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2009届新课标数学考点预测(21):不等式选讲（一）
一、考点介绍
（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).
（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式． |ax+b|≤c　 |ax+b|≥c　
|x-c|+|x-b|≥a
（3）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
（4）能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
（5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。
二、高考真题
１．（2007广东卷理14）设函数，则 ；若，则的取值范围是 ．
【解析】.由得，则，得
【答案】6；
2.（2007海南、宁夏卷理22）设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
【解析】（Ⅰ）令，则
．作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．
3．（2008广东卷理14）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为
【答案】
4．（2008海南、宁夏卷理22）已知函数．
（Ⅰ）作出函数的图像；
（Ⅱ）解不等式．
【解析】（Ⅰ）
图像如下：
（Ⅱ）不等式，即，
由得．
由函数图像可知，原不等式的解集为．
5．（2008江苏卷理21）设a，b，c为正实数，求证：．
【解析】：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
三、名校试题
考点一：含有绝对值的不等式的解法
1（2008届宁夏银川一中高三年级第二次模拟考试）设函数f(x)=|2x-1|+x+3,
（1）解不等式f(x)≤5,
（2）求函数y=f(x)的最小值。
【解析】（1）当x<时，f(x)=1-2x+x+3≤5, -x≤1, x≥-1, -1≤x<
当x≥时，f(x)=2x-1+x+3≤5 x≤1 ≤x≤1
综上所述解集为[-1， 1]
（2）f(x)=由图象可知[f(x)]min=
考点二：绝对值的不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a+b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).
2.[福建省2008年12月高三月考数学（理科）试卷]求|2x-3|+|3x+2|的最小值.
【解析|2x-3|+|3x+2|=|2x-3|+|2x+|+|x+|≥|（2x-3）-（2x+）|+|x+|≥4+0=4。
当x=-时取等号，∴|2x-3|+|3x+2|的最小值为4。
考点三：平均不等式
3.( 2008年南通四县市高三联合考试)求函数f(x)=sin3xcosx的最大值．
【解析】当sinxcosx＜0时，函数f(x)不可能取最大值．
当sinxcosx＞0时，f 2 (x)=sin6xcos2x=27（）（）（）cos2x ≤27=，f(x)的最大值是． -
4.( 2008年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题)已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：.
【解析】由，所以
同理： ，
相加得：左(
考点四：证明不等式的基本方法
5.( 2008年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考试)
设a∈R且a≠-,比较与-a的大小．
【解析】 -()=,………………………………………………3分
当且时,∵ ,∴． ………………6分
当时, ∵ ,∴=． …………………………7分
当时,∵ ,∴．………………………… 10分
考点五：数学归纳法
6.（山东省潍坊市2008年5月高三教学质量检测）已知各项均为正数的等比数列{an}，公比q>1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，试比较An与Bn的大小，并证明你的结论.
【解析】（1）………………2分
的等差中项，

解得q=2或（舍去），………………………………………………4分
………………5分
（2）由（1）得，
当n=1时，A1=2，B1=（1+1）2=4，A1 当n=2时，A2=6，B2=（2+1）2=9，A2 当n=3时，A3=14，B3=（3+1）2=16，A3 当n=4时，A4=30，B4=（4+1）2=25，A4>B4；
由上可猜想，当1≤n≤3时，AnBn.……………………8分
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立.
②假设n=k（k≥4）时，Ak>Bk.成立，即,

即当n=k+1时不等式也成立，
由①②知，当
综上，当时，An四、考点预测
高考对这部分知识的考查主要考查绝对值的几何意义，解含参绝对值不等式的解法，证明不等式的基本方法，会用数学归纳法证明一些简单问题等.题型仍以填空题或解答题形式出现.
1.不等式的解集为__________________.
【解析】当≤－2时，原不等式可以化为≥5，解得≤－3，即不等式组的解集是.
当时，原不等式可以化为≥5，即3≥5，矛盾.所以不等式组，的解集为，
当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，
即不等式组的解集是.
综上所述，原不等式的解集是; 【答案】
2.若的最小值为3, 则实数的值是________.
【解析】由，得或8
【答案】或8
3.已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)的值域为 ；若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ．
【解析】 当x≤1时，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1，当１＜x≤２时，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1;当x＞２时，g(x)=|x-1|-|x-2|=1.综合以上，知-1≤g(x) ≤1。
的解集为空集，就是1= []max＜所以 .【答案】[－１，１] ； ．
4.[宁夏区银川一中2009届高三年级第四次月考数学试题（理科）选考题] 已知|x-4|+|3-x|（1）若不等式的解集为空集，求a的范围
（2）若不等式有解，求a的范围
【解析】解法一：（1）当 x≥4 时 ，（x-4）+（x-3） < a ，f（x）=2x-7 在 x≥4上单调递增 ， x=4时取最小值1。若要求不等式无解，则 a 小于或等于该最小值即可.即 a ≤ 1;
当 4>x>3时 ，（4-x）+（x-3） < a ，1 < a .若要求不等式无解，则 a ≤ 1。否则不等式的解集为全集;
当x ≤ 3 时 ,（4-x）+（3-x） < a , 7-2x < a. 在x ≤ 3区间，不等式左端的函数单调递减.在 x=3 时取最小值 1.若要求不等式无解，则 a ≤ 1
综合以上 a ≤ 1 .
（2）当:x≥4时:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因为x≥4,所以2x-7≥1 ;
当 3≤x＜4时:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1 ;
当:x＜3时:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因为x＜3,所以-x＞-3,所以7-2x＞1.
