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反比例函数综合题
1. 求解析式：已知点A，B是一次函数和反比例函数的交点，利用待定系数法求解析式．
2. 求交点坐标：
(1)将一次函数与反比例函数解析式联立方程组求解；
(2)若为正比例函数，只要知道一个交点坐标，求其关于原点对称的点坐标即可求得另一交点坐标．
3. 求自变量的取值范围：如图，当y1＞y2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，x的取值范围为x＞xA或xB＜x＜0；当y1＜y2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，x的取值范围为x＜xB或0＜x＜xA.
4. 求几何图形的面积
(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解；
(2)当三边均不在坐标轴上且不平行于坐标轴时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的和或差来求解．
此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”．
常见求图形面积的示例如下：
S△AOB＝OB·AD＝|xB|·|yA|
S△ADB＝S△ACD＋S△BDC＝CD·|xB－ xA|
一、反比例函数与一次函数结合
教材原题
例1　
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝－的图象相交于A(－1，m)，B(n，－1)两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)画出函数图象草图，并据此直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围；
　例1题图
拓展设问
(3)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(4)若M是x轴上一点，连接AM，BM，当S△ABM＝2S△ABO时，求点M的坐标；
(5)若N是y轴上的一动点，连接NA，NB，当|NA－NB|最大时，求点N的坐标，并写出|NA－NB|的最大值．
二、反比例函数与几何图形综合题
教材原题
例2　
已知点P(3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．过点P分别作两坐标轴的垂线，求垂线与两坐标轴围成的矩形的面积．
拓展设问
(1)如图①，A是第一象限内反比例函数图象上一点，连接OA，OP，AP，若OA＝OP，求△OAP的面积；
　例2题图①
(2)如图②，E是第一象限内反比例函数图象上一点，连接EP并延长交x轴于点F，连接EO，OP，若S△EOP＝S△POF，求点E的坐标；
　例2题图②
(3)在(2)的条件下，如图③，连接PO并延长，交反比例函数图象于点M，过点M作MN∥EF交反比例函数图象于点N，连接FN，试判断四边形PMNF的形状，并求出四边形PMNF的面积．
　例2题图③
真题演练
命题点1 反比例函数与一次函数结合
1. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P(1，m).
(1)求m的值；
(2)若PA＝2AB，求k的值．
2. 如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n).
(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围；
(2)求这两个函数的表达式；
　第2题图
(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标．
命题点2 反比例函数与几何图形结合
3. 如图，点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG.
　第3题图
(1)填空：k＝________；
(2)求△BDF的面积；
(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．
基础过关
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝(其中k1·k2≠0)相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是__________．
第1题图　　
2. 如图，点P在反比例函数y＝(k>0)的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB. 一次函数y＝x＋1的图象与PB交于点D，若点D为PB的中点，则k的值为__________．
第2题图
3. 如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________．
第3题图
4. 如图，反比例函数y＝(x<0)与一次函数y＝－2x＋m的图象交于点A(－1，4)，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B,C.
(1)求反比例函数y＝与一次函数y＝－2x＋m的表达式；
(2)当OD＝1时，求线段BC的长．
第4题图
5. 如图，已知直线y＝x＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(2，3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝(x>0)的图象于点C.
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
第5题图
6. 如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标；
(2)分别以点O，A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D. 求线段OD的长．
第6题图
7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝(x>0)的图象分别与AB，BC交于点D(4，1)和点E，且点D为AB的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)若一次函数y＝x＋m与反比例函数y＝(x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，直接写出m的取值范围．
第7题图
综合提升
8. 如图，过点O的直线y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象交于点A，B，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足为点C，D，连接AD，△ACD的面积为2.
(1)求k2的值；
(2)若AC＝2OC，当y1>y2时，求x的取值范围．
第8题图
9. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(0，3)，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D是x轴上一点(不与点A重合)，∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
第9题图
10. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝图象上的点A(，1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF.
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
第10题图
反比例函数综合题
例1　解：(1)把A(－1，m)代入y＝－，解得m＝2，
∴A(－1，2)，
把B(n，－1)代入y＝－，解得n＝2，
∴B(2，－1).
