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专题六---- 应用问题
复习目标： 一．学会审题：题意较难理解是应用题的特点，所以对应用题必须认真仔细反复阅读， 　　　　　　　　弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义，分析已知条件，明确所求结论，把实际问题转化为数学问题。
二．正确建模与解模：在审题的基础上，联想数学知识和方法恰当地引入参数或适当坐标系， 列出满足题意的数学关系式或作出满足题意的几何图形。解模时要特别注意：
（1）所建模型中函数自变量的实际意义。 （2）解模涉及的近似计算要保持一定的精确度。 三．.应用题的常见类型及对策： 1．解应用题的一般程序
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.
（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.
（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.
（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.
2．中学数学中常见应用问题与数学模型
（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.
（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.
（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.
（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决?
（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识、三角知识解决.
（6）统计问题：解决概率、统计中的有关问题。
经典真题感悟
．两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 ( B )
A. 19 B. 20
C. 21 D.22
．福州某中学的研究性学习小组为考察闽江口的一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回。设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示S＝f(x)的函数关系的为 ( C )
．某新区新建有5个住宅小区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：
A
B
C
D
E
A
5
7
8
5
B
3
5
2
C
5
4
D
4
E
请问：最短的管线长为 （ B ）
A．13 B．14 C．15 D．17
4．世界杯是球赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某足球队在比赛中，赛12场，得19分，其中取胜的场数是___4,5,6____。 5．如图所示，轮船在海上以40公里/小时的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则轮船到达C点与灯塔A的距离是___________公里（可以保留根号）。

6．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．
（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，　　　　　　，
又，　故．
（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望为 ，
由知，，
．
（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．
考点热点探究
例1: 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下二种分期付款的方案购车： 　　方案（一）分三次付清，购买后4个月第一次付款，再过4个月第二次付款，再过4个月第三次付款。 　　方案（二）分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第二次付款……购买后12个月第12次付款。 　　规定分期付款中每期付款额相同；月利息0.8%，每月利息按复利计算，即上月的利息要记入下月本金。 　　（1）试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？ 　　（2）若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资。可获月增长2%的收益，为此决定对一次性付款给予降价P%的优惠，为保证一次性付款经过一年后的本金低于方案（一）（二）中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年后的本金，试确定P的取值范围。 　　（注：计算结果保留三位有效数据，参考数据：1.0083≈1.024； 1.0084≈1.033； 1.00811≈1.092； 1.00812≈1.1； 1.0211≈1.243；　 1.0212≈1.268） 略解：（1）方案（一）设每次付款额为x1万元，则有x1·=10·1.00812. 　　得x1=3.63(万元)，总额为3x1=10.89(万元)。 　　方案（二），设每次付款额为x2万元，则有 　　x2·=10·1.00812. 　　得x2=0.88(万元)，总额为12x2=10.56(万元) 　　（2） 　　解得：4变式:
用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，再加上欠款的利息（月利息为1%）若一个月后付第一个月的分期付款，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付多少元？ 　　分析：付款情况分述如下： 　　先付款 150（元） 　　第一次分期付款：a1=50+(1150-150)×1%=60(元) 　　第二次分期付款：a2=50+(1150-150-50)×1%=59.5(元) 　　第三次分期付款：a3=50+(1150-150-50×2)×1%=59(元) 　　…… 第n次分期付款：an=50+[1150-150-(n-1)50]×1%=60-(n-1)。(n∈[1,20]，n∈N). 　　解：（1）第十次交分期付款全额为 　　a10=60-=55.5(元) 　　（2）实际付款金额为 　　S=150+(a1+a2+……+a20) 　　=150+20×60+×20(20-1)×(-) 　=1255元。 例2: 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度
d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
解:（1）安全负荷为正常数） 翻转
，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变小.
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.

，当且仅当，即取，
取时，u最大， 即安全负荷最大.
点评：三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.
变式:
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝10－10ta，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。
例３:：某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、
乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在I）的条件
下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.
设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的
条件下，x、y为何值时，最大？最大
值是多少？ （解答时须给出图示）
解（Ⅰ）
（Ⅱ）随机变量、的分别列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4

