资源简介

2009届新课标数学考点预测--导数及其应用
一、考点介绍
导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
二、高考真题
1.（2008全国一21）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解：（1）
求导：
当时，，
在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且 解得：
2.（2008全国二21）．（本小题满分12分）
设，函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
因为是函数的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点． 4分
（Ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，
， 即．故得． 9分
反之，当时，对任意，
，
而，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为． 12分
3.（2008山东卷21）（本小题满分12分）
已知函数其中n∈N*,a为常数.
（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.
（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，
当n=2时，
所以
（1）当a＞0时，由f(x)=0得
＞1，＜1，
此时 f′（x）=.
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；
当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.
（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为
当a≤0时，f(x)无极值.
（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以
当n为偶数时，
令
则 g′（x）=1+＞0（x≥2）.
所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，
又 g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立，
所以f(x)≤x-1成立.
当n为奇数时，
要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,
令 h(x)=x-1-ln(x-1),
则 h′（x）=1-≥0（x≥2）,
所以 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，
所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.
综上所述，结论成立.
证法二：当a=1时，
当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，
故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
则
当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，
因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故　　当x≥2时，有≤x-1.
即f（x）≤x-1.
4..（2008湖南卷21）（本小题满分13分）
已知函数f(x)=ln2(1+x)-.
(I) 求函数的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求的最大值.
解: （Ⅰ）函数的定义域是，
设则
令则
当时， 在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，
函数g(x)在上为减函数.
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则
由（Ⅰ）知，即
所以于是G(x)在上为减函数.
故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为
5..（2008陕西卷21）．（本小题满分12分）
已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．
解：（Ⅰ），由题意知，
即得，（*），．
由得，
由韦达定理知另一个极值点为（或）．
（Ⅱ）由（*）式得，即．
当时，；当时，．
（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．
，
，
由及，解得．
（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．
，
恒成立．
综上可知，所求的取值范围为．
6.（2008重庆卷20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
　　　设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.
解：(Ⅰ)因为
又因为曲线通过点（0，2a+3）,
故
又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.
此时有
从而

所以
令，解得
当
当
当
由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
7.（2008福建卷19）（本小题满分12分）
　　　已知函数.
　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；
　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,
由点在函数y=f′(x)的图象上,
又所以
所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,
故点也在函数y=f′(x)的图象上.
(Ⅱ)解:,
由得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值.
三、名校试题
1.(2008年潍坊市高三统一考试)
定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.
（I）求g(x)，h(x)的表达式；
（II）求证：当1（III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理.
解（I）由题意：
∴恒成立.
又恒成立.
∴即
（II）
欲证：
只需证：
即证：
记
∴
∴当x>1时，为增函数…………….9分
即
∴结论成立………………………………………………..10分
（III）由 （1）知：
∴对应表达式为
∴问题转化成求函数
即求方程：
即：
设
∴当时，为减函数.
当时，为增函数.
而的图象开口向下的抛物线
∴与的大致图象如图：
∴与的交点个数为2个.
即与的交点个数为2个.
2.(湖南师大附中)（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3.
．解：（I）…………（2分）

上是减函数.……………………………………………………（4分）
（II）
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）

则上单调递增，
又
存在唯一实根a，且满足
当
∴
故正整数k的最大值是3 ……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴ ………………11分
令，则
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ………………14分
3.(浙江省重点中学2008年5月)
已知函数，数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）探究：数列是否单调？
解：（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
∴在区间内，．（2分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明：
① 当时， ∵，∴，成立；
② 假设当时，成立．
当时，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上单调递增，所以，
而，， 故．
∴当时，也成立．
由①、②知，对任意都成立．（4分）
（Ⅲ）数列单调递减．（1分）
理由如下：
当时， ∴；
当时，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
综上，数列单调递减．
4．已知函数，数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）探究：数列是否单调？
解：（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
∴在区间内，．（2分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明：
① 当时， ∵，∴，成立；
② 假设当时，成立．
当时，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上单调递增，所以，
而，， 故．
∴当时，也成立．
由①、②知，对任意都成立．（4分）
（Ⅲ）数列单调递减．（1分）
理由如下：
当时， ∴；
当时，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
综上，数列单调递减．
5.(天津市十二区县重点中学)
（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）判断的奇偶性；
（Ⅱ）在上求函数的极值；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：当时，对任意正整数都有
解：（Ⅰ） 。……3分
(Ⅱ)当时，
………5分
令有，
当x变化时的变化情况如下表: 由表可知：
（
+
0
－
增
极大值
减
当时取极大值. ………7分
(Ⅲ)当时 ………8分
考虑到：时，不等式等价于…（1）
所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切都成立即可………9分
（i）当时，设
， ………10分
故，即
所以，当时，不等式（1）都成立 ………11分
（ii）假设时，不等式（1）都成立，即
当时设
有 ………12分
故为增函数，
所以，，即， ………13分
这说明当时不等式（1）也都成立，
根据(i)(ii)可知不等式（1）对一切都成立，
故原不等式对一切都成立. ………14分
四、考点分类讲解
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2007年北京卷）是的导函数，则的值是 ．
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.
故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由
故选A.
例6.已知两抛物线,取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：先对求导数.
解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ①
曲线在点Q的切线方程是即
　 ②
若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）
A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8 .（2007年全国一）设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．
解答过程：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
例9.函数的值域是_____________.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数的定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
又
所以
由即得
所以
例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0故a的取值范围是（0，）.
例14 （2007年全国二）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于　即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合．
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. （2007年重庆文）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

令得
当时，是减函数；当时，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
五、考点预测
1.已知函数若在是增函数，求实数的范围。
解析：≥0在上恒成立在上恒成立
而在上的最小值为16，故。
2.已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0，
则y=f(x)的图象可能是下图中的 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
C解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。
3.f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有 （ ） （07陕西理11）
A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)
C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
解析：xf/(x)+f(x)≤0[xf(x)]/ ≤0函数F(x)= xf(x) 在（0，+∞）上为常函数或递减，
又0①②两式相乘得： af(b) ≤bf(a)，故选A。
4.已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
解析：函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于　即．
化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：
所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为．
5.已知函数在处有极值10,则
解析： ，∴= ①
② 由①②得：或
当时，，此时函数无极值，舍去；
当时，函数在处左减右增，有极小值；
此时∴18 。
6.设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
解析：（Ⅰ），由，．解得，．
（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，
由（Ⅰ）可知，，．
当时，；当时，；当时，．
即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．
于是有：，解得　或，因此的取值范围为。
7.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；
解析：设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，
在为减函数，∴在的最大值为．

展开更多......

收起↑