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1；
(2)画出函数图象草图如解图①：
例1题解图①
根据图象可知，使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＜－1或0＜x＜2；
(3)如解图②，设一次函数和y轴的交点为C，
由(1)得一次函数的表达式为y＝－x＋1，点A(－1，2)，点B(2，－1).
当x＝0时，y＝1，
∴OC＝1.
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·|xA|＋OC·|xB|＝×1×1＋×1×2＝；
例1题解图②
(4)如解图③，设AB与x轴交于点D，
由(1)知，直线AB的表达式为y＝－x＋1，
令y＝0，解得x＝1，
∴D(1，0)，
由(3)得S△AOB＝，
∵S△ABM＝2S△ABO，
∴S△ABM＝MD·(yA－yB)＝MD×(2＋1)＝MD×3＝3，解得MD＝2，
∴点M的坐标为(3，0)或(－1，0)；
例1题解图③
(5)如解图④，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′并延长交y轴于点N′，
∴A′(1，2)，
∴当点A′，B，N三点共线，即点N位于N′位置时，|NA－NB|的值最大，最大值为A′B的长．
∴A′B＝＝.
设直线A′B的解析式为y＝ax＋c(a≠0)，
将(1，2)，(2，－1)代入y＝ax＋c(a≠0)中，
得，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝－3x＋5.
当x＝0时，y＝5，
∴点N(0，5)，|NA－NB|的最大值为.
例1题解图④
例2　解：∵点P(3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴k＝3×2＝6，
设过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，
∴S＝|k|＝6.
(1)∵反比例函数的解析式为y＝，点A在反比例函数的图象上，
∴设点A坐标为(x，)，
∵OA＝OP，P(3，2)，
∴32＋22＝x2＋()2，解得x＝2或－2或－3或3，
∵A为第一象限内一点且异于点P，
∴x＝2，
∴A(2，3)，
如解图①，分别过点A，P作x轴的垂线，垂足为B，C，AB交OP于点D，
∵S△OAB＝S△POC＝，
∴S△OAD＝S梯形DBCP，
∴S△OAP＝S梯形ABCP＝＝；
例2题解图①
(2)∵反比例函数的解析式为y＝，点E在反比例函数的图象上，
∴设点E坐标为(a，)，
∵S△EOP＝S△POF，
∴P为EF的中点，
∴F(6－a，4－)，
∵点F在x轴上，
∴4－＝0，解得a＝，
∴＝4，
∴点E的坐标为(，4)；
(3)如解图②，连接EN，
由(2)知，EP＝PF，
∵MN∥EF，
∴∠EPO＝∠NMO，
根据反比例函数图象的性质可知点P与点M关于原点对称，
∴OP＝OM，
在△EOP与△NOM中，
，
∴△EOP≌△NOM(ASA)，
∴MN＝EP，
∴MN＝PF，
∵MN∥EF，
∴四边形PMNF为平行四边形，
由(2)易知，P(3，2)，F(，0)，
∴S△OFP＝OF·yP＝，
∵O为MP的中点，
∴S四边形PMNF＝4S△OFP＝18.
例2题解图②
真题演练
1. 解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上一点，
∴当x＝1时，m＝＝4；(2分)
(2)如解图，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，
∴PM＝4，PN＝1.
①当点B在y轴的正半轴时，
∵PA＝2AB，
∴＝，
易证△A1MP∽△A1OB1，
∴＝＝，
∴OB1＝2，
∴B1(0，2)，
将P(1，4)，B(0，2)代入y＝kx＋b中，
得，解得；(5分)
②当点B在y轴的负半轴时，
∵PA＝2AB，
∴＝，
易证△B2PN∽△B2A2O，
∴＝＝，
∴OA2＝，
∴A2(，0)，
将P(1，4)，A2(，0)代入y＝kx＋b中，
得，解得，
综上所述，k的值为2或6.(8分)
第1题解图
2. 解：(1)x＜－1或0＜x＜4；(2分)
(2)∵点A(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，
∴4＝，(3分)
解得k2＝－4，
∴反比例函数的表达式为y＝－.(4分)
∵点B(4，n)在反比例函数y＝－的图象上，
∴n＝－＝－1，
∴B(4，－1).
