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2009届新课标数学考点预测---圆锥曲线与方程
一、考点介绍
1.椭圆的定义：
第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(02.椭圆的标准方程及其几何性质：
标准方程
图形
顶点
,
,
对称轴
轴，轴，长轴长为，短轴长为
焦点
、
、
焦距
焦距为
离心率
(0准线方程
3.椭圆知识网络
4.双曲线的定义：
第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率.
5.双曲线的标准方程及其几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴，轴，实轴长为，虚轴长为
焦点
焦距
焦距为
离心率
(e>1)
准线方程
6.双曲线知识网络
7.抛物线的定义:
平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线叫做抛物线的准线.
8.抛物线的标准方程及其几何性质：
标准方程
图形
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点
顶点
原点
准线
离心率
1
9.抛物线知识网络
10.方程的曲线和曲线的方程
在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
11. 圆锥曲线综合问题
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则.
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围.
二、高考真题
1. （2006年北京卷，文科，19）
椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c的值即可，（Ⅱ）可以设出A、B点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.
〖答案〗解法一：
(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l的方程为
y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称.
所以
解得，
所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①－②得
③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，
即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），
即8x－9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
2．（2007年上海卷，文科，21）
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得最小值时，
在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
〖解析〗（1）求出两个半椭圆的方程即可得到“果圆”的方程，（2）由两点间的距离公式表示出PM的长，根据二次函数的性质即可求出最小值，（3）思路同（2），只需分两种情况讨论即可.
〖答案〗（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则

，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．

．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
3．（2007年山东卷，理科，21）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
〖解析〗（Ⅰ）由已知易求出a，c的值，即得椭圆方程，（Ⅱ）由待定系数法设出直线方程，联立椭圆方程后由可以得到关于k和m的方程，求出满足的k和m的关系式后即可得到过定点的直线方程.
〖答案〗(I)由题意设椭圆的标准方程为
，
(II)设，由得
，
，.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
，，
，
，解得
，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
4．（2008年湖南卷，文科，19）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为.
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，
求的取值范围.
〖解析〗（I）椭圆方程由a，b，c的关系易得，（II）设出直线的方程，求出点F关于直线的对称点，代入椭圆方程解关于的不等式组即得的取值范围.
〖答案〗（I）设椭圆的方程为
由条件知且所以
故椭圆的方程是
（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得
因为点在椭圆上，所以即
设则
因为所以于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线存在.
解得所以
即的取值范围是
5. （2008年辽宁卷，文科，21）
在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义易得，（Ⅱ）设出A，B两点的坐标后由一元二次方程根与系数关系求出，再由向量的坐标运算求出k值，最后由弦长公式可以求出的值.
〖答案〗（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为． 4分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故． 6分
，即．而，
于是．
所以时，，故． 8分
当时，，．
，
而，
所以．
6．（2008年山东卷，文科，22）
已知曲线所围成的封闭图形的面积为，
曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．
是上异于椭圆中心的点．
（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，
求点的轨迹方程；
（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a，b的方程组， 曲线与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然为焦点在x轴的椭圆；
（Ⅱ）（1）设出的方程，，，联立直线与椭圆得到方程组后，由可得的轨迹方程，注意或不存在时所得方程仍然成立；（2）由直线的方程：和椭圆方程联立后表示出由不等式放缩即可求出最小值.
〖答案〗（Ⅰ）由题意得又，解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为
，．
解方程组得，，
所以．
设，由题意知，
所以，即，
因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，
因此，
又，所以，故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．
（2）当存在且时，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，
又，，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
7．（2008年广东卷，文科，20）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
〖解析〗（1）由已知可求出G点的坐标，从而求出抛物线在点的切线方程，进而求出点的坐标，由椭圆方程也可以求出点的坐标，从而求出，得出椭圆方程和抛物线方程；（2）以为直角和以为直角的直角三角形显然各一个，以为直角的直角三角形是否存在可以转化成对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P点的个数.
〖答案〗（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
三、名校试题
1．（山东省潍坊市2008届高三5月教学质量检测，理科，21）
已知实数m>1，定点A（－m，0），B（m，0），S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为
（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
（2）当时，问t取何值时，直线与曲线C有且只有一个交
点？
（3）在（2）的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.
〖解析〗（1）由题易得动点S的轨迹C为椭圆，注意要除去x轴上的两项点；（2）联立直线与椭圆方程，由即可求得值，注意；（3）由两点间的距离公式和点到直线的距离公式表示出两距离之比，转化成求关于的函数的最小值问题，利用导函数即可解之.
〖答案〗（1）设.
由题意得
∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆（除去x轴上的两项点），其中长轴长为2，短轴长为2.
（2）当m=时，曲线C的方程为
由
令
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.
（3）直线l方程为2x－y+3=0.
设点表示P到点（1，0）的距离，d2表示P到直线x=2的距离，
则

