三）．
1．二面角的平面角记为，P为空间的任意一点，P到平面、的距离分别为和，点P到的距离为2，则为
2．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,,PA=AB,E是PD的中点，求二面角的大小。
已知平行四边形ABCD中，AB=,AD=2,BD=,沿BD将其折成一个二面角，使得，求二面角的大小。
例（四）：
在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E为边DC的中点，沿AE将折起，使二面角为，则D到面ABCE的距离为
如图，平面平行于三棱锥的底面ABC，所在的平面与底面ABC垂直，且，求证：是异面直线与的公垂线。
三棱柱的底面边长为2的正三角形，与AB,AC均成角，且于E，于F，
证明：
多长时，到面ABC与到面的距离相等.
四．规律技巧提炼
1．平行问题的转化
面面平行 线面平行 线线平行

2．垂直问题的转化
面面垂直 线面垂直 线线垂直
3．异面直线所成角方法
平移转化法
最小角定理法，
向量法
投影法（其中是与的夹角）
4．线面角的方法
①．定义法：求斜线与其射影的夹角
②．转化法：即先求垂线的长度，再求斜线与垂线的夹角
③．向量法：（其中是法向量）
5．二面角的方法
①．定义法：过棱上一点，在两个平面内分别作棱的垂线（适用于对称二面角）
②．三垂线法：过一半平面上一点向另一面作垂线，再用三垂线逆定理作出二面角
③．垂面法：找棱的垂面
④．面积射影法：（是原图形面积，是射影图形面积）
向量法：（即两个面法向量的夹角或其补角，注意先判断二面角）
点面距离方法：
定义法
等体积法
向量法
（空间距离其核心问题是点到平面的距离。异面直线的距离，只要求给出b公垂线求长度。线面距离，面面距离都可以转化为点面距离）
五．综合创新应用
1．下列命题是真命题的是
①经过直线外一点有且只有一个平面和已知直线平行
②设是两条异面直线，过直线有且仅有一个平面与平行
③若，
④已知是异面直线，若，则
⑤底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱为正四棱柱
⑥各侧面都是全等三角形的棱锥是正棱锥
⑦若与异面，则至多有一条直线与都垂直
⑧平面内存在不共线的三点到平面的距离都相等，则
2.三棱锥中，底面ABC是正三角形，三条侧棱，,过A作截面AEF，则截面AEF的周长最小为（）
A.4 B. C.6 D.10
3．等腰中，斜边，的中点，沿DE将折起，使A到位置，若二面角的大小为，则BC到面的距离是()
A.2 B. C. D.
4.已知正方形，沿对角线AC将三角形ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为，当取最大值时，二面角等于()
A. B. C. D.
5.正方体中，分别是正方形和正方形的中心，G是棱的中点，设GF与AB所成的角为，与AB所成的角为，则
6．在直三棱柱中，,E,F分别是的中点，点G在AC上，且，则点到平面EFG的距离为
7.在的二面角内，且，，垂足分别为，已知，则线段的长为
8．三棱锥中，，以PA为直径的球和PB,PC分别交于两点，则两点的球面距离为
9.如图所示，四面体ABCD中，O,E分别是BD,BC的中点.CA=CB=CD=BD=2,
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）求点到平面的距离。
10.如图，直四棱柱的底面是梯形，，，分别是的中点，点到直线的距离为
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积。
11．如图，矩形中，
（1）边上是否存在点，使得，并说明理由；
（2）若边上存在唯一的点使得，指出点的位置，并求出此时与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的正弦值。

展开更多......

收起↑