∵一次函数的图象过A，B两点，
∴，(5分)
解得，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3；(6分)
(3)如解图，连接OP，OA，OB，设直线y＝－x＋3与x轴交于点C，
第2题解图
∵当y＝0时，x＝3，
∴点C的坐标为(3，0).
∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，
∴S△AOB＝×3×4＋×3×1＝.(7分)
∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，
∴S△BOP＝S△AOB＝×＝5.
∵点P在线段AB上，
∴设P的坐标为(m，－m＋3)，
∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，
∴S△BOP＝×3×(－m＋3)＋×3×1＝5，(8分)
解得m＝，
∴－m＋3＝－＋3＝，
∴点P的坐标为(，).(9分)
3. (1)解：2；(2分)
【解法提示】如解图①，过点M分别向坐标轴作垂线，垂足为P，Q.由题意得S矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝|k|.∵M是OB的中点，∴S矩形PMQO＝S矩形ABCO＝×8＝2，即k＝2.
第3题解图①
(2)解：如解图②，连接OD，
∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－S△DAO＝S矩形ABCO－S△DAO＝×8－＝4－1＝3；(6分)
第3题解图②
(3)证明：如解图③，过点D作DH⊥OG于点H.
设B(m，)，则C(m，0)，G(2m，0)，D(，)，E(m，)，H(，0)，
∴DB＝m－＝，
易得△DHF∽△EBD，(8分)
∴＝，
∴HF＝＝＝m，
∵FG＝OG－OH－FH＝2m－－m＝，
∴FG＝DB，(9分)
∵FG∥DB，
∴四边形BDFG为平行四边形．(10分)
第3题解图③
基础过关
1. 　【解析】如解图，过点A作AC⊥BP交BP的延长线与点C，∵A，B两点都在反比例函数的图象上，∴－2×3＝－2m，解得m＝3，∴B(3，－2).∵PB∥x轴，∴PB＝3，yC＝yB＝－2，∴AC＝yA－yC＝5，∴S△ABP＝BP·AC＝×3×5＝.
第1题解图
2. 4　【解析】由题可知，四边形OAPB为正方形，∵点D为BP的中点，∴OB＝2BD，设D(t，2t)，将(t，2t)代入y＝x＋1中，得t＋1＝2t，解得t＝1，∴D(1，2)，∴P(2，2)，将(2，2)代入反比例函数y＝中，得2＝ ，解得k＝4.
3. y＝　【解析】设BD＝CD＝x，∵四边形CDEF为正方形，∴CF＝EF＝CD＝x，∠DEF＝90°，由矩形OABC可得，∠ABC＝90°，∴B(3，2x)，E(3＋x，x).∵点B，E在同一个反比例函数的图象上，∴3×2x＝(3＋x)x，解得x1＝0(舍去)，x2＝3，∴S矩形OABC＝18，即k＝18，∴这个反比例函数的表达式是y＝.
4. 解：(1)将点A(－1，4)代入y＝得4＝，
解得k＝－4,
∴反比例函数的表达式为y＝－(x<0) .
将点A(－1，4)代入y＝－2x＋m得4＝－2×(－1)＋m，
解得m＝2，
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋2；
(2)∵OD＝1，且BC⊥y轴，
∴B，C的纵坐标都为1.
将y＝1代入y＝，得1＝，
解得x＝－4，
∴点B的坐标为(－4，1).
将y＝1代入y＝－2x＋2，得1＝－2x＋2，
解得x＝，
∴点C的坐标为(，1)，
∴BC＝－(－4)＝.
5. 解：(1)将A(2，3)代入y＝x＋b，得3＝2＋b，解得b＝1，
∴直线AB的表达式为y＝x＋1.