所以|x-4|+|3-x|最小值为1,要使|x-4|+|3-x|只需a小于等于|x-4|+|3-x|的最小值,所以a≤1
所以有解时是a>1
解法二: 设y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）
等价于:
其图象为:
由图象知: 当a≤1时,|x-4|+|3-x|当1＜a时,|x-4|+|3-x|5.(2008届苏北三市高三年级第一次联合调研) 设的三边长分别为，
（1）判定 的符号；
（2）求证：．
【解析】（1）因为的三角形的三边，所以……4分
（2）
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2009届新课标数学考点预测（22）：不等式选讲(二)
一、考点介绍
不等式选讲是对以前所学不等式内容的深化，通过不等式的证明，不等式的证明，不等式的几何意义、不等式的背景，从不等式的数学本质上加以剖析，从而提高思维逻辑能力、分析解决问题的能力。主要内容是(1)绝对值不等式的解法及证明；(2)柯西不等式；(3)用不等式求函数极值；(4)数学归纳法在证明不等式方面的应用。
二、高考真题
1．（2008广东卷，数学理，14）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
〖解析〗方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围。
〖答案〗
2．（2008海南宁夏卷，数学理，24）已知函数。
（1）作出函数的图象；（2）解不等式。
〖解析〗本题考查绝对值不等式的解法，我们可以利用“零点分段法”，先求出每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，然后分类讨论，得到一个分段函数。
〖答案〗（Ⅰ）
图像如下：
（Ⅱ）不等式，即，
由得．
由函数图像可知，原不等式的解集为．
3．（2008年江苏卷，数学，21D）
设a，b，c为正实数，求证：．
〖解析〗本题是几何平均不等式的应用，我们要灵活地掌握它。
〖答案〗因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
三、名校试题
1．(2008全国高中数学联赛江苏初赛)如果实数，，，满足，，其中，为常数，那么的最大值为 ( )
A． B． C． D．
〖解析〗由柯西不等式；或三角换元即可得到
，当，时，. 选B.
〖答案〗B
2．（2008广州市育才中学模拟）不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
〖解析〗当时，原不等式可以化为，
解得，即不等式组的解集是.
当时，原不等式可以化为，
即，矛盾.所以不等式组，的解集为，
当时，原不等式可以化为，解得，
即不等式组的解集是.
综上所述，原不等式的解集是；
〖答案〗D
3．(2008年河北省高中数学竞赛)已知则的最小值是（ ）．
A B C 2 D 1
〖解析〗记，则，，（当且仅当，即，时取等号）．故选A．
〖答案〗A.
4．（2009年无锡调研）已知，，均为正数．求证：
〖解析〗本题考查不等式的证明，根据不等式的特点，利用基本不等式即可证明。
〖答案〗因为x，y，z无为正数．所以，同理可得，
，当且仅当时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．
5．(2008年高中数学联赛江西预赛)设为非负实数，满足，
证明：．
〖解析〗证明不等式的思路主要有三：(1)比较法；(2)分析法；(3)综合法。本题可以使用综合法，结合基本不等式从左向右证明。
〖证明〗为使所证式有意义，三数中至多有一个为；根据对称性，不妨设，则，对正数作调整，
由于 ，取等号当且仅当，
此时条件式成为，则，且有，于是
，
只要证，即，也即，
此为显然，取等号当且仅当，故命题得证．
四、考点预测
（一）本章是对必修5中不等式的补充和深化，从新课标高考看，考点主要有两部分：一是绝对值不等式；二是不等式的证明与应用(求最值)，但要注意不等式的证明与数学归纳法的结合。但是近年来高考对不等式的证明难度要求有所降低，出现题目较少，因此应将绝对值不等式的解法和证明放在重点位置。本部分作为四选二的内容之一，必有一道选做的解答题，题目多为中低档题。
（二）考点预测题
1．设，且，。则的取值范围为_______.
〖解析〗本题考查不等式的基本性质，首先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围。
〖答案〗设(，为待定系数)，则，即。
所以。解之得，，所以
又，，所以，故。
2．已知不等式在有解，求的取值范围。
〖解析〗本题考查绝对值不等式的解法。可以利用不等式的性质解答。
〖答案〗由不等式的性质知：，得
，若原不等式在有解，则的取值范围是。
3．设，，均为正实数，求证：
〖解析〗本题考查不等式的证明。对这类问题，一要熟练掌握不等式常用的证明方法，即比较法、分析法、综合法等。二要对证明不等式一般性命题的数学归纳法，应该熟悉其原理。三要注意在证明过程中，可以适当地使用放缩法。本题需要利用基本不等式结合放缩法证明。
〖答案〗由于，，均为正实数，
所以，当时等号成立；
，当时等号成立；
，当时等号成立；
三个不等式相加，即得，
当且仅当时等号成立。
针对《考试说明》对本部分的要求，我们在复习是要注意：(1)重双基。对不等式的基本性质、绝对值不等式的解法、应用不等式求最值的方法、不等式证明的方法等理解透彻，熟练应用。(2)重课本。复习中以课本为主，参照课本，不要认为加大难度，不要一味地“钻”难题、怪题。
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2009届新课标数学考点预测（23）选择题的解法
一、考点分析
1.题型的结构与解答特点：
数学选择题通常是由一个问句或一个不完整的句子和四个供考生选择用的选择肢构成，即“一干，四支”。考生只需从选择四肢中选择一项作为答案，便完成了解答。高考数学选择题的解答特点是“四选一”，怎样快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分必要的，也是决胜高考的前提，
2.数学选择题的学科特点：
概念性强：数学概念是抽象的，而且是复杂的，学好考好数学的关健是正确理解好概念。数学选择中有一部分是以基本概念为基础命制和构造出来的。因此，快速准确地解好数学选择题的前提是深刻理解数学基本概念。
量化突出：数学是研究现实世界中数量关系的科学，因此数学选择题的数量特点十分明。但是，盲目计算又是解选择题的一大“误区”，只有建立在对的数学概念的深刻理解，熟练掌握基本性质，基本方法，基本定理的基础之上科学合理地利用联想、推理、类比等分析来简化计算才能羸得高考的时间，确保选择题的准确，从而才能奠定高考中数学高分。
辨证思维，善辨真伪。
数形结合，相互转化。
一题多解，巧解高效。
3.考查特点：
能在较大的知识范围内，实现对基础知识，基本技能和基本思想方法的考查；
能比较确切地测试考生对概念、原理、性质和法则、定理和公式的掌握和理解；
在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力、运算能力空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。
4.思维策略
数学选择题每次试题多、考查面广，不仅要求考生有正确的分辨能力，还要有较快的解题速度，为此，需要研究解答选择题的一些技巧。总的来说，选择题属小题，解题的原则是：“小题巧解，小题不能大做”。解题的基本策略是 ：充分地利用题干和选择肢的两方面条件所提供的信息作出判断。
先定性后定量，先特殊后推理；先间接后直解，先排除后求解。
5.解题策略
（1）选择题中的题干、选项和四选一的要求都是题目给出的重要信息，答题时要充分利用。
（2）解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做。求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时出了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。
（3）解答选择题应注意以下几点：认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证。
二、解题策略
1、直接法：直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.