（Ⅲ）由题设知目标函数为
作出可行域（如图）：作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，
此时
取最大值. 解方程组
得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .
点评：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，对数字运算的要求较高。
变式:
某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.
(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；
(2)如果已知所需的经费p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
解：(1) 由题意得：v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,
∴3≤x≤10,≤y≤.①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
(2) 因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元.
专题能力训练1．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
２.某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的
C、D两地（A、B、C、D在同一平面上），测得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是
A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据：）
解：在△ACD中，∠CAD=180°－∠ACD－∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理AD=
在△BCD中，∠CBD=180°－∠BCD－∠BDC=135°
CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理BD=
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC＋∠BDC=90°
根据勾股定理有
=1000
实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6（m）
３．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日 期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(°C)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想? (参考公式：
解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的
其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种
所以
(Ⅱ)由数据求得 由公式求得
再由 所以关于的线性回归方程为 (Ⅲ)当时,, ； 同样, 当时,,
所以,该小组所得线性回归方程是理想的
４．设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得
即
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.
５．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
５. 解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].
因为函数y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；
当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
选做题:有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
（2）求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
讲解（1）∵g(t)为常数, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我们易证得0g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)·<0,t1e,
∴g(t1)故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线.
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数 形 结 合 思 想
■董方博 陈火焱
一、专题概述
1．数形结合思想是中学数学中四种重要的数学思想方法之一，所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和几何形式巧妙、和谐的结合起来，并充分利用这种“结合”，寻求解题思路，使问题得以解决。
2．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合。
数形结合的思想方法所涉及的主要内容有：
集合及其运算问题中，图形与符号、图形与文字的转译。
函数的表达形式之间的转译，充分利用图象研究函数特性是现行教材的基本指导思想。
向量相关问题的解决与应用。
函数图象与方程、不等式的解集间的内在联系构成的推理判断意识。
圆锥曲线及其相关元素的图形特征与方程及定义间的内在联系的应用意识。
三角函数图象特征及三角函数几何定义的应用意识。
3． 数形结合思想解决的问题常有以下几种：
构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
构建立体几何模型研究代数问题；
构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
构建方程模型求解的个数；
利用图形的形状、位置关系、性质等研究问题；
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在学习中加强这方面的训练，注意培养这方面的思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野，提高解题的能力和速度。但是用数形结合思想处理解答题时,一定要注意说理的严密性.
二、应用举例
1．借助图象的形象直观解题
利用图象的直观性,通过对问题的定性分析,可以无需进行计算就可以求解,尤其是对不同类型的函数之间的研究根的个数,不等式的求解等有着极大的适用性,
【例1】求方程的解的个数
【解答】如图 在同一坐标系中
作出与的图象，可知以上方程有两解。
【评析】 如果用代数方法几乎无从下手，利用图象则迎刃而解。与的图象是很容易描述的,因而数形结合的方法是判断方程根的个数和近似解的常用方法.
【例2】对于函数,若有六个不同的单调区间,求的取值范围.
【解答】为偶函数,题意等价于在内有两不同的解,而方程转化为
令,作出函数时的图象,
而中的一条直线与图象有两个交点时,
由图可知
【评析】数形结合思想是数学中的一个很重要的思想,
它不同于方法,它必需和其它的如函数方程思想、等价转换思想有机结合起来,才能使解题得心应手.
2．借助长度及距离公式来进行数形结合
【例3】当时，求函数的最小值。
【解答】从代数角度难以找到解题的途径，若把稍作变形：
。可以观察到就是
点到点的距离之和。如图显然当P点
与坐标原点重合时即。
【评析】象根号下有完全平方的代数式，如果能构造两点间的距离公式，往往会收奇效。
3．借助直线的斜率、截距等进行数形结合
【例4】已知实系数方程x2+(m+1)x+m+n+1=0的两个实根分别为x1,x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是
A．（-2，-） B．（-2，-]
C．（-1，-） D．（-2，-1）
【解答】解答此题的关键是要由根的分布
将条件转化为m,n的关系式,令,则的两根分别满足0＜x1＜1，x2＞1，即有,即为以上区域的动点(m,n)和原点连线的斜率的范围,
答案为 A
【评析】通过对的几何意义的理解,转化为求可行域内的动点与原点的斜率,较好地利用数形结合的思想解决知识的交汇点的问题.
【例5】已知直线y=kx(k＞0)与函数y=2sin(x-)的图像（如图所示）有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为α、β，β＜α，
则下列结论中正确的是
A．tan(α-)=β B．tan(β-)=α
C．tan(α-)=α D．tan(β-)=β
【解答】由图可知直线y=kx(k＞0)在x<0时总与曲线有一个交点,故要求直线在x>0时只能有一个交点,等价于直线与曲线相切,且斜率为函数y=2sin(x-)在切点处的导数,切点的横坐标为, 答案为 C
【评析】斜率与切线是数形中的典型代表,与导数结合起来就更增加了数学的魅力.
4．借助线性规划进行数形结合
【例6】给出平面区域G，如图所示，其中A(5,3)，B(2,1)，C(1,5)，
若使目标函数 取得最小值的最优解有
无穷多个，则的值为
A． B．
C．2 D．4
【解答】考察优函数,将对应的直线沿着x轴正方向平移,P的值增大,当使目标函数 取得最小值的最优解有无穷多个时,则直线与BC重合,所以此时斜率为-4, 答案选D
【评析】线性规划是高考中的热点内容,所命题的形式常考常新,灵活性很强,但求解这类问题的最佳方法就是利用数形结合,先理解所研究对象的几何意义,然后用运动的观点去分析,就可以以不变应万变求解这类问题.
【例7】设P:,若非是非的充分非必要条件,那么的 条件,的取值范围为 .
【解答】理解原命题与逆否命题等价不难知道充分非必要条件,画出P和的图形,理解表示的为圆外的部分(不含边界),因而可知的最大半径为与直线相切时,故答案为
【评析】解答本题的关键是要注意,图形的边界是虚线,
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，形使抽象
问题具体化，同时数赋予了思维的严谨两方面思考问题
保证了解题的严密性.
5．借助向量进行数形结合
【例8】在中,若对任意的实数,有,则
A.. 钝角三角形 B.锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上不确定
【解答】本题较好的考查了向量的几何意义,当变化时,
为动线段的长度,因而可以确定
为直角三角形. 答案为 C.
【评析】向量是一个很好的数学工具,它有机
的将数形结合起来,尤其是求解有关角度和长度的问题更显现出它无与伦比的优越性.
【例9】设O点在内部,且有,则的面积与面积之比为
【解答】因为,,
令,
N点在OB上,,故面积之比为3:1
【评析】应用向量来求解要求对有关几何性质深刻理解,如共线定理,三角形中的垂心、重心、内心等性质,当数用形来直观反映时,就要求对形的本质深刻理解并熟练应用.
6．借助其他几何载体进行数形结合
【例10】(2008年湖北省重点中学联考试题)的内切园与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,已知,内切园圆心,设点A的轨迹为L.
求L的方程;
过点C作直线交曲线L于不同的两点M,N,问在轴上是否存在异于C点的点Q,使对任意的直线成立,若存在,试求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【解答】（1）由题知
根据双曲线定义知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点，故的方程为（）
（2）设点、、，由（1）可知