令
则
令

∴的最小值等于椭圆的离心率.
2．（山东省烟台市2008届高三5月适应性练习，理科，21）
如图，在平面直角坐标系中，N为圆A上的一动点，点B（1，0），点M
是BN中点，点P在线段AN上，且
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试判断以PB为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由。
〖解析〗（1）由垂直平分线的性质和椭圆定义易求；（2）设出，由中点坐标公式可得以PB为直径的圆的圆心，进而求出半径又圆的圆心为（0，0），半径比较圆心距与的大小关系即可.
〖答案〗（1）由点M是BN中点，又
可知PM垂直平分BN，所以
所以|PA|+|PB|=4
由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
设椭圆方程为
由
可知动点P的轨迹方程为
（2）解：设点
即以PB为直径的圆的圆心为，
半径为
又圆的圆心为（0，0），半径
又
故即两圆相切.
3．（宁夏银川一中2008届高三年级第五次月考测试，理科，21）
已知直线相交于A、B两点.
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆的长轴长的最大值.
〖解析〗（1）由已知条件易求椭圆的标准方程，再由弦长公式即可求得线段AB的长；（2）由向量互相垂直可以设从而转化成坐标运算，求出的关系，进而用离心率表示，再由，求出的范围即求出长轴长的最大值.
〖答案〗（1），
，
联立
则
，
（2）设，
由，
，
，
由此得
故长轴长的最大值为
4．（广东省实验中学2008届高三第三次模拟考试，理科，20）
已知抛物线x2=－y，直线L：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m∈R且m≠－1)与抛物线交于A，B两
点.
（1） 当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界) ,并求该区域的面积.
（2）求证：对任意不为零的实数m，抛物线的顶点都在以线段AB为直径的圆C上；并求圆
C的圆心的轨迹方程.
（3）将抛物线x2=－y的图像按向量=（4，16）移动后得到函数y=f(x)的图像，若
问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
〖解析〗（1）所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应
的面积，计算时可以整体代入；
（2）证明抛物线的顶点在以线段AB为直径的圆C上，即证明，圆C的圆心的
轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得；
（3）构造函数，因为，所以y=f（x）的图
象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数有两个正零点的
问题，要对的单调性进行讨论，从而求出使得由两个正零点的的取值范围.
〖答案〗（3）依题意，f(x)=-x2+8x,令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数
当x∈（3，+∞）时，是增函数
当x=1或x=3时，
∴
又因为当x→0时，
当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须
即
∴m=7或
∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点.
5．（福建省莆田四中2008届5月份第二次模拟考试，理科，21）
已知为坐标原点，点、的坐标分别为 ，点、满足
||，（），过点且垂直于的直线交线段于点，
设点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线的：与轨迹交于不同的两点、，对点和向量，求取最大值时直线的方程.
〖解析〗（1）由椭圆的定义易得点的轨迹的方程；（2）设出、两点的坐标后转化成向量的坐标运算，进而由不等式放缩得到取最大值时k的值，即得到直线的方程.
〖答案〗(1)∵＝(＋)，∴N为AF的中点
∴||＝||∴||＋||＝||＋||＞||
∴点M的轨迹C是以E、F为焦点的椭圆
∵长半轴a＝，半焦距c＝
∴b2＝a2－c2＝1
∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1
(2)将y＝k(x＋1)(k≠0)代入椭圆C：＋y2＝1中，整理得
(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－3＝0
设R(x3，y3)、S(x4，y4)
则x3＋x4＝－，x3x4＝
所以y3y4＝k2(x3＋1)(x4＋1)＝k2(x3＋x4＋x3x4＋1)＝－
∴＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4－3－9k2
＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4－3－9k2＝＋＋1－－3－9k2
＝－3－9k2＝－[＋3(1＋3k2)]≤－2×4＝－
当且仅当＝3(1＋3k2)，即k2＝∈(0，1)时等号成立
此时，直线l的方程为y＝±(x＋1)
6. （山东省文登市2009届高三第三次月考试题，理科，21）
过点作倾斜角为的直线，交抛物线：于两点，且
成等比数列。⑴求的方程；⑵过点的直线与曲线交于
两点。设，与的夹角为，
求证：。
〖解析〗⑴设，联立直线与抛物线的方程
后根据一元二次方程根与系数关系可得到关于的方程，解之即得
的方程；⑵法一：要证，只需证明即可.
法二：根据“以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切”这一性质分两种情况讨论即可得证.
〖答案〗⑴设，则由题，由得，故。
又根据可得，即，代入可得，解得（舍负）。故的方程为；
⑵法一：设，代入得，故，
从而
，因此
法二：显然点是抛物线的焦点，点是其准线上一点。设为的中点，过分别作的垂线，垂足分别为，则。因此以为直径的圆与准线相切（于点）。若与重合，则。否则点在外，因此。综上知。
7. （江苏省盐城一中、大丰中学、建湖中学2009届高三第二次调研考试， 21）
抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，
（Ⅰ）求定点N的坐标；
（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：
① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；
② 被圆N截得的弦长为．
〖解析〗（1）由抛物线的定义易得；
（2）假设存在直线，设出直线的方程为，.
方法1：由弦心距的长为1求出的值，然后检验是否符合AB中点为这个条件；
方法2：将直线的方程分别与直线的方程联立，求出A、B两点的坐标，再由中点坐标公式求出的值，最后检验弦心距的长是否为1；
方法3：设出A点的坐标为，由中点坐标公式和B点在上，求出的值，进而求出直线的斜率，最后检验弦心距的长是否为1.
〖答案〗（1）因为抛物线的准线的方程为
所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，
所以定点N的坐标为
（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，
设的方程为，
以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，
方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，
即，解得，
当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！
当时，的方程为
由，解得点A坐标为，
由，解得点B坐标为，
显然AB中点不是，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
方法2：由，解得点A坐标为，
由，解得点B坐标为，
因为AB中点为，所以，解得，
所以的方程为，
圆心N到直线的距离，
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
方法3：假设A点的坐标为，
因为AB中点为，所以B点的坐标为，
又点B 在直线上，所以，
所以A点的坐标为，直线的斜率为4，
所以的方程为，
圆心N到直线的距离，
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
8. （辽宁省抚顺一中2009届高三第一次模拟考试，理科，21）
椭圆ax2+by2 =1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，若|AB|=2，线段AB的中点为C，且OC的斜率为，求椭圆方程.
〖解析〗联立直线与椭圆方程，根据一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式、斜率公式求出a，b的关系，再由弦长公式求出a，b的值，即得所求椭圆的方程.
〖答案〗∴（a+b）x2 -2bx+b-1=0
∴
C（）
KOC =∴b=a，
代入|AB|=2，即：（1+k2）[（x1+x2）2-4 x1x2]=8
a=，b=
∴椭圆方程为：x2+y2 =1
四、考点预测
（一）文字介绍
圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等.
（二）考点预测题
1. （2007年山东高考真题模拟试卷八，理科，22）
椭圆G：的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的
一点，且满足
（Ⅰ）求离心率e的取值范围；
（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为求此时
椭圆G的方程；（ⅱ）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q
为AB的中点，问A、B两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值
范围；若不能，请说明理由.
〖答案〗（I）设M（x0，y0）
①
又 ②
由②得代入①式整理得
又
解得

