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2009届新课标数学考点预测--解三角形
一、考点介绍
解三角形是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度．
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．正弦定理和余弦定理的应用
　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
二、高考真题
1（2008年高考山东卷15）．已知为的三个内角的对边，
向量，．若，且，则角 ．
〖解析〗，
由正弦定理得：，
．
〖答案〗．
2（2007年天津文17）．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
〖解析〗（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
． 所以．
（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
3（2008年高考重庆卷17）．设的内角A，B，C的对边分别为，且， ，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB +cot C的值.
〖解析〗（Ⅰ）由余弦定理得＝
故．
（Ⅱ）解法一：＝
　　　　　　＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
　，
　故．
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
＝
故．
同理可得
　　
　　　．
　　　从而．
4（2008年高考辽宁卷17）．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
〖解析〗（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（Ⅱ）由题意得，
即，
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．
5（2008年高考全国一17）．设的内角所对的边长分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
〖解析〗（Ⅰ）在中，由正弦定理及
可得
即，则；
（Ⅱ）由得
当且仅当时，等号成立，
故当时，的最大值为．
三、名校试题
1（福建2008年高考样卷·文）.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（ ）A. B. C. D.
〖解析〗由得．
〖答案〗D．
2（山东省济南市2009届高三模考理10）．在△ABC中,A=，b=1，面积为，则=（ ）
A． B． C．2 D．4
〖解析〗在△ABC中，，；又，
．
〖答案〗C．
3（2008-2009厦门质检二）．在△ABC中，tanA＝，cosB＝．若最长边为1，则最短边的长为（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗由条件知A、B都是小于，所以角C最大，又，B最小，
由得，，所以最短边长为．
〖答案〗D．
4（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理）16）．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要 小时到达B处.
〖解析〗由题意，对于CB的长度可用余弦定理求解，得，因此，因此甲船需要的时间为（小时）.
〖答案〗．
5 (江苏省南京市2009届高三第一次质量检测数学试题11) ．在中，角所对的边分别为，则 ．
〖解析〗由及正弦定理得：，又，
两式平方相加得：．
〖答案〗13．
6(浙江2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（理）) ．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则△ABC的面积等于 ．
〖解析〗由及余弦定理得：，由得，所以．
〖答案〗2 ．
7(和平区2008年高考数学(理)三模13). 在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为，且，则角B= 度．
〖解析〗由及正弦定理得：，
，所以，所以，又，．
〖答案〗60．

8（广东省四校联考2009届高三上学期期末考试数学理15）.如图在中,
(1)求； (2) 记的中点为, 求中线的长．
〖解析〗(1)由, 是三角形内角，
得

(2) 在△ABC中,由正弦定理， ，
( CD = BC = 3 , 又在△ADC中, AC=2, cosC = ,
由余弦定理得,
=
9（2009年滨海新区五所重点学校联考理17）．在中，分别是角的对边,
且．
(Ⅰ)求角的大小；
（Ⅱ）当a=6时,求其面积的最大值,并判断此时的形状．
〖解析〗(Ⅰ)由已知得： ，
，
，∴ ，
，∴ ．
（Ⅱ） ，∴，
∴ ．
故三角形的面积 ．
当且仅当b=c时等号成立；又，故此时为等边三角形．
10（汉沽一中2009届高三月考文18）．如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．
〖解析〗在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°，
∴AC=CD=3.
在△BDC中，∠CBD=180°－（45°+75°）=60°，
由正弦定理，得BC==，
由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cos∠BCA
=+－2×cos75°=5.∴AB=．
∴两目标A、B之间的距离为km．
四、考点预测
（一）文字介绍
在解三角形中要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题．在具体解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意．
解三角形是高考必考内容，重点为正、余弦定理及三角形面积公式．可以以小题形式主要考查考题正、余弦定理及三角形面积公式；也可以是简单的解答题，主要与三角函数的有关知识一起综合考查；随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题中的应用将是一个热点，所以不排除考查解三角形与三角函数、函数等知识一起的综合应用题，主要
考查学生的基本运算能力、应用意识和解决实际问题的能力．
（二）考点预测题
1（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）．在△ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c，若，，，则角A=（ ）
A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°
〖解析〗，即，又，所以或．
〖答案〗D．
2（2008年高考全国二17）．在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的面积，求的长．
〖解析〗（Ⅰ）由，得，由，得．
所以．
（Ⅱ）由得，
由（Ⅰ）知，故，
又，故，．
所以．
3(启东市2009届高三第一学期第一次调研考试19）（2008年湖南理高考19）．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
〖解析〗（1）如图，AB=40，AC=10，.
由于,所以cos=.
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（2）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin.
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40．
又点E（0，-55）到直线l的距离d=.
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．
在△ABC中，由余弦定理得：
==.
从而.
在中，由正弦定理得，
AQ=.
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，
=.
所以船会进入警戒水域．

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