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2009届新课标数学考点预测--立体几何初步
一、考点介绍
09考试大纲中，对本节的要求如下：
（1）空间几何体
　　① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
　　② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.
　　③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
　　④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.
　　⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
　　（2）点、直线、平面之间的位置关系
　　① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
　　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
　　◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
　　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
　　◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
　　② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
　　理解以下判定定理.
　　◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
　　◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
　　◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
　　◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
　　理解以下性质定理，并能够证明.
　　◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.
　　◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
　　◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
二、高考真题
1．（2008年广东卷，数学理科，5，数学文科，7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
〖解析〗本题考查几何体的三视图，解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案.
〖答案〗A
2．（2008年上海春卷，数学，8）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 .
〖解析〗本题考查空间想象能力及相应几何体的体积，由题知，凸多面体是由一个棱为1的正四棱锥和一个棱长为1的正方体并接而成，正四棱锥的高为
〖答案〗
3．（2008年江西卷，数学理科，16） 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
〖解析〗易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。
〖答案〗真命题的代号是： BD 。
4．（2007年广东卷，数学文科，6）若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
〖解析〗考查直线和平面与直线和平面的相互关系，对A，当 ∥ ，?时，只是平行于 中某一直线而非所有，因而未必能平行于n；对B，只有在垂直与两面的交线才有结论⊥ 成立；
对C，直线和m可以是异面，立方体的棱就能体现这种关系。
〖答案〗D
5．（2008年海南宁夏卷，数学文科，18）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG。
〖解析〗长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识
〖答案〗(1)如图
（２）所求多面体的体积
（３）证明：如图，在长方体中，连接，则∥
因为Ｅ，Ｇ分别为中点，所以∥，从而∥，
又, 所以∥平面ＥＦＧ；
6．（2007年宁夏、 海南卷，数学文科，18）如图，为空间四点．在中，．
等边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？
证明你的结论．
〖解析〗考查直线和平面与平面和平面的相互关系
〖答案〗（Ⅰ）取的中点，连结，
因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．
又为相交直线，所以平面，由平面，得．
综上所述，总有．
7．（2008年山东卷，数学理科，20）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
〖解析〗本题考查线线垂直的证明，和二面角的求法，理科生应学会利用空间向量解决问题。
〖答案〗（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．
由（Ⅰ）知平面，
则为与平面所成的角．
在中，，
所以当最短时，最大，
即当时，最大．
此时，
因此．又，所以，所以．
解法一：因为平面，平面，所以平面平面．
过作于，则平面，
过作于，连接，则为二面角的平面角，
在中，，，
又是的中点，在中，，
又，
在中，，即所求二面角的余弦值为．
解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
，
，
所以．
设平面的一法向量为，
则因此取，则，
因为，，，所以平面，
故为平面的一法向量．
又，所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
三、名校试题
1．（山东省烟台市2008年高三适应性练习（三），数学理科，6）已知直线则下列四个命题：
①; ②;
③; ④
其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
〖解析〗本题考查线面位置关系的判断，②④显然不正确
〖答案〗D
2．（宁夏区银川一中2008届高三年级第五次月考测试，数学理科，12）如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是 （ ）
A． B． C． D．
〖解析〗本题考查三视图及椎体的体积计算。设底面半径为，高位，又，则，当即时，体积最大。
【答案】Ｃ
3．（山东省潍坊市2008年5月高三教学质量检测，数学理科，12）如图，ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有（ ）对
A．1 B．2
C．3 D．4
〖解析〗本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，
【答案】Ｃ
4．（广东省中山市2009年四校联考数学，数学理科，5）给出下列关于互不相同的直线 和平面 的四个命题：
①若；
②若是异面直线，；
③若；
④若
其中为假命题的是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
〖解析〗本题考查线线，线面及面面位置关系的判定
【答案】Ｃ
5．（南通四县市2008届高三联合考试，数学，17）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2．
（1）证明：面BDD1 B1⊥面ACD1；
（2）若E是BC1的中点，P是AC的中点，F是A1C1上的点， C1F=mFA1，试求m的值，使得EF∥D1P．
〖解析〗本题考查面面垂直的证明，以及线线垂直的探究