例1、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。
例2、（08浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）
（A）3 （B）5 （C） （D）
解析：由已知得，，解得，故选D.
2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
（1）特殊值
例3、（08四川）若，则的取值范围是：( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
解析：取.
例4、，则 （ ）

解析：由不妨取，则故选B.
例5、（08全国二）若，则（ ）
A．<< B．<< C． << D． <<
解析：令则，，故选C.
（2）特殊函数
例6、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
解析：取f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选B。
（3）特殊数列
例7、已知等差数列满足，则有　　　　　　　（　　　）
A、　　B、　　C、　　D、
解析：取满足题意的特殊数列，则，故选C。
（4）特殊位置
例8、直三棱柱ABC—A/B/C/的体积为V，P、Q分别为侧棱AA/、CC/上的点，且AP=C/Q，则四棱锥B—APQC的体积是（ ）（A） （B） （C） （D）
解析：令P、Q分别为侧棱AA/、CC/的中点，则可得，故选B
例9、（99高考）向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( )
解析：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。
（5）特殊点
例10、（08天津）函数（）的反函数是（ ）
（A）（）　　 （B）（）
（C）（） 　　（D）（）
解析：由函数，x=4时,y=3，且,则它的反函数过点（3，4），故选A
（6）特殊方程
例11、双曲线b2x2－a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos等于（ ）
A．e B．e2 C． D．
解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为－=1，易得离心率e=,cos=，故选C。
3、图像法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。
例12、
解析：如图，令 ，则它们分别表示半圆和过点（0，2）的直线系，由图可知，直线和半圆相切，以及交点横坐标在（－1， 1）内
时，有一个交点，故选D.

4、验证法(代入法)：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。
例13、满足的值是 （ ）

解析：将四个选择支逐一代入，可知选.
5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。
例14、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ）
A．（1， B．（0， C．[，] 　D．（，
解析：因为三角形中的最小内角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故应选A。
6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。
（1）特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。
例15、已知，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、　　
解析：由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。
（2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。（1）若（A）真（B）真，则（A）必排出，否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾. (2) 若（A）（B），则（A）（B）均假。 （3）若（A）（B）成矛盾关系,则必有一真,可否定(C)(D).
例16、设a,b是满足ab<0的实数，则　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
解析：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。
7、估算法：就是一种粗略的计算方法，即对有关数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法。
例17如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，
EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A）9/2 B）5 C）6 D）15/2
解析：连接BE、CE则四棱锥E－ABCD的体积
VE-ABCD=×3×3×2=6，又整个几何体大于部分的体积，
所求几何体的体积V求> VE-ABCD，选（D）
说明：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。
2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。“不择手段，多快好省”是解选择题的基本宗旨。
三、跟踪训练：
(一)直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法.
1.设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于______. (A)0.5 (B)－0.5 (C)1.5 (D)－1.5
1.【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B。也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
2. 七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是( )
(A)1440 (B)3600 (C)4320 (D)4800
2.【解一】用排除法：七人并排站成一行，总的排法有P种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×P种。因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：P－2×P＝3600,对照后应选B；
【解二】用插空法：P×P＝3600.
3.已知则的值等于( ). (A) 0 (B) (C) (D) 9
3.[解] 由,可知选C.
4.
5.
5.[解]
 (二) 特例法：
6.定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式
①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)其中成立的是( )
(A)①与④ (B)②与③ (C) ①与③ (D) ②与④
6.【解】令f(x)＝x，g(x)＝|x|，a＝2，b＝1,则：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正确；f(a)－f(-b)＝2－(－1)＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正确.所以选C.
【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，从而①式正确；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，从而③式正确.所以选C.
7.如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝( )
(A)2 (B)2 (C) 2 (D) (n－1)2
7.【解】用特值法：当n＝2时，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D.所以选B.
【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C＋C＋…＋C＋C＝2，选B.
8.过抛物线y＝x2(a> 0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是p、q，则＝(　　).
(A)2a　　 (B)　　 　(C) 4a　　　　(D)
8.[解] 由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，的值都是的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则p＝q＝，所以=，故应选(D)
9.设a>0,f(x)=,曲线y=f(x)在点处的切线倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴的距离的取值范围为( )
(A) ???????????? (B) ??????????(C) ???????(D)
9.[解]取, 则
当曲线在点处的切线倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴的距离的取值范围为,只有(B)合,∴选(B).
10.
10.
.
(三) 筛选法:
11. 已知y＝log(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
(A)[0,1] (B)(1,2] (C) (0,2) (D) [2,+∞)
11.【解】∵ 2－ax是在[0,1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x<1，这与[0,1]不符合，排除答案C.所以选B.