（Ⅱ）（i）当
设H（x，y）为椭圆上一点，则
若0
由（舍去）
若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18
由2b2+18=50得b2=16
∴所求椭圆方程为
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由
③
又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为
将点Q（x0，y0）代入上式得， ④
由③④得Q
（解1）而Q点必在椭圆内部
由此得
故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称.
（解2）∴AB所在直线方程为
由得
显然1+2k2≠0
而

直线l与椭圆有两不同的交点A、B ∴△＞0
解得
故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。
（ii）另解；设直线l的方程为y=kx+b
由得
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则
③
又直线PQ⊥直线l ∴直线PQ方程为
将点Q（x0，y0）代入上式得， ④
将③代入④⑤
∵x1，x2是（*）的两根
⑥
⑤代入⑥得
∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称
2．（2007年山东高考真题模拟试卷十一，理科，22）
双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的
准线为右准线.
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线： 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.
① 当为何值时，使得?
② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
〖答案〗（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，
又抛物线的准线为：.
设双曲线M的方程为，依题意有，
故，又.
∴双曲线M的方程为.
（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点
联立方程组 消去y得 ，
∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴
∴，从而有
，.
又，
∴.
① 若，则有 ，即 .
∴当时，使得.
② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 ，
因此，当m=0时，不存在满足条件的k；
当时，由 得

∵A、B中点在直线上，
∴ 代入上式得
；又， ∴
将代入并注意到，得 .
∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.
3．（2008年山东卷，理科，22）
如图，设抛物线方程为为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为
（I）求证：三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。
〖答案〗（I）证明：由题意设，，
，
所以三点的横坐标成等差数列。
（II）解：由（I）知，
所以是方程的两根，
或
因此所求抛物线方程为或
（III）解：设由题意得，则中点坐标为
设直线的方程为
与都在上，代入得.
若在抛物线上，则即.
1）当
2）当
（1）对于
矛盾.
（2）对于，，则与轴平行，而直线不垂直矛盾。
综上可知，仅存在一点适合题意.

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