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2009届新课标数学考点预测---几何证明选讲
一、考点介绍
（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．
（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理．⑥切割线定理．
二、高考真题
１．（2007广东卷理14）如图1所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则 ，线段的长为 ．
【解析】如右图所示，因为，，所以∥.由知
⊿为等边三角形，，则，所以，进而，。连接,于是⊿为等边三角形，
故=3.【答案】；=3. 2.（2007海南、宁夏卷理22）如图，已知是⊙O的切线，为切点，是⊙O的割线，与⊙O交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
【解析】（Ⅰ）证明：连结．
因为与⊙O相切于点，所以．
因为是⊙O的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
【答案】．
3．（2008广东卷理15）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．
【解析】依题意，我们知道⊿∽⊿,由相似三角形的性质我们有,即。
【答案】
4．（2008海南、宁夏卷理22）
如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点．过点的切线交直线于．证明：．
【解析】（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，
．
（Ⅱ）证明：因为是圆的切线，．
同（Ⅰ），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
5．（2008江苏卷理21）
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：．
【解析】如图，因为 是圆的切线，
所以，,
又因为是的平分线，
所以
从而
因为 ,
所以 ,故.
因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,
, 而,所以.
三、名校试题
考点一：相似三角形的定义与性质及圆的切线判定定理与性质定理
1.( 2008年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题)
如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（Ⅰ）求证：F是BD的中点；
（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．
〖解析〗（Ⅰ）证:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD ∴ F是BD中点.
（Ⅱ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线 (说明：也可证明△OCF≌△OBF(从略,仿上述评分标准给分)).
考点二：切割线定理
2.( 2008年南通四县市高三联合考试)
已知：如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F．若CD=2，CB=2，求EF的长．
〖解析〗连PB，BC切⊙P于点B，PB⊥BC，
CD=2，CB=2，由切割线定理得：CB2=CD·CE
CE=4，DE=2，BP=1，又∵EF⊥CE ∴△CPB∽△CFE，
得：，EF=
考点三：圆内接四边形的性质定理与判定定理
3.(2008年南师附中高考数学模拟试卷（最后一卷）)
如图，已知AD是ΔABC的外角(EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交ΔABC的外接圆于点F，连结FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB2=FA·FD；
（3）若AB是ΔABC外接圆的直径，(EAC=120(， BC=6cm，求AD的长．
〖解析〗（1）∵AD平分(EAC，∴(EAD=(DAC．
∵四边形AFBC内接于圆，∴(DAC=(FBC．
∵(EAD=(FAB=(FCB，∴(FBC=(FCB，∴FB=FC．
（2）∵(FAB=(FCB=(FBC ，(AFB=(BFD，
∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，∴FB2=FA·FD．
（3）∵AB是圆的直径，∴(ACB=90(．
∵(EAC=120(， ∴(DAC=(EAC=60(，(BAC=60(．∴(D=30(．
∵BC= 6， ∴AC=． ∴AD=2AC=cm．
考点四：相交弦定理
4.如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=，PA=，PC=1，则圆O的半径等于 ．
〖解析〗由圆的性质PA=PC·PB，得，PB=12，连接OA并反向延长
交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J记圆的半径为R,由于ED·DA=CD·DB
因此，(２R－２) ·2=3·8,解得R=7
四、考点预测
高考对这部分知识的考查主要考查相似三角形的性质, 圆的切线判定定理与性质定理以及切割线定理．题型仍以填空题或解答题形式出现.
1.已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点， DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点.
（1）求的度数.
（2）若AB=AC，求AC:BC
〖解析〗(1)AC为圆O的切线,∴.又知,DC是的平分线, ∴ .∴,即 又因为BE为圆O的直径, ∴
∴.
(2),,∴∽∴.又AB=AC, ∴,∴在RT⊿ABE中, .
2.如图，AD是⊙O的直径，是⊙的切线，直线BMN交AD的延长线于点C，BM = NC，AB = 2，求BC的长度和⊙O的半径．
〖解析〗是⊙的直径，是⊙的切线，直线是⊙的割线，
，．

，，．
.
⊙的半径为.
3. (江苏省2008年百所高中样本分析考试数学试题)已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AC，BD=AB，点F在BC上，且CF=BC.
求证：1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC。
〖解析〗设AB=AC=3a，则AE=BD=a，CF=
（1）
又∠C公共，故△BAC∽△EFC，由∠BAC=90°，∴∠EFC=90°，∴EF⊥BC .
（2）由（1）得∴∠DAE=
∠BFE=90°.∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE=∠EBC.
4.(2008届苏北三市高三年级第一次联合调研)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
(1) 求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求MN的长．
〖解析〗（1）连接ON，因为PN切⊙O于N，所以，
所以，因为OB=ON，所以
因为于，所以
故，
所以.
（2）
因为，所以.
5(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC(
(1)求证：(P=(EDF；
(2)求证：CE·EB=EF·EP；
(3)若CE ( BE=3 ( 2，DE=6，EF= 4，求PA的长(
〖解析〗 （1）∵DE2=EF·EC，
∴DE ( CE=EF( ED．
∵(DEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴(EDF=(C．
∵CD∥AP， ∴(C=( P． ∴(P=(EDF．
（2）∵(P=(EDF， (DEF=(PEA， ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE ( PE=EF ( EA．即EF·EP=DE·EA． ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．
（3）∵DE2=EF·EC，DE=6，EF= 4，∴EC=9．∵CE ( BE=3 ( 2，∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=． ∴PB=PE－BE=， PC=PE＋EC=．由切割线定理得：PA2=PB·PC，
∴PA2=×．∴PA=．
6．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的长；
（2）若 ∠ADO ：∠EDO＝4 ：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。
6．（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，
又，所以，所以

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以， 所以
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD， 所以， 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD. 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO, 所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x. 由∠ADO ：∠EDO＝4 ：1，则∠EDO＝x.
因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°,所以, 所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°,故

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