12.过抛物线y＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是( )
(A)y＝2x－1 (B)y＝2x－2 (C) y＝－2x＋1 (D) y＝－2x＋2
12.【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；
【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则，消y得：
kx－2(k＋2)x＋k＝0,中点坐标有,消k得y＝2x－2,选B.
13.关于直线以及平面，下面命题中正确的是( ).
(A)若 则 (B)若 则
(C)若 且则 (D)若则
13.[分析]对于选支D, 过作平面P交平面N于直线，则，而从而又 故 应选(D)
请读者举反例说明命题A, B, C, 均为假命题.
14.
14.[解]
15.
15.[解]
.
(四)代入法：
将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.
16.函数y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是_____.(A) (B) (C) 2 (D) 4
16.【解】代入法：f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而
f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x),所以应选B；
【另解】直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋),T＝π，选B.
17.函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴的方程是( )
(A)x＝－ (B)x＝－ (C)x＝ (D)x＝
17.[解](代入法)把选择支逐次代入，当x＝－时，y＝－1，可见x＝－是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A.
另解：(直接法) ∵函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程为2x＋＝kπ＋，即x＝－π，当k＝1时，x＝－，选A.
代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题.若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.
(五) 图解法：
18.在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是( )
(A) (，) (B)(,－) (C) (－,) (D) (－,－)
18.【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A。
【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得。
19.设函数 ，若，则的取值范围是( )
(A)(,1) (B)(,) (C)(,)(0,) (D)(,)(1,)
19.解：(图解法)在同一直角坐标系中，作出函数
的图象和直线，它们相交于(－1，1)和(1，1)两点，由，得或.
20.函数y=|x2—1|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
20.解：本题如果图象画得不准确，很容易误选(B)；答案为(C).育网》http://www.7caiedu.cn
2009届新课标数学考点预测（24）：填空题的解法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。下面是一些常用的方法。
（一）定义法
有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。
例1. 的值是_________________。
解：从组合数定义有：
又 ，代入再求，得出466。
例2. 到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方_______________。
解：据抛物线定义，结合图知：
轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：
（二）直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例3设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。
例4(08广东卷)已知（是正整数）的展开式中，的系数小于
120，则 ．
解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。
例5现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
（三）特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例6 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
例7 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例8 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。
例9如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是
解： 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2) 例10已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是 。
解： 考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n满足题设条件，于是=。
例11椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。
解： 设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-（四）数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例12 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是。
例13 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
（五）等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例14（08湖南理）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),
则函数的图象一定过点 .
解：由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点
例15 不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。
例16 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，
∴。
例17 函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
（六） 淘汰法
当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。
例18. 已知，则与同时成立的充要条件是____________。
解：按实数b的正、负分类讨论。
当b>0时，而等式不可能同时成立；
当b＝0时，无意义；
当b<0时，若a<0，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为a>0，b<0，容易验证，这确是所要求的充要条件。
跟踪训练：
1已知函数，则
讲解　由，得，应填4.
集合的真子集的个数是
讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.
3.如果函数，那么　
讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝，应填
4.　如果函数的图象关于直线对称，那么
讲解　，其中.
是已知函数的对称轴，
，
即　　　　，
于是　　　　　故应填 .
5.以下四个命题：
①
②
③凸n边形内角和为④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.
讲解 ①当n=3时，，不等式成立；
当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则
　　　；
③　，但假设成立，则
　　　　　　
④　，假设成立，则
　　　　
故应填②③.
　6．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.
讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为
　　　　　　　　　　　　
故应填
7． 的展开式中的系数是
讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有
　　　　　
故应填1008.
8． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有
　　　　
从而　　　，故应填
9． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）
讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图所示. 故应填.
10． 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为，有

则知
显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
故应填或
11． 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由
消去x，得 （*）
解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即
再结合半径，故应填
高考题选：
1、（07宁海）双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　
【答案】：3
【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别
向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，
则：
2、（07宁海文）设函数为偶函数，则　　　　
【答案】：-1
【分析】：
（07宁海理）设函数f(x)=[(x+1)(x+a)]/x为奇函数，则　　　　
【答案】：-1
【分析】：
3、（07宁海文）是虚数单位，　　　　　（用的形式表示，）
【答案】：
【分析】：
（07宁海理）是虚数单位，（－5+10i)/(3+4i)=　　　　　（用的形式表示，）
【答案】：
【分析】：
4、（07宁海文）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　
【答案】：
【分析】：

（07宁海理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种（用数字作答）
【答案】：240
【分析】：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，
共有种安排方法。
5、（07广东文）已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是
【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.
（07广东理）在直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线 的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________。
答案：;
解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=.
6、（07广东文）函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是
【解析】由可得,答案:.
（07广东理）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=_______________(答案用数字或n的解析式表示)
答案：;8;n(n-2)。
解析：;;
7、（07广东文）数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5【解析】{an}等差,易得,解不等式,可得
（07广东理）若向量满足，的夹角为60°，则··=______
答案：；
解析：，
8、（07广东）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
答案：
解析：；
9、（07山东文）设函数则
【答案】【分析】：
。
10、（07山东文）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则1/m+1/n的最小值为
【答案】:4【分析】：函数的图象恒过定点，
，，，
（方法一）：， .
（方法二）：
11.（07山东理）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则1/m+2/n的最小值为_______.
【答案】: 8。
【分析】：函数的图象恒过定点，，，，
12、（07山东文）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】【分析】：构造函数：。由于当时，
不等式恒成立。则，即
。解得：。
13.（07山东理）设D是不等式组x+2y≤10且2x+y≥3且0≤x≤4且y≥1表示的平面区域，则D中的点
P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值是_______s
【答案】:
【分析】：画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为
14、（07山东文）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是____________________
【答案】:.
【分析】：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。
15.（07山东理）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.
