资源简介

二次函数的图象与性质
1. 已知抛物线y＝x2－2x＋2.
(1)抛物线的对称轴为直线________，顶点坐标为________；
(2)抛物线开口向________，有最________值，为________；
(3)抛物线与x轴________(填“有”或“无”)交点，与y轴的交点坐标为________；
(4)若点D(－1，y1)，E(4，y2)均为该抛物线的一点，则y1________y2(填“＞”，“＜”或“＝”).
2. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和(2，3).
(1)二次函数的解析式为________；
(2)将此二次函数的图象先向下平移3个单位长度，得到的二次函数C1的解析式为________，再向右平移1个单位长度，得到的二次函数C2的解析式为________；
(3)将此抛物线向左平移m(m＞0)个单位长度，使得平移后的抛物线经过点(1，13)，则m的值为________.
3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.下列结论正确的有______________．(填序号)
　
第3题图
①bc＜0；②2a＋b＝0；③9a＋3b＋c＝0；④4a＋2b＋c＞0；⑤2c－3b＜0；⑥一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是－1和3；⑦对于任意实数m，总有a＋b≥m(am＋b).
知识逐点过
考点1 　二次函数的图象与性质
概念 形如y＝①__________(a，b，c是常数，a≠0)
对称轴 1. 对称轴为直线x＝②________；2. 配方转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为直线③______(实质是已知顶点横坐标)；3. 已知抛物线上纵坐标相同的两点A(x1，y)，B(x2，y)，则对称轴为直线x＝(实质是点A与点B关于对称轴对称)
顶点坐标 1. 顶点坐标④______________；2. 运用配方法将一般式转化为顶点式求解
增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而⑤________；在对称轴右侧，y随x的增大而⑥________ a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而⑦________；在对称轴右侧，y随x的增大而⑧________
最值 a＞0时，y有最小值．当x＝－时，y的最小值为⑨________ a＜0时，y有最大值．当x＝－时，y的最大值为⑩________
考点2 　二次函数的图象与系数a，b，c的关系
1. 根据二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)判断函数图象
a的值 a＞0 开口 ________
a＜0 开口 ________
a，b的值 b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴 ________
a，b异号 对称轴在y轴 ________
c的值 c＝0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与y轴交于 ________半轴
c＜0 抛物线与y轴交于 ________半轴
b2－4ac的值 b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有 ________交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
2. 根据二次函数图象判断a，b，c的关系式与0的关系
关系式 实质
2a＋b 结合a的正负比较－(对称轴与x轴交点的横坐标)与1的关系
2a－b 结合a的正负比较－(对称轴与x轴交点的横坐标)与－1的关系
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标正负
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标正负
考点3 　二次函数解析式的确定
1. 二次函数解析式的三种形式
一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)
顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k为常数)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a为常数)，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标
2. 待定系数法求解析式
步骤 (1)设二次函数解析式；(2)代入点的坐标：用待定系数法将图象上的点的坐标代入所设解析式中，得到关于待定系数的方程(组)；(3)求解：解方程(组)，求得待定系数的值，将其代回所设解析式中
解析式设法 (1)若顶点在原点，可设为y＝ax2；(2)若对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；(3)若顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；(4)若抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；(5)若已知任意三个点的坐标，可设为y＝ax2＋bx＋c；(6)若已知顶点(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；(7)若已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)
考点4 　二次函数图象的平移
平移前的解析式 平移方式(m＞0) 平移后的解析式
y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k
向右平移m个单位长度 ____________
向上平移m个单位长度 ____________
向下平移m个单位长度 ____________
【温馨提示】二次函数图象平移的实质是图象上点的整体平移(研究顶点坐标为主)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解得函数解析式
考点5 　二次函数与方程的关系
与x轴交点坐标的确定 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解
与x轴交点个数的判断 1.二次函数的图象与x轴有两个交点 方程ax2＋bx＋c＝0有________的实数根 b2－4ac＞0；2．二次函数的图象与x轴有且只有一个交点 方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 b2－4ac______0；3．二次函数的图象与x轴没有交点 方程ax2＋bx＋c＝0________实数根 b2－4ac＜0
真题演练
命题点1 二次函数的图象与性质
1. 如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点 B在y轴上，则ac的值为(　　)
