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2009届新课标数学考点预测--推理与证明
一、考点介绍
（1）合情推理与演绎推理
　　① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
　　② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
　　③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
（2）直接证明与间接证明
　　① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.
（3）数学归纳法
　　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、高考真题
〖解析〗
〖答案〗
【考题分类】
（一）选择题（共1题）
1.（2008海南宁夏卷理6文7）已知，则使得都成立的取值范围是（ ）
A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
〖解析〗，所以解集为，
又，因此选B.
〖答案〗B
2. (2008海南宁夏5)．右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A． B． C． D．
〖解析〗：变量的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为“”，
满足“是”则交换两个变量的数值后输出的值结束程序，满足“否”直接输出的值结束程序。
〖答案〗A
3. (2008年江苏9)．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( ▲ )。
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
【答案】
4 (2008年江苏10)．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
【答案】
5. (2007年山东理6) 给出下列三个等式：，，。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式.
【答案】:B
6.　(2007年山东理9) 下列各小题中，是的充要条件的是（　　　）
（1）或；有两个不同的零点。
（2） 是偶函数。
（3） 。
（4） 。
（A） （B） （C） （D）
【解析】：（2）由可得，但的定义域不一定关于原点对称；（3）是的既不充分也不必要条件。
【答案】: D.
7.　(2007山东理16)．函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【解析】：函数的图象恒过定点，，，，
【答案】: 8
8.(2007年广东文10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,,,,从而,,,故调动件次,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).
【答案】:C
9. (2007海南宁夏11)．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【解析】：




【答案】：B
10 (2007年上海理15)、已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若 成立，则成立，下列命题成立的是
A、若成立，则对于任意，均有成立；
B、若成立，则对于任意的，均有成立；
C、若成立，则对于任意的，均有成立；
D、若成立，则对于任意的，均有成立。
【答案】D
【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立；
对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。
12（2008江苏卷21D）设a，b，c为正实数，求证：．
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
13.（2008江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
求实数的取值范围；
求圆的方程；问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论
解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为 （*）
为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，
结合（*）式得
，解得
经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。
14.（2008上海春卷19）已知函数.
（1）求证：函数在内单调递增；
（2）记为函数的反函数. 若关于的方程在上有解，求的取值范围.
[证明]（1）任取，则
，
，
，
，即函数在内单调递增. …… 6分
[解]（2）， …… 9分
[解法一]

， …… 11分
当时，，
的取值范围是. …… 14分
[解法二] 解方程，得
， …… 11分
，
解得 .
的取值范围是. …… 14分
15.（2008福建卷文20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+216 (2007年广东理21)已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
17 (2008年海南宁夏21)设函数，曲线在点处的切线方程为y=3．
（1）求的解析式：
（2）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解：（1），
于是解得或
因，故．
（2）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．
（3）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
三、名校试题
１．考点一　合情推理与演绎推理
１．(安徽省皖南八校2008届第三次联考卷3．设，为两条不同直线为两个不同平面，则下列命题正确的是 (　　　)
A．∥，∥，∥，则∥
B．∥，⊥，⊥，则∥
C．∥，∥，∥，则∥
D．∥，⊥，∥，则∥
〖解析〗　对于A项两个平面也可以相交，如m,n都是与交线平行时,条件符合；对于C项,与平面平行的直线之间可以是相交,也可以是异面；D项中的直线n也可以在平面内.
〖答案〗B
2．(安徽省皖南八校2008届第三次联考卷15．如图，给出的“三角形数阵”中，每一列数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比都相等，则该数阵中位于第63行第8列的数是____________．
〖解析〗易知第一列的数是首项为1,公差为的等差数列,所以第63行第一个数是1+62=32,第63行又是以32为首项,公比为的等比数列,所以第8个数是32=.
〖答案〗
考点二. 证明与推理
1广东省实验中学2008年高三第三次模拟考试21、已知函数当时，总有.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设函数，求证：当时， 的充要条件是.
解：（1）由条件，得，……………1分
当时，总有，所以有

由①+②得，，
又b≥－2，∴b=－2，…………………………………………………………4分
把b=－2代入①和②得
因此.…………………………………………………7分
（2），
是关于x的二次函数，……………………………9分
当时，或
或
解得，. 因此，当时，的充要条件是……14
2 江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题19 函数，，
(其中)，设.
（Ⅰ）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值；(7分)
（Ⅱ）当时，若存在，使成立，试求的范围. (9分)
解：（Ⅰ）∵,
,
∴ ……………………………………………… (3分)
∴
设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,
欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得………………………………………… (6分)
综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，
当时在定义域内无极值……… (7分)
（Ⅱ）∵存在，使成立等价于的最大值大于0………..(9分)
∵，∴,
∴得.
当时，得；
当时，得…………………………… (12分)
当时，不成立 …………………………………………… (13分)
当时，得；
当时，得；
综上得：或……………………………………………… (16分)
3. 已知函数.
（Ⅰ）数列，恒成立，试求a1的取值范围；
（II）数列
的前k项和，Tk为数列的前k项积，.
解：（I）， …………1分
…………3分