【答案】: 【分析】：过A 作轴于D，令，则，，。
16.(08四川延考)函数 的反函数为 。
【答案】:，所以反函数，
17.(08四川延考)设等差数列的前项和为，且。若，则 。
【答案】:，取特殊值
令，所以
18.(08四川延考)已知函数 在单调增加，在单调减少，则 。
【答案】:由题意
又，令得。（如，则，与已知矛盾）
19.(08四川延考)已知，为空间中一点，且，则直线与平面
所成角的正弦值为 。
【答案】:由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，
设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值
20（08湖南理）
.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体
和 (m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则= ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于 .
【答案】:第二空可分:
①当 时, ;
②当 时, ;
③当时, ;
所以
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2009届新课标数学考点预测（25）解答题的解法
在高考数学试卷中，解答题包括计算题、证明题、应用题等。其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。 纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：
(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。
(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。
(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。
(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.
一、三角与三角函数的综合问题
【例1】已知函数
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，
画出函数上的图象.
命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。
【分析及解】（Ⅰ）
所以，的最小正周期，最小值为
（Ⅱ）列表：
x
0
2
0
－2
0
故画出函数上的图象为
评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.
跟踪训练1．（本小题满分12分）设函数,其中向量, ,x∈R.
（I）求的值及函数的最大值；
（II）求函数的单调递增区间.
二、概率与统计的综合问题
【例2】如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）. 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.
（I）求点P恰好返回到A点的概率；
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，
用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望.
命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。属中档题的范畴。从命题者立意看，命题材料源于课本，贴近考生，贴近生活，背景公平，设问新颖。解题时，多读题目，多审题，注意语言转换是关键。
【分析及解】（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为因为只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为，若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为
若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为所以，点P恰好返回到A点的概率为：
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，
所以，Eξ=2·+3·+4·=
评注：高考中概率大题多以实际问题为背景，时代感强.其解题的关键是利用语言转换策略把“问题情景”译为数学语言，抽象成数学问题， 以“摸球”为背景的；以体育竞赛（比赛胜负、射击、投篮命中率）为背景的；以知识能力（选题、做题、抢答、面试、考驾照）为背景的；其他的还有像投掷硬币、旅游交通、经济利润、产品的（抽取、检验，加工）等为背景的。这些背景在教材或高考复习备考资料中均能找到与其相关的习题、例题。平时训练既要熟悉以这些材料背景为试题的题型特点，又要归纳整理解题思路。
跟踪训练2．（本小题满分12分）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望．
三、立体几何问题
【例3】如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2.
（1）求异面直线PC与BD所成的角；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？
若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.
命题意图：立体几何问题主要考点是底面为四边形的柱体或锥体或折叠问题，主要考距离、二面角、线面垂直、平行。重点是处理空间线、面关系的能力，运动的观点、探究、开放的思想（存在性问题）。从这个角度来看，变化并不大，题目的难度也不大，属中档题的范畴，但是还要关注立体几何试题命题的一些变化趋势，关注试题的创新。因此，立体几何的复习要在强化常规题训练和关注试题创新这两个方面下功夫。本题一道已从解决现成问题发展为探究问题的存在性,解决问题的尝试性。
【分析及解】如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
（1）
∴
∴ ，∴异面直线PC与BD所成的角为60°
（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记

∴ 若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，
即，∴
∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
评注：立体几何的试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几何量的计算，即围绕平行，垂直，距离和角的问题进行命题设计，其中平行和垂直是线面的位置关系，距离和角是线面的数量关系，在试题设计时，仍然是以正方体，长方体，棱柱，棱锥为载体，在解法上，则注意解法的多样化，对于一道立体几何试题，往往既能用传统方法求解又能用向量方法求解，有的题目可以用两种方法结合求解。有些立体几何试题,已经不是单一的几何背景,还涉及到解析几何,方程,不等式,最值,概率等其它数学分支,从而考查综合运用数学知识和技能的灵活性.
跟踪训练3．（本小题共12分）在三棱锥中，，
.
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）求二面角A-BC-S的大小；
（Ⅲ）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.
四、函数与导数的综合问题
【例4】已知
（1）若存在单调递减区间，求的取值范围；
（2）若时，求证成立；
（3）利用（2）的结论证明：若
命题意图：函数与导数的综合问题主要考点是函数、导数、单调性、极值、切线、不等式，重点是三次或含自然对数的函数的导数、单调性、极值、切线、不等式（主要是恒成立、能成立或利用导数证明不等式问题）。属高档题的范畴，考查交汇知识综合处理能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想
【分析及解】（1）
，有单调减区间，∴ 有解
， ∴有解
①时合题意
②时，，即， ∴的范围是
（2）设， ，
0
+
0
-
最大值
∴有最大值0，∴恒成立
即成立
（3）


，∴求证成立
评注：导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
跟踪训练4．（本小题满分12分）已知函数
（I）当的单调区间和极值；
（II）若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.
五、圆锥曲线的综合问题
【例5】已知抛物线，过定点的直线交抛物线于A、B两点.
（Ⅰ）分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点在定直线上.
（Ⅱ）当时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示），若不存在，请说明理由.
命题意图：圆锥曲线的综合问题主要考点是双曲线、抛物线、椭圆相结合，重点是圆锥曲线
的统一定义，点、弦、面积、取值范围、定值，函数与方程思想、数形结合思想。
【分析及解】(Ⅰ)由，得，设
过点A的切线方程为：，即
同理求得过点B的切线方程为：
∵直线PA、PB过，∴,
∴点在直线上，∵直线AB过定点，
∴，即∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.
（Ⅱ） 设，设直线的方程为：，
则直线的方程为：，
，
， ①
设弦PQ的中点，则
∵弦PQ的中点在直线上，∴，
即 ②
②代入①中，得 ③
由已知，当时， 弦长|PQ|中不存在最大值.