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
第1题图　　
拓展训练
2. 已知抛物线y＝x2＋mx－1经过(－4，n)和(2，n)两点，则m－n的值为(　　)
A. －7 B. －5 C. 2 D. 5
3. 如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是(　　)
A. 抛物线的对称轴为直线x＝1 B. 抛物线的顶点坐标为(－，－6)
C. A，B两点之间的距离为5 D. 当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大
第3题图
命题点2 二次函数图象与系数a，b，c的关系
4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1.下列结论：
①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正确的有(　　)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第4题图
命题点3 二次函数解析式的确定
基础训练
5. 根据下列已知条件，求抛物线的解析式．
形式一　已知顶点坐标
(1)已知抛物线经过原点，且顶点坐标为(1，－1)，求该抛物线的解析式；
形式二　已知交点坐标
(2)已知抛物线与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点(0，3)，求该抛物线的解析式；
(3)已知抛物线与x轴，y轴分别交于(－2，0)，(0，－4)，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式；
形式三　已知与x轴交点的距离
(4)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋1与x轴的两个交点的距离为2，求该抛物线的解析式；
(5)如图，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，求该抛物线的解析式．
　第5题图
6. 如图，二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与直线y＝－x＋3的图象交于A，B两点，点A的坐标为(m，7)，点B的坐标为(1，n).求二次函数y＝x2＋ax＋b的解析式．
　第6题图
命题点4 　二次函数图象的平移
7. 把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为(　　)
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－1)2＋1 C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－1)2＋3
8. 把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________．
基础过关
1. 二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 二次函数y＝x2＋2x＋2的图象的对称轴是直线(　　)
A. x＝－1 B. x＝－2 C. x＝1 D. x＝2
3. 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
第4题图
5.若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　)
A. (m，n＋1) B. (m＋1，n) C. (m，n－1) D. (m－1，n)
6. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A. y＝(x＋3)2＋2 B. y＝(x－1)2＋2
C. y＝(x－1)2＋4 D. y＝(x＋3)2＋4
7. 抛物线的顶点坐标为(2，0)，与y轴交于点(0，－8)，则该抛物线的解析式为(　　)
A. y＝3x2＋2x B. y＝－x2－2x
C. y＝－2x2－4x＋3 D. y＝－2x2＋8x－8
8. 已知抛物线y＝x2＋mx－1经过点(－4，n)和(2，n)，则m－n的值为(　　)
A. －7 B. －5 C. 2 D. 5
9.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　　)
A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝ax2－a的图象可能是(　　)
ABCD
11. (开放性试题)一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是__________．
12. 已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝__________．
13. 已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a>0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为__________．
综合提升
14. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc>0；②b＝2a；③3a＋c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋k2＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
⑤若点(m，y1)，(－m＋2，y2)均在该二次函数图象上，则y1＝y2.
其中正确结论的个数是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第14题图
15. 已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上．
(1)当m＝－1时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2(3)求证：b2＋4a＝0.
二次函数的图象与性质
1. (1)x＝1，(1，1)；【解析】y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，1)；
(2)上，小，1；【解析】由(1)知，a＞0，∴抛物线开口向上，有最小值，最小值为1；
(3)无；(0，2)；【解析】由(2)知，抛物线开口向上，最小值为1，∴函数图象与x轴无交点；令x＝0，解得y＝2，∴与y轴的交点坐标为(0，2)；
(4)＜.【解析】∵1＞0，∴离对称轴越远，y值越大，∵|－1－1|＝2，|4－1|＝3，3＞2，∴y1＜y2.
2. (1)y＝x2－x＋1；【解析】∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和(2，3)，∴，解得，∴该二次函数的解析式为y＝x2－x＋1.
(2)y＝x2－x－2，y＝x2－3x；【解析】将此二次函数的图象向下平移3个单位长度，根据“上加下减”，则给y整体减3，即C1为：y＝x2－x－2，将C1向右平移1个单位长度，根据“左加右减”，则给x减1，即C2为：y＝(x－1)2－(x－1)－2＝x2－3x.
