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2009届新课标数学考点预测---平面解析几何
一、考点回顾
(一)基本知识网络
（二）基本知识点（定义公式）
直线
（1）两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.
若直线的斜率为k，则.
（老教材）定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率: 过两点.
当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率
（3）直线方程的几种形式：
直线名称
已知条件
直线方程
使用范围
点斜式
k存在
斜截式
k,b
k存在
两点式
(x1,y1)、（x2,y2）
截距式
a,b
一般式
A、B不全为0
参数式
倾斜角
t为参数
（4）两条直线的位置关系
①若两条直线的方程分别为 l1： y=k1x+b1；　 l2： y=k2x+b2．则
l1|| l2?k1=k2,且b1≠b2; l1⊥l2?k1?k2= -1 ;
当1+k1k2≠0时，若(为l1到l2的角，则， 若α为l1和l2的夹角则，
②如果直线l1、l2的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 则l1与l2
相交的充要条件：；交点坐标：
. 平行的充要条件：l1|| l2?A1B2-A2B1=0,(B1C2-B2C1)2+(C1A2-C2A1)2≠0.
垂直的充要条件：l1⊥ l2?A1A2+B1B2=0.
重合的充要条件：l1与l2重合?A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=C1A2-C2A1=0 (或).
若 A1A2+B1B2≠0，直线l1到直线l2的角是θ，则有tanθ=
（5）直线系方程
①与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
② 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
③ 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)
④ 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.
（5）距离
①点P(xo,yo)到直线l：Ax+By+C= 0的距离
②两平行线l1:Ax+By+c1=0, l2:Ax+By+c2=0间的距离公式:d=
2、圆
圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。
圆的方程
① 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
②一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0) 圆心坐标：（-，-） 半径r=
③以(x1,y1),(x2,y2)为直径两端的圆的方程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
④圆的参数方程： （为参数）
(3) 点与圆的位置关系
设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：
几何表示(1)d＞r 点M在圆外； (2)d=r 点M在圆上； (3)d＜r 点M在圆内．
代数表示(x-a)2+(y-b)2＞r2点M在圆外；(x-a)2+(y-b)2＝r2点M在圆上；(x-a)2+(y-b)2＜r2点M在圆内；
(4)直线与圆的位置关系
设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2, 直线l的方程为Ax+By+C=0.圆心(a,b)到l的距离为d;
消去y得关于x的一元二次方程判别式为△，则有：
位置关系
公共点个数
数量关系
相离
0
d>r
⊿< 0
相切
1
d=r
⊿ = 0
相交
2
d⊿> 0
(5) 圆与圆的位置关系
设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r22(r1≥r2)，且设两圆圆心距为d，则有：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
数量关系
d> r1+r2
d=r1+r2
r1-r2d=r1-r2
d（6）几个常用结论和方法
①弦长的求解：弦心距d、圆半径r、弦长l,则：（根据垂弦定理和勾股定理）
②圆的切线方程的求法
过圆上的点的圆的切线方程
..圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．
..圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．
..以（x0,y0）为切点的圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以xox,yoy,替换圆方程中的x2,y2,x,y.
过圆外一点M（xo,yo），作圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线，可设切线方程为点斜式：
y-yo=k(x-xo)，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k。
注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。但，可能只算出一个 k值，那么，另一条斜率不存在，即过（x0,y0）垂直于x轴的直线x=x0.
③两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。
3圆锥曲线
(1)椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质（见后表）
(2)椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
(3)等轴双曲线
(4)共轭双曲线
(5)方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.
(6)共渐近线的双曲线系方程.
(7)点、直线与圆锥曲线的位置关系
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（02．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方
程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
参数方程
(t为参数)
范围
─a(x(a，─b(y(b
|x| ( a，y(R
x(0
中心
原点O（0，0）
原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （c=）
2c （c=）
离心率
e=1
准线
x=
x=
渐近线
y=±x
焦半径
通径
2p
焦参数
P
4、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
（2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
（1）待定系数法; （2) 直接法（直译法）；（3）定义法; （4）相关点代入法（转移法）；（5）参数法.