当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，
即当时，弦长|PQ|中的最大值为
评注：圆锥曲线的试题涉及到函数、方程、导数、不等式、三角、向量、数列等各章节的知识，常把代数、三角、向量、数列、导数等知识交汇在一起成为典型题。而求曲线方程、弦长、角、面积、最值、轨迹、参数的值或取值范围，证明某种关系、证明定值、探索型、存在性讨论等问题是常考的题型，具有一定的综合性和灵活性，计算也较复杂，需要有较强的综合能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。
跟踪训练5．（本小题满分12分）
已知椭圆C:（a＞b＞0），点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P(2,)在直线x=上，且|F1F2|=|PF2|,直线:y=kx+m为动直线，且直线与椭圆C交于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．
六、数列的综合问题
【例6】数列{an}，a1=1，
（1）求a2，a3的值；
（2）是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设，
证明：当
命题意图：数列的综合问题主要考点是数列、导数、不等式、数学归纳法，重点是综合、灵活运用数学知识分析、解决问题的能力，充分体现考生的综合数学素质。
解：（1）
（2）设，
即
故
∴
又 使得数列 是等比数列
（3）证明：由（1）得
∴，故
∵
∴
，现证
当n=2时，，
故n=2时不等式成立，当得
∵
评注：数列解答题的命题热点是与不等式交汇,主要是呈现递推关系的综合性试题，其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列的应用性解答题.
跟踪训练6．（本小题满分12分）在直角坐标平面上有一点列 对一切正整数n，点Pn在函数的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，－1为公差的等差数列{xn}.
（1）求点Pn的坐标；
（2）设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，）.记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求
（3）设等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求数列的通项公式.
跟踪训练参考答案：
1．（共12 分）解：（I），，
= ·
2分
4分
= . 5分
又 6分
函数的最大值为. 7分
当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.
（II）由（Z）， 9分
得 （Z）. 11分
函数的单调递增区间为[](Z). 12
2．解：(Ⅰ) 选手甲答道题进入决赛的概率为； ……………1分
选手甲答道题进入决赛的概率为；…………………………3分
选手甲答5道题进入决赛的概率为； …………………5分
∴选手甲可进入决赛的概率++． …………………7分
(Ⅱ)依题意，的可能取值为．则有，
，
， …………………………10分
因此，有
ξ
3
4
5
P
． ……………………………12分
3．（共12分）解法一：
解：（Ⅰ）且平面.-------------2分
为在平面内的射影. --------3分
又⊥, ∴⊥. ----------4分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，
∴为所求二面角的平面角. -------6分
又∵==4,
∴=4 . ∵=2 , ∴=60°. -------8分
即二面角大小为60°.
（Ⅲ）过作于D，连结,
由（Ⅱ）得平面平面,又平面,
∴平面平面,且平面平面,
∴平面.
∴为在平面内的射影.
. --------10分
在中，，
在中，，.
∴ =. ------------11分
所以直线与平面所成角的大小为. ----12分
解法二：解：（Ⅰ）由已知，
以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,. -------2分
则，.
.
. ----------------4分
（Ⅱ），平面.
是平面的法向量. -------5分
设侧面的法向量为,
,.
,
.令则.
则得平面的一个法向量. ---------6分
.
即二面角大小为60°. ----------8分
（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量. --------10分
又， . -----11分
所以直线与平面所成角为 ---------12分
4．解：（I）函数
当 …………2分
当x变化时，的变化情况如下：
—
0
+
极小值
由上表可知，函数；
单调递增区间是
极小值是 …………6分
（II）由 …………7分
又函数为[1，4]上单调减函数，
则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.
即在[1，4]上恒成立. …………10分
又在[1，4]为减函数，
所以
所以 …………12分
5．解：椭圆的左、右焦点分别为、 ， ……2分
又， , ………3分
解得，
椭圆的方程为 ． ………4分
（Ⅱ）由，得．
设点、的坐标分别为、，则……5分
．
（1）当时，点、关于原点对称，则．
（2）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得 即
点在椭圆上，有，
化简，得．
，有．………………① ……………7分
又，
由，得．……………………………②　　 　
将①、②两式，得．
，，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． ………………8分
（Ⅲ），点到直线的距离，
的面积
． ………………………… 10分
由①有，代入上式并化简，得．
，． ……………………… 11分
当且仅当，即时，等号成立．
当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分
6．解：（1）
……………………4分
（2）的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，
∴设的方程为
把，
∴的方程为
∵……………………6分
∴
∴
=…………………………8分
（3）
∴S中最大数a1=－17.…………………………10分
设公差为d，则a10=
由此得
又∵∴∴
∴……………………12分
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2009届新课标数学考点预测（26）：函数与方程的思想方法
《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。
一、函数与方程的思想
所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。
所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。
函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
1、利用函数与方程的性质解题
例1．（2008安徽卷，理,11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的都未知，只有一个等式，就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用替换，从而得到两个方程组成方程组解出。
解：因为，用替换得： 因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以，又
解得：，而单调递增且，∴大于等于0，而，故选。
答案：
评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。
2、构造函数解题
例2. (2008天津卷，理，16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 。
分析:题目给出的方程中含有等多个字母，而条件中是对任意的都有，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于的函数，再进一步研究函数的性质。
解：由已知，得（其中），函数为反比例函数，在（）上为单调递减，所以当时，又因为对于任意的，都有，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为。
答案：
评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化为函数，并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出。本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。
3、函数与方程、不等式的转化
例3．（2008广东卷，理14)已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
分析：求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围
解：方程即,利用绝对值的几何意义,得，可得实数的取值范围为
评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到的不等式，求得参数的范围。
例4．（福建德化一中2008，理）若关于x的方程的两根满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出。
解：设函数，∵关于x的方程的两根满足，∴即∴，故选择。
答案：
评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。
4、函数与方程在立体几何中的应用
