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2009届新课标数学考点预测--数 列
一、考点介绍
高考对数列的考查比较全面，重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差（比）中项及等差和等比数列性质的灵活运用；在能力要求上，主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．
主要考点有：
1．数列的概念和简单表示法
　　（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）．
　　（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数．
　2．等差数列、等比数列
　　（1） 理解等差数列、等比数列的概念．
　　（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．
　（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
　　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
二、高考真题
1（2008年广东卷2）.记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
〖解析〗，，故．
〖答案〗D．
2（2008年浙江卷6）.已知是等比数列，，则=（ ）
（A）16（） （B）16（）
（C）（） （D）（）
〖解析〗由，解得，
数列仍是等比数列：其首项是公比为，
所以．
〖答案〗C．
3（2007年天津理8）．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
〖解析〗是与的等比中项，则，
又，则，（舍负）．
〖答案〗B．
4（2008年江苏卷10）.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
〖解析〗前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
〖答案〗．
5（2007年浙江文19) .已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程
的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．
(I)求及 (n≥4)(不必证明)；
(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n．
〖解析〗 (I)方程的两个根为．
当k＝1时，，所以；
当k＝2时，，所以；当k＝3时，，所以；
当k＝4时，，所以；
因为n≥4时，，所以
（Ⅱ）
＝．
6（2007年山东理17）.设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
〖解析〗(I)
，
．
验证时也满足上式，．
(II) ， ，
，
则，
，所以．
7（2008年安徽卷21）．设数列满足为实数
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：;
（Ⅲ）设，证明：
〖解析〗（Ⅰ）必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明
当时，.假设
则，且
，由数学归纳法知对所有成立
（Ⅱ） 设 ，当时，，结论成立
当 时，

,由（1）知，所以 且



（Ⅲ）设 ，当时，，结论成立
当时，由（2）知
．
三、名校试题
1（天津市汉沽一中2009届月考文7）．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
〖解析〗设公差为，则由已知得，
．
〖答案〗B．
2（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）．设等差数列的前n项和为，则（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
〖解析〗等差数列中，公差，．〖答案〗A.
3（宁波市2008学年度第一学期期末试卷10）．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应的数为（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗5—2—1—3—5，周期为4，2009=4×502+1，经过2009次跳后它停在的点所对应的数为2．
〖答案〗B．
4（2008~2009学年福建高考样卷·理）．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ）
A．　 Ｂ．　 Ｃ． Ｄ．
〖解析〗设公比为，，由或，所以取值范围为．
〖答案〗D．
5（2008~2009学年福州质检·理）．，则
〖解析〗
．
〖答案〗2236．
6（温州十校2008学年度第一学期期中高三数学试题理）.已知数列的前n项的和满足,则= .
〖解析〗由条件得：， ，则，时，．
〖答案〗．
7（浙江省杭州市2009年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷理科）.数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列．
（1）求的值；
（2）求的通项公式；
（3）求数列的前项之和．
〖解析〗（1），，，
因为，，成等比数列，
所以，
解得或．
∵c≠0，∴．
（2）当时，由于
，，，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
（3）令
……①
……②
①-②得：
8(一中2008-2009月考理18）．已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
（1）令求证数列是等比数列;
（2）求数列的通项；
⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由．
〖解析〗（I）由已知得
又
是以为首项，以为公比的等比数列.
（II）由（I）知，
将以上各式相加得：

（III）解法一：
存在，使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当，即时，数列为等差数列.
解法二：
存在，使数列是等差数列.
由（I）、（II）知，
又
当且仅当时，数列是等差数列．
9（2008-2009学年山东师大附中高三数学模拟考试试题文科数学21）．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数（1）用表示；（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求．〖解析〗（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为
，即
令，得，即
由题意得，所以
（2）因为，所以
即，所以数列为等比数列故 ---8分
（3）当时，
当时，
所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为
①
①的 ②
①②得
故 ．
10（广州市越秀区2009年高三摸底调研理21）.已知（m为常数，m>0且），设是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若bn=an·，且数列{bn}的前n项和Sn，当时，求Sn；
（3）若cn=，问是否存在m，使得{cn}中每一项恒小于它后面的项？
若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.
〖解析〗（1）由题意 即
∴
∴ ∵m>0且，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）由题意，
当
∴ ①
①式两端同乘以2，得
②
②－①并整理，得


=
…10分
（3）由题意
要使对一切成立，即 对一切 成立，
①当m>1时， 成立；
②当0∴对一切 成立，只需，
解得 ， 考虑到0综上，当01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.
四、考点预测
（一）等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容，也会是今年高考的重点．对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识；另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前项和公式．解答题作为压轴题的可能性较大，与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力．具体地：
1． 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．
2．探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．
3．等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题、填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4．求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和．
5．将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．
6．有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点．另外数列与程序框图的综合题也应引起重视．
（二）考点预测题
1（2007年宁夏理4）．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
〖解析〗由得a1=4, 则a10=a1+9d=4+9d=10，所以．
〖答案〗D．
2（2008年天津卷20）．在数列中，，，且（）．
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
〖解析〗（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
3（2008年辽宁卷21）．在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．
〖解析〗（Ⅰ）由条件得
由此可得
．
猜测．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
4（2008-2009学年江苏省盐城市高三数学上学期第一次月考20）．已知数列和满足,,.
(Ⅰ) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；
(Ⅱ) 当时,试判断是否为等比数列；
(Ⅲ) 设为数列的前项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得对任意的正
整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.
〖解析〗（Ⅰ）当时,
假设是等差数列,由得,即5=2,矛盾.
故对于任意的实数,一定不是等差数列.
（Ⅱ）当时,.而,所以
=.
又 .
故当时, 不是等比数列.
当时, 是以为首项,为公比的等比数列.
（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当时,,不合要求.
所以,于是,要使成立,
则.
令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.
故的最大值为,最小值为.
欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.
综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有.

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