将A(2，3)代入y＝，得3＝，解得k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)；
(2)令y＝x＋1中，x＝0，得y＝1，
∴B(0，1)，
设点A到BC的距离为h，
∵点C在反比例函数y＝(x>0)图象上，且BC∥x轴，
∴点C纵坐标为1,
把y＝1代入y＝，
得x＝6，
∴点C坐标为(6，1)，
∴BC＝6.
∵A(2，3)，∴h＝3－1＝2，
∴S△ABC＝BC·h＝×6×2＝6，
∴S△ABC＝6.
6. 解：(1)解方程组，得，，
∵x>0，
∴A(3，4)；
(2)由题意可得，CD垂直平分OA，如解图，过点A作AE⊥OD于点E，连接AD，则AD＝OD，
设D(m，0)，则AD＝OD＝m，DE＝m－3，AE＝4，
在Rt△AED中，AD2＝DE2＋AE2，
∴m2＝(m－3)2＋42，解得m＝，
∴OD＝.
第6题解图
7. 解：(1)∵点D(4，1)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)，
∵四边形OABC为矩形，且点D为AB中点，
∴AB＝2，
∴点E的纵坐标为2，
当y＝2时，x＝2，
∴点E的坐标为(2，2)；
(2)－3≤m≤0.
【解法提示】由题可知，D(4，1)，E(2，2)，当一次函数y＝x＋m的图象经过点D时，则1＝4＋m，解得m＝－3；当一次函数y＝x＋m的图象经过点E时，则2＝2＋m，解得m＝0.∵一次函数与反比例函数图象的交点M在D，E之间，且可与点D，E重合，∴m的取值范围为－3≤m≤0.
8. 解：(1)∵线段AB经过原点，
∴点A，B关于原点对称，
∴OD＝OC，则S△ADO＝S△AOC.
∵△ACD的面积为2，
∴S△AOC＝S△ADC＝1，
则|k2|＝1，
∴|k2|＝2.
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k2>0，
∴k2＝2；
(2)∵AC＝2OC，
∴设点A的坐标为(xA，2xA)，
由(1)知k2＝2，
∴反比例函数解析式为y2＝，
将(xA，2xA)代入y2＝中，得2xA＝，
解得xA＝1或xA＝－1.
∵点A在第一象限，
∴xA＝1，
∴A(1，2)，B(－1，－2).
∵y1>y2，
∴x的取值范围为－11.
9. 解：(1)如解图，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵CE∥x轴，
∴四边形OECG是矩形，
∴CE＝OG，OE＝CG.
∵A(1，0)，B(0，3)，
∴OA＝1，OB＝3.
∵∠ACB＝∠ECG＝90°，AC＝BC，
∴∠BCE＝∠ACG.
在△CBE和△CAG中，
，
∴△CBE≌△CAG(AAS)，
∴BE＝AG，CE＝CG.
设AG＝a，
∴BE＝a，CG＝OE＝CE＝a＋1，OB＝2a＋1，
∴2a＋1＝3，解得a＝1，
∴C(2，2)，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
第9题解图
(2)(2－，2)或(2＋，2).
【解法提示】∵AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF.∵CE∥x轴，∴∠DAF＝∠CFA，∴∠CAF＝∠CFA，∴AC＝CF.∵AG＝1，CG＝2，∴AC＝＝＝，∴CF＝，∴点F的坐标为(2－，2)或(2＋，2).
10. 解：(1)∵反比例函数y＝图象经过点A(，1)，
∴k＝×1＝；
(2)如解图，连接AC，交x轴于点M，
第10题解图
∵四边形AOCD是菱形，
∴AC⊥OD，点M是AC的中点．
由A(，1)得AM＝1，OM＝，AC＝2AM＝2，
在Rt△OMA中，OA＝＝＝2，
∴OA＝OC＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴扇形AOC的半径为2，圆心角为60°；
(3)3－π.
【解法提示】由(2)可得∠AOC＝60°，OA＝2.∵四边形OBEF为菱形，点E在x轴上，∴S△OBF＝S△OBE.∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBE＝，∴S阴影＝S△OBE＋S菱形AOCD－S扇形AOC＝＋2－＝3－.

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