例5．（2008北京卷，理，8）如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由的特殊性与平面垂直，可以把向平面内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。
解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点，
而且随着点从点向的中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中
点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投
影得，则=，由于，
∴，所以当时，为一次函数，故选
答案：
评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。
5、函数与方程在解析几何中的应用
例6．（2008山东淄博）若、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点，的直线与椭圆交于两不同的点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
分析：（Ⅰ）中可以设出点的坐标，用坐标表示出，得到函数求最值。（Ⅱ）中研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。
解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知
所以　，设　
则　
又 ∴
，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．
解法二：易知，所以，设
则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即时，不满足题设条件
可设的方程为，设，
联立 得
即 　
∴　，
由
即 解得 　　 ①
又为锐角
∴
∴
∴
∴　　　 ②
综①、②可知　
∴　的取值范围是．
评注：解析几何中点的坐标，线的方程都与函数、方程是相通的，可以利用函数与方程的思想解答问题。在解方程组时要注意保证方程组有两不同的解，求得参数的取值范围。
例7．（2008广东卷，理18）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
分析：本题中的抛物线可以看作为二次函数，抛物线在点的切线的斜率就是该点处的函数的导数，由此可以写出此切线方程，从而得到椭圆的右焦点的坐标，进而求出椭圆和抛物线的方程，（2）为探索结论问题，为直角三角形自然要考虑谁是直角，所以需要分类讨论，并转为方程确定其解的个数。
解：（1）由得，当得，
G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
评注：本题较好地把圆锥曲线问题和函数的导函数结合起来解答问题，一般地，对于已经曲线的某一点处的切线，就要转为函数求导，从而求出其切线。另外，还要注意方程的解的个数的探讨。
例8．（2008湖南，理20）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”。给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
分析：本题（1）研究中点弦问题，可以用点差法，求得中点的坐标从而证明；（2）可用中点的坐标表示出弦长，得到关于中点的纵坐标的函数，再求出函数的值域。
解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则
k=.从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0,0）在直线上，所以
而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，
整理得 （·）
则是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t (0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,
l有最大值2(x0-1).
若2所以0综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
评注：本题中需要解方程组求弦长，弦长用弦的中点坐标表示出来，可用配方法求得函数的值域。直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常运用函数与方程的思想来解答。
6、函数与方程在导数中的应用
例9．（2008湖南卷，理21）已知函数.
(I) 求函数的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求的最大值.
分析：由导数研究函数的单调性，求得函数的单调区间，不等式对任意的都成立可等价转化为不等式进而分离出来，不等式恒成立转为函数研究最值问题，可构造函数利用导数研究函数的单调性，从而求出最值。
解: （Ⅰ）函数的定义域是，
设则
令则
当时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，
函数g(x)在上为减函数.
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则
由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上为减函数.
故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为
评注：第（1）问是为第二问铺垫的，在解答问题（2）时，不等式恒成立问题转化为函数研究最值，利用导数研究单调性，进而研究最值是解决函数最值问题的常用方法。理科的题目常常是超越方程或不等式，要利用导数解答问题。而文科的题基本上是含有参数的三次函数，如下一例题
例10．（2008北京卷，文17）已知函数，且是奇函数．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．
分析：本题从函数的性质入手，利用奇函数的定义，确定函数的解析式，，再由导数研究函数的单调性。
解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的，，即．
又 所以．
所以
解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．
当时，由得．
变化时，的变化情况如下表：
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，，所以函数在上单调递增．
评注：为奇函数是对任意的，都成立来说的，也就是恒等式，对应项的系数相等，从而确定系数。在研究含有参数的函数的单调性时往往要对参数在分界值处进行分类讨论。
7．函数与方程在数列中的应用
例11．（2008陕西卷，理22）已知数列的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．
分析：（1）由递推关系求通项，可以进行变形，构造一个特殊数列求出；（2）不等式的左边只含有，右边含有和，可以看作是关于的函数，可证此函数的最大值。
解法一：（Ⅰ），，，
又，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
．
取，
则．
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设，
则
，
当时，；当时，，
当时，取得最大值．
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
评注：本题为利用函数与方程的思想解答数列问题，在求右边函数的最值时，可以用配方法，也可以用导函数求得函数的单调性求其最值。
8.预测题
（1）．（原创）向量，，其中，，则函数的值域为（ ）
分析：先由已知求出的解析式，再由定义域结合函数的图象求出值域
解：∵，
，∵ ∴选
评注：求函数的值域一定要在函数的定义域内结合函数的图象和性质解决。
（2）．（原创）已知是顶点在原点的二次函数，且方程有一个根，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
分析：可以根据函数的图象和对称性，以及函数的图象和对称性解答问题。
解：已知是顶点在原点的二次函数知其图象关于原点对称，又为偶函数，其图象也关于原点对称，又方程即有一个根，所以不等式的解集是，故选B
评注：在解决函数问题时，要结合函数的图象和性质解答问题。
（3）．（原创）当时，不等式恒成立，则的取值范围是
分析：不等式、方程、函数可以相互转化，可以通过构造函数，借助函数的图象来解答。
解：构造函数：．由于当时，不等式恒成立，等价于在区间上函数的图象位于轴下方，由于函数的图象是开口向上的抛物线，故只需即，解得．
评注：结合函数图象，根据题目的要求列出参数所满足的条件是解决这类问题的另一个有效方法．特别是对参数以外的另一个变量是一次的情况，这个方法更有效．
（4）．（原创） 正方体棱长为１，为棱上的动点．
⑴求证：；
⑵当点为棱上的中点时，求证：平面平面；
⑶在棱上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，确定其位置，若不存在，说明理由．
分析：利用有关垂直的判定定理判定，在此基础上解决（3），可以设为，求的的方程解出。
证明：⑴连结,则,
∵平面,平面,
∴是在平面的上的射影，由三垂线定理知，．
⑵设交于点Ｏ，连结，
∵，∴，同理可证，
∴是二面角的平面角．
∵正方体棱长为１，∴，，∴，
∴，∴平面平面．
⑶（理科做）假设在棱上存在一点，使二面角的大小为，
由⑵知．设，则
，，
∴在中，由余弦定理得：,
∴，可化为，
解得，由于，
∴在棱上不存在满足条件的点．（说明：理科学生也可用空间向量解决此题．）
评注：在确定点的位置时，可以先设出，再解方程求出。
（5）．（原创）在直线：上任取一点M，使过M且以双曲线的焦点为焦点的椭圆C的长轴最短
（1）求椭圆C的方程
（2）若一直线:与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
分析：由已知条件判断出所求的椭圆的方程形式,再根据图形和椭圆的定义解决定量的值,从而求得椭圆方程,并通过解方程组研究直线与椭圆的位置关系, 以为直径的圆过椭圆的上顶点,说明有互相垂直的关系,从而由韦达定理解答问题即可.