3.过两条曲线f1(x,y)=0与f2(x,y)=0的公共点的曲线系方程：
（三）高频考点及考题类型
1、直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划（老）等有关的问题，其中要重视“对称问题”及”线性规划问题”的解答。
2、与圆位置有关的问题，一是研究方程组；二是充分利用平面几何知识。重在后者。
3、求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的定义和几何性质（如求离心率的问题）
4、直线与圆锥曲线的位置关系问题，如参数的变量取值范围、最值；几何参量的求值问题。
5、以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系注重应用，考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。
二、高考真题回放
（一）直线
1 、(2008四川文、理) 直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )
（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）
【解】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；
【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
2、 (2008江苏) 如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( )。
【解】画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】
【点评】本小题考查直线方程的求法．
【突破】注意观察出对称性。
（二）圆
1、(2008上海文、理)如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：
不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（　D　）
A． B． C． D．
【解】由题意可知Q点一定是圆上的一段弧且纵坐标较大横坐标较小，
故知是上半圆的左半弧。
【点评】此题是一个情景创设题，考查学生的应变能力。
【突破】Q点的纵坐标较大，横坐标较小。
2、(2008天津文)已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为
【解】利用圆的标准方程待定系数易得结果。
【点评】此题虽小但考查到了对称、直线与圆相交、圆的方程等知识。
【突破】利用对称求出圆心坐标，利用直角三角形解出半径。
（三） 直线与圆的位置关系
1、 (2008海南、宁夏文)已知m∈R，直线l：和圆C：。
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
【解】（Ⅰ）直线的方程可化为，
直线的斜率，
因为，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，斜率的取值范围是．
（Ⅱ）不能．
由（Ⅰ）知的方程为
，其中．
圆的圆心为，半径．
圆心到直线的距离
．
由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．
所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．
【点评】此题考查了直线方程，函数求值域，直线与圆的位置关系。难度不大但很好的综合了以上知识点。
【突破】注意把直线方程中的换成k使表达简单，减小运算量。
（四） 圆锥曲线
1、（08福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
【解】PF1|-|PF2|=|PF2|=2a-a，故知e≤3又因为e＞1,选B
【点评】圆锥曲线的几何参量是高考重点，而几何参量中的离心率又是重中之重。
【突破】解决离心率的求值或求范围问题，重要是找到的齐次等式或不等式。
2、（08陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
同上易知
3、（08安徽卷22）．（本小题满分13分）
设椭圆过点，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上
解 (1)由题意：
，解得，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零，记,则且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是 ，
，
从而
，（1） ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点总在定直线上
方法二
设点，由题设，均不为零。
且
又 四点共线，可设,于是
（1）
（2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程
整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得
即点总在定直线上
【点评】本题第一问是直接待定系数求出方程，第二问本质也是求动点轨迹是一条直线采用交轨法和参数法可求解。另外第二问还可以利用直线的参数方程解题。
4、（广东卷18）．（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【解析】（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，
即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
三、典型模拟
1.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）
直线恒过定点C，圆C是以点C为圆心，以4为半径的圆。
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求的最大值和最小值。
【解析】（1），
（2）设则
在，
由圆的几何性质得
，由此可得
的最大值为－最小值为－8
【点评】向量与解析几何结合是高考命题的重要趋势，本题难度不大。但是如果不能将“向量语言”准确转化为“函数语言”，或在解题中不细心都可能会出现错误。切记：“细节决定成败”
2、（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）
在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，则以B，C为焦点，且过D，E的双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】D.
【点评】由几何图形的性质得到关于a,b,c的齐次等式
3、（金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷（理科））
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
【解析】（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得.
∴椭圆的方程 （4分）
（2），设边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为 （10分）
（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上． （16分）
法二：直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得


∴直线与直线的交点在直线上．
【点评】本题是将直线、圆与椭圆结合运用方程思想解题。
4、（2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第16题）（本题满分12分）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点. 当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围．
答案：解：设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．
因为，所以
推出．
依题意可知，当时，取得最小值．而，
故有，解得．
又点在椭圆的长轴上，即. 故实数的取值范围是．
【点评】与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较强，解题时需根据具体问题灵活的运用平面几何、函数、不等式等知识，正确的构造出圆锥曲线与其他数学知识的联系。
四、考点预测
1。命题预测
直线与圆是最基本的图形，是解析几何的基本内容，也是高考必考查的内容，试题多为选择和填空题，难度适中，属基本要求，但偶有与圆有关问题的解答题，其解答难度则可能较大。试题常在直线的图象、求直线方程，直线 的平行与垂直的位置关系，求圆面积的方程与有关圆的轨迹问题上作重点考查。同时有关对称问题也是高考的热点问题，其中直线与圆的位置关系与对称问题出现频率较高。而随着平面向量的出现，向量与直线或圆的综合问题则是一直高考的新热点。
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，因而是高考考查的重点内容。在每年的高考中一般有两道选择或填空题以及一道解答题。两道小题目通常是一道较易的“低档”题与一道“中档”题，主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能以及基本方法的灵活运用，特别是要注意离心率的考察。而解答题则是注重对数学思想方法和数学语言的考查，重视对圆锥曲线定义的应用的考查。求轨迹以及直线与圆锥曲线的位置关系的考题，将注重考查与一元二次方程有关的判别式、韦达定理等腰三角形的应用。
2、应试对策
（1）重视对教材中知识交汇点的复习。将解析几何与导数知识结合，利用导数求曲线的切线方程，建模后求参数的取值范围；将解析几何与向量结合，向量起“表达”或“工具”作用。所有这些都是高考命题的重点，因此对这类知识及问题要重视它的建模与解模的思想与方法，重视这些题型的训练。
（2）注重基础，掌握基本知识、基本方法、基本技能、基本内容。要多训练一些选择、填空题型。求直线、圆、圆锥曲线的方程，动点的轨迹，参数的范围以及对称问题等是高考考试中的重点题型，要熟练掌握求轨迹方程的方法与步骤，要熟练掌握求参数的范围的常用方法，考前要对这些重要内容与重要方法，进行一定量的适应性训练，使之成为技能，成为常法，考时才能得心应手。
（3）重视圆锥曲线的定义在解题中的应用。有关圆锥曲线上的点到焦点的距离，曲线上的点到准线的距离，离心率的问题等都可用圆锥曲线的定义去求解，活用定义，可以大大缩短破题与解题的时间，减少运算量，进而大大提高自己的解题自信心。
（4）熟练掌握坐标法的思想。要注意学习如何借助于坐标系，用代数的方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想的应用；要会寻找点与坐标的对应关系、曲线与方程的对应关系，把几何问题转化为代数问题。这儿顺便提一下：有关圆的问题，解答时一定要充分利用圆的几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆的位置关系，这样可以大大减少运算量，并使过程得以简化。
五、考题预测
1、小题（选择题、填空题）
(1) 线性规划问题
1、已知集合, ,则集合所表示图形的面积是 .