…………4分

…………6分
（II）证明：


…………10分

由显然
。

…………14分
4江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题20 已知为实数，数列满足，当时，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，当时，求证：(6分)
20. 解:（Ⅰ）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= ……(3分)
=. ……………………………(5分)
（Ⅱ）证明：①若,则题意成立……………………………………………(6分)
②若,此时数列的前若干项满足,即.
设,则当时,.
从而此时命题成立……………………………………………………………(8分)
③若,由题意得,则由②的结论知此时命题也成立.
综上所述,原命题成立…………………………………………………………(10分)
（Ⅲ）当时，因为,
所以=……………………………(11分)
因为>0,所以只要证明当时不等式成立即可.
而
…………………………………(13分)
①当时,
……(15分)
②当时,由于>0,所以<
综上所述,原不等式成立………………………………………………………(16分)
考点三 数学归纳法
(天津市十二区县重点中学) 已知函数
（Ⅰ）判断的奇偶性；
（Ⅱ）在上求函数的极值；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：当时，对任意正整数都有
解：（Ⅰ） 。……3分
(Ⅱ)当时，
………5分
令有，
当x变化时的变化情况如下表: 由表可知：
（
+
0
－
增
极大值
减
当时取极大值. ………7分
(Ⅲ)当时 ………8分
考虑到：时，不等式等价于…（1）
所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切都成立即可………9分
（i）当时，设
， ………10分
故，即
所以，当时，不等式（1）都成立 ………11分
（ii）假设时，不等式（1）都成立，即
当时设
有 ………12分
故为增函数，
所以，，即， ………13分
这说明当时不等式（1）也都成立，
根据(i)(ii)可知不等式（1）对一切都成立，
故原不等式对一切都成立. ………14分
2 (湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)已知函数．
（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an ( 2n + 2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．
解：(1)，．
要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，
当在内恒成立；
当要使恒成立，则，解得，
当恒成立，
所以的取值范围为．
根据题意得：，
于是，
用数学归纳法证明如下：
当，不等式成立；
假设当时，不等式成立，即也成立，
当时，，
所以当，不等式也成立，
综上得对所有时，都有．
(3) 由(2)得，
于是，
所以，
累乘得：，
所以．
四、考点预测
推理与证明在高考中一是出现在小题中,判断一些命题的真假、充要条件之间的关系，出现在大题当中测是以证明形式出现，可以是代数方面的，也可以是几何方面的，特别是代数推理题越来越受命题者的重视，另外数学归纳法证明是理科常考方法之一。
1设集合A={x|}，B={x|0＜x＜3}，那么“mA”是“mB”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由得，，所以，可知若“”推不出 “”；若“mB”则 “mA”，所以“mA”是“mB”必要而不充分条件．故选B项．
【答案】B
2. 设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是 ( )
A．若m∥,n∥,则m∥n B．若m,n,m∥,n∥,则∥
C．若，m,则m D．若，m，m,则m∥
【解析】A错，还可能相交或异面；B错，直线m、n必须相交；C错，垂直于交线才垂直于，故选D
【答案】D
3．已知函数，数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）探究：数列是否单调？
（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
∴在区间内，．（2分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明：
① 当时， ∵，∴，成立；
② 假设当时，成立．
当时，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上单调递增，所以，
而，， 故．
∴当时，也成立．
由①、②知，对任意都成立．（4分）
（Ⅲ）数列单调递减．（1分）
理由如下：
当时， ∴；
当时，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
综上，数列单调递减．
4．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3.
．解：（I）…………（2分）

上是减函数.……………………………………………………（4分）
（II）
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）

则上单调递增，
又
存在唯一实根a，且满足
当
∴
故正整数k的最大值是3 ……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴ ………………11分
令，则
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ………………14分
5 设数列满足，前项和为，且.
（Ⅰ）证明数列为等比数列并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，比较与的大小；
（Ⅲ）若,，求证：．
解：（Ⅰ）由，
得，即, 而
∴数列是以t为首项，t为公比的等比数列.∴.
（Ⅱ）∵且
∴且　　
∴ ∴
（Ⅲ）∵
∴

∴
6 已知数列中，。⑴求证：数列是等比数列；⑵求的通项公式；⑶设的前项和为，求证：。
．证明：⑴因，故。显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列；
⑵由⑴知，解得；
⑶因为，所以。又
（当且仅当时取等号），故。综上可得。（亦可用数学归纳法）

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