解：（1）∵双曲线的焦点为,∴椭圆C的焦点为,设椭圆的方程为,关于直线：的对称点为,连接交直线：于点M,则,∴∴椭圆的方程为,椭圆的上顶点为
（2）由方程组得,即,
△=,即,
设A、B两点的坐标分别为,则,,
∴,
∵以为直径的圆过椭圆的上顶点，∴∴,
即,∴,化简得,∴或.当时,直线:过定点与已知矛盾. 当时, 满足,此时直线为:过定点,∴直线过定点.
评注：解决圆锥曲线问题,要注重圆锥曲线的基础知识的考查, 从定义、标准方程、性质,到直线与圆锥曲线位置关系的讨论,做到熟悉常规解法,要注重数形结合的思想和解方程的思想的渗透.要求思维要严密,运算精湛.
（6） (2008年潍坊市,改编)定义在的两个函数和,已知,且在处取极值.
（I）求的值及和的单调区间；
（Ⅱ）求和的图象的交点个数，并说明道理.（其中）
分析: 由在处取极值,可求得的值,,求导确定其单调区间,（3）可构造函数由函数的单调性研究方程的解,即曲线的交点.
解（Ⅰ）由题意：,∴,∵在处取极值.
∴∴ …………………………………………… 2分
∴∴
∵定义域为,∴当时,, 为减函数;
当时, 为增函数. ∴的减区间为, 增区间为.………4分
而 .
当时, ∴在上为增函数;
当时,, ∴在上为减函数.
∴的减区间为, 增区间为
（Ⅱ）与的图象的交点个数,
即求方程：
即：,设
则
∴当时，为减函数.
当时，为增函数.
当时最小,
最小为而的
图象开口向下的抛物线.当时,
∴与的大致图象如图：
∴与的交点个数为2个,即和的图象的交点个数为2个.
评注:本题中的（3）研究两条曲线的交点,解方程（组）比较麻烦,需要转为函数,利用函数的单调性进一步判断出交点的个数.
》2009届新课标数学考点预测（27）：数形结合的思想方法
《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。
数形结合的思想方法
数形结合思想是一种很重要的数学思想，是数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
1．集合问题中的数形结合
例1.（2008北京卷,理1）已知全集，集合，，那么集合等于（ ）
A． B．C． D．
分析:不等式表示的集合通过数轴解答.
解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D
答案:D
评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算
2.利用函数的图象解答问题
例2．(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A. B. C. D.
分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。
解：作出函数的图象如图所示，由图知
当时，函数的值域
为，而为复合函数，相当
于中的的值，所以的值域是，故选B。
答案：B
评注：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。
例3．（2008广东深圳中学）若的图象必不经过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析:由知函数图象单调递增,由知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B.
答案:B
评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换.
例4．（宁夏区银川一中2008）函数的零点的个数是 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
分析：函数的零点的个数就是方程的
解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。
解： 的零点，即使，作函数
的图象和函数的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个
零点，故选
答案：
评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答
3.利用导函数图象解答问题
例5．（2008金华一中模拟）函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
分析：由导函数的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。
解：它的导函数的图象是如图所示的一条直线，可知原函数为二次函数，设解析式为，由于函数的图象过原点，所以，为减函数，∴，由的图象可知当时，函数的图象过原点，所以顶点在第一象限
评注：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉。
例6.（2009莱阳）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是

解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一判断. A,B,C
都有可能成立,排除A,B,C,选D
答案:D
评注:正确图象判断的原则为: 函数的单调增,则导函数值为正, 函数的单调减,则导函数值为负.
4．利用不等式表示的平面区域解答问题
例7．（2008年安徽卷，理15）若为不等式组表示的平面区域，
则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为
分析：作出不等式表示的平面区域，然后再作平行线和
则夹在两平行线之间的部分即为所求。
解：如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直
角边为1等腰直角三角形，区域的面积
评注：涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形数形结合解答问题。
例8．（2008年浙江,理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于__________。
分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，
比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1.所以猜测a介于0和1之间，
b介于0和1之间。
解：不等式组表示的平面区域为，如图，
由恒成立知，当时，恒成立，当成立；当时，恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。
答案：1
评注：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答。另外对于恒成立问题，对个例一定成立，还要转为函数的最值。
5.利用函数借助图形求面积
例9.（2008山东省聊城市）．曲线和
曲线围成一个叶形图(如图所示阴影部分），
其面积是 （ ）
A．1 B． C． D．
分析: 两条曲线围成的面积用微积分求出,并且是上面的函数减去下面的函数的积分.
解:两条曲线的交点为,阴影部分的面积为
评注:对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积,要用微积分解答,注意积分的上限和下限,有时要看图形是否需要切分成多块部分求出.
6．解析几何问

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