答案：
解题过程：集合表示以为圆心，1为半径的圆及内部的平面区域，其中圆心在边长为2的正方形区域内移动（如图），故所表示的图形是“圆角”正方形，面积为：
.
命题意图：主要考查学生对集合语言的理解以及对解几初步知识的运用能力，以线性规划求面积问题的面目出现，考察了直线、圆及点集的表示。
（2）参数方程与普通方程问题（理）（09年安徽文科不作为考试内容）
曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（ ）
A、线段　　 B、双曲线的一支　　 C、圆　　 D、射线
解题过程：消去参数可得D选项
命题意图：参数方程在高考中只要求学生能化为普通方程即可。
（3）求参数的值问题（以圆锥曲线的离心率问题为主，对大题考不到的圆锥曲线做以补充）
几何参量
若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解题过程：椭圆的右焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点为(1,0)，则，故选D.
命题意图： 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
曲线的离心率
(1)椭圆的离心率e＝∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e＝∈(1, ＋∞) (e越大则双曲线开口越大).
已知双曲线的方程为，则双曲线的交点坐标为（ ），离心率为（ ）
解答过程： 所以焦点是，，离心率为2
命题意图：本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
（2）极坐标与直角坐标的互化问题（理）（09年安徽文科不作为考试内容）
已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.
（Ⅰ）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦的长度.
解题过程：（Ⅰ）曲线：（）表示直线．曲线：，，
所以，即．
（Ⅱ）圆心（3，0）到直线的距离 ，，所以弦长=．
命题意图：极坐标在高考中的要求较低，只要能把极坐标与直角坐标进行互化即可。
2、解答题
（1）解析几何章节内知识综合问题
已知向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当k=时，求的最大值和最小值；
（3）在（2）的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P（m，0）使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
解题过程： （1）设，则由，
且O为原点得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
从而
代入得
为所求轨迹方程
当K=1时，=0 轨迹为一条直线
当K1时，，若K=0，则为圆 ；若K，则为双曲线
（2）当K=时，若或则为椭圆
方程为，即且　 　
从而
又
当时，取最小值，当 时，取最大值16
故，
（3）在（2）的条件下，将曲线向左平移一个单位后曲线方程为
假设存在过P（m,0）直线满足题意条件，不妨设过P（m,0）直线方程为
设D（x1,y1 ）,E(x2,y2 )， 消去x得：
即
由韦达定理，得
由于以DE为直径的圆都过原点则,即
又因为
即显然能满足
故当
命题意图：解析几何大题在高考中以直线与圆锥曲线相交为背景，结合向量（向量起“表达”作用），考查求方程、最值、点的定位等问题。本题就是抓住这一特点进行命题的。另外特别说一下，09安徽高考数学解析几何大题要以椭圆为背景命题。
（2）解几与函数导数综合问题
已知圆O的方程为过直线上的任意一点P作圆O的切线PA、PB．四边形OABP的面积取得最小时的点P的坐标（m，n）设．
（1）求证：当恒成立；
（2）讨论关于的方程： 根的个数．
解题过程：（1）＝．
当取得最小值时取得最小，过点O 作垂直于直线，交点为，
易得，∴．∴．
∴，∴在是单调增函数，
∴对于恒成立．
（2）方程，∴．
∵ ，∴ 方程为．令，
，当上为增函数；
上为减函数，
当时，
，
∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当时，方程无解．
②当时，方程有一个根．
③当时，方程有两个根．
命题意图：解几大题在高考中以解几章节内部知识综合题为主，只有理科卷在高考中偶尔会有与导数函数综合型的问题。本题就在这一点上立意命题。

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