【答案】证明（1）：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2，
故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP，
又∵D1D⊥面ABCD，AP面ABCD
∴D1D⊥AP ，D1D∩DP=D
∴AP⊥面BDD1B1
∵AP面AD1C
∴面BDB1D1⊥面ACD1
（2）：记A1C1与B1D1的交点为Q，连BQ，
∵P是AC的中点，∴D1P∥BQ，要使得EF∥D1P，则必有EF∥BQ
在△QBC1中，E是BC1的中点， F是QC1上的点，EF∥BQ
∴F是QC1的中点，即3C1F=FA1，故所求m的值是．
6．（山东省烟台市2008年高三适应性练习（三），数学理科，19）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中 点。
（1）求证：PB//平面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。
〖解析〗本题考查线面平行的证明，和异面直线所成角的求法，及点面距离的求解，理科生应学会利用空间向量解决问题。
〖答案〗解法一：（1）证明：取AB为中点H，连结GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH//AD//EF，
∴E，F，G，H四点共面。
又H为AB中点，
∴EH//PB。
又EH面EFG，PB平面EFG，
∴PB//面EFG。
（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。
在Rt△MAE中，
同理
∴在Rt△MGE中，
故异面直线EG与BD所成角的余弦值为
（3）假设在线段CD上存在一点Q，满足题设条件，过点Q作OR⊥AB于R，连结RE，则QR//AD。
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形 ，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA
又ABPA=A，
∴AD⊥平面PAB。
又∵E，F分别是PA，PD中点，
∴EF//AD，
∴EF⊥平面PAB
又EF面EFQ，
∴EFQ⊥平面PAB。
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离。
设
在Rt△EAR中，AT
解得。
故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0，），C（2，2，0），
D（0，2，0）P（0，0，2），E（0，0，1），
F（0，1，1），G（1，2，0）。
（1）证明：∵
设
即（2，0，—2）=S（0，—1，0）+t（1，1，—1）
解得s=t=2
∴
又∵
∴共面。
∵
∴PB//平面EFG。
（2）解∵
∴
故平面直线EG与BD所成角的余弦值为
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。
令，则DQ=2－m
∴点Q的坐标为（）
∴
而，则
∴
令
又（0，0，1）
∴点A到平面EFQ的距离
即
∴不合题意，舍去。
故存在点Q，当点A到平面EFQ的距离为
7．（浙江省余姚中学08-09学年上学期高三第三次质量检测，数学理科，19）如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD；
（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．
〖解析〗本题考查线面平行及面面垂直的证明，并计算二面角
〖答案〗证明：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F
又E是PC的中点，
所以，EF∥AP
∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD
（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则
A（1，0，0），P（0，0，1）
由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），
，
设面BPD的法向量，
由得
取，则，
向量和的夹角的余弦
所以，锐二面角B—PD—C的余弦值
四、考点预测
（一）文字介绍
立体几何每年高考必考，一般为一小一大，小题多考位置关系的简单的概念性判断，和三视图以及面积体积，尤其三视图是新课标的新增内容，在高考中将成为命题的热点，解答题多以证明位置关系，计算角与距离为为，文科侧重于证明，理科要学会用空间向量解决相应问题。
（二）考点预测题
1．（广东省湛江一中08-09高三理科数学月考试卷2009.2，数学，8）已知为直线，为平面，给出下列命题：
① ② ③ ④
其中的正确命题序号是：
A ③④ B ②③ C ①② D ①②③④
〖解析〗本题考查位置关系的判定，属于简单题
〖答案〗 B
2．（江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题，数学，8）如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为 。
〖解析〗本题考查三视图几面积的计算，先画出左视图，再进行求解，左视图如上图，故所求面积为
【答案】
3．（山东省烟台市2008—2009学年高三年级模块检测，数学文科，19） 如图，已知三棱
锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积。
〖解析〗本题考查线面平行的证明，面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算
【答案】（1）∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD//AP， 又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC。
（2）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。
∴MD⊥PB。
又由（1）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB。
又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC， 又∵AC⊥BC。
∴BC⊥平面APC，
∴平面ABC⊥平面PAC，
（3）∵AB=20
∴MB=10 ∴PB=10
又BC=4，
∴
又MD
∴VD-BCM=VM-BCD=
4．（沈阳二中2009届高三期末数学试题，数学理科，18）如图甲正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中
（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅱ）在线段BC上找一点P，使AP⊥DE，并求BP.
（Ⅲ）求三棱锥D-ABC外接球的表面积.(只需用数字回答,可不写过程)
〖解析〗本题考查翻折几何体的相关问题，并计算二面角的大小，以及有关点的位置的探究和球的体积计算
【答案】(1)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平角
∴ AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD,取CD的中点M,这时EM∥AD,∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角
在 Rt△EMN中,EM=AD=AB=1,MN=∴EN=,cos∠MNE=
(2) 在线段BC上取点P,使BP=BC=,
过P作PQ⊥CD于点Q,
∴ PQ⊥平面ACD
∵DQ=DC=,在等边△ADE中,∠DAQ=30
∴AQ⊥DE,∴AP⊥DE
(3) 2R=

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