解法一:
由对MN的分析先猜想出结论:存在点Q
即为双曲线右准线与x轴的交点,下面对结论给
予证明:分别过M,N点作右准线的垂线交于,
由第二定义可知,又,
有,,∽,则有,
故存在点的坐标为时，使成立
解法二:
①当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立
②当直线不与轴垂直时，设直线：由
得
要使，只需成立
即 即
即 故
故所求的点的坐标为时，使成立
【评析】圆锥曲线中设计离心率和准线位置关系问题,运用第二定义找它们之间关系比较简捷明了.在求圆锥曲线方程的题中,尽量运用平面几何的知识探究，运用数形结合解题,会收到较好的效果.减少许多繁杂的推理和运算,但要注意到范围的准确。数形结合的作用就在于利用形能简化数的运算，反过来运用数又能使形更加精细。本题中由内切圆的性质,获取了一个很好的等量关系使问题得到轻松解决;而在第二问中由大胆猜想出结论,用双曲线的定义灵活的给予证明,充分体现了数形结合思想在解题中的作用.
三、习题精选
1.设数集，且P、Q都是集合的子集，定义：叫做集合的“长度” ；若集合
P∩Q的长度的最小值为，最大值为，则+= .
2.对,记,函数的最小值是
3.如果点P在平面区域上,点Q在曲线上,那么的最小值为
A. B. C. D.
4.F1 F2分别是双曲线的左右焦点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点
为P，I和G分别是△PF1 F2的内心和重心，若＝0，则此双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.3
5.已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.
(1)证明;
(2)若,求的取值范围.
6.如图所示,F为双曲线的右焦点,P为双曲线右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点.已知四边形为平行四边形,.
(1)写出双曲线的离心率的关系式;
(2)当时,经过焦点F且平行于OP的直线
交双曲线于A、B两点,若,求此时双曲线的方程.
四、参考答案
1. 2. 数集P、Q的区间长度分别为,而集合的区间长度为2,所以P∩Q的长度的最小值为, P∩Q的长度的最大值为,则+=2
2. .函数的图象如图所示,由图象可得最小值为
3.画出题中所给的不等式组所表示的平面区域,结合图形可知的最小值等于圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离减去该圆的半径,即是. 选A
4. 由＝0可知,设内切圆与x轴交于点D,则有,则点I和点G、 D点横坐标相等设为.由焦半径公式有,,又由重心性质得, 选D
5.由题意得
(1)由函数在处取得极大值,在处取得极小值,知是的两个根,所以,当时, 为增函数,,由.
(2)在题设下, 等价于即
此不等式组表示的区域为平面上三条直线所围成的三角形的内部,其三个顶点为,Z在这三点的值依次为,所以z的取值范围为
6.解:设为与双曲线右准线的交点,F(C,0),则,.
,,
当时,由解得,
由此得双曲线方程为
下面确定a的值.设双曲线左准线与x轴的交点
为N,点P的坐标为,则, .
由于P在双曲线的右支上,且位于x轴的上方,因而,
所以直线AB的斜率为
通过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为,则直线AB的斜率为,直线AB的方程为,将其代入双曲线方程整理得
, .
=
由,于是所求双曲线的方程为
【作者单位: 董方博, 湖北省黄石二中
陈火焱, 湖北省浠水县第一中学】
(本文发表于《语数外学习》高考数学第四期上)

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