(3)3；【解析】将此二次函数的图象向左平移m(m＞0)个单位长度，根据“左加右减”，得平移后的函数解析式为y＝(x＋m)2－(x＋m)＋1，∵平移后的抛物线经过点(1，13)，∴13＝(1＋m)2－(1＋m)＋1，解得m＝3(负值已舍).
②③⑥　【解析】①由图象可得，抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝－＝1，∴b＝－2a＜0，∵抛物线与y轴负半轴相交，∴c＜0，∴bc＞0，故①错误；②由①知2a＋b＝0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且与x轴其中一个交点的坐标为(－1，0)，由对称性得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴9a＋3b＋c＝0，故③正确；④∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，且在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，故④正确；⑤∵b＝－2a，a－b＋c＝0，∴c＝b－a＝－2a－a＝－3a，∴2c－3b＝－6a＋6a＝0，故⑤错误；⑥由③可知抛物线与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是－1和3，故⑥正确；⑦∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y有最小值a＋b＋c，当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，则a＋b＋c≤am2＋bm＋c，即a＋b≤m(am＋b)，故⑦错误．
知识逐点过
①ax2＋bx＋c　②－　③x＝h　④(－，)　⑤减小　⑥增大
⑦增大　⑧减小　⑨　⑩　 向上　 向下　 左侧　 右侧　 正　 负　 两个
y＝a(x－h－m)2＋k
y＝a(x－h)2＋k＋m　 y＝a(x－h)2＋k－m　两个不相等　＝
没有　
真题演练
1. B　【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，当x＝0时，y＝c，即OB＝c，∵四边形OABC是正方形，∴AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC⊥OB，∴A(，)，∴＝a×＋c，解得ac＝－2.
第1题解图
2. B　【解析】∵抛物线经过(－4，n)和(2，n)两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，∴－＝－1，解得m＝2，代入点(2，n)得，n＝22＋2×2－1＝7，∴m－n＝2－7＝－5.
3. C　【解析】∵二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，∴0＝9a－3－6，∴a＝1，∴二次函数解析式为y＝x2＋x－6＝(x＋)2 －，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，－)，故A，B选项不正确，不符合题意；∵a＝1＞0，抛物线开口向上，当x＜－1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当y＝0时，x2＋x－6＝0.即x1＝－3，x2＝2，∴B(2，0)，∴AB＝5，故C选项正确．
4. B　【解析】①∵抛物线开口向下且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，又∵抛物线的对称轴为x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，得b2－4ac＞0，故②正确；③由题图知，当x＝－2时，二次函数y＝4a－2b＋c＜0.又由①知b＝－2a.∴y＝4a－2b＋c＝8a＋c＜0.故③正确；④∵5a＋b＋2c＝(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)，结合图象可知：当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，∴(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)＝5a＋b＋2c＞0.故④正确．∴正确的有3个，故选B.
5. 解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，－1)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)，
∵抛物线经过原点，
∴0＝a－1，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－1＝x2－2x；
(2)∵抛物线与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
∵抛物线与y轴交于点(0，3)，
∴3＝－3a，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；
(3)∵抛物线与x轴交于点(－2，0)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(4，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)(a≠0)，
∵抛物线与y轴交于点(0，－4)，
∴－4＝－8a，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋2)(x－4)＝x2－x－4；
(4)由题意可知，抛物线的对称轴为直线－＝－2，
∵抛物线与x轴的两个交点的距离为2，
∴抛物线与x轴的两个交点分别为(－3，0)，(－1，0)，
将(－1，0)代入抛物线解析式可得，0＝a－4a＋1，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x＋1；
(5)设点A的坐标为(2m，0)，则点B的坐标为(－m，0)，
将点A(2m，0)，B(－m，0)代入抛物线y＝ax2＋x＋2中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
6. 解：(1)根据题意可知，点A，B在直线y＝－x＋3上，
将A(m，7)，B(1，n)代入y＝－x＋3，
得m＝－4，n＝2，
∴A(－4，7)，B(1，2)，
∵点A，B在二次函数y＝x2＋ax＋b的图象上，
∴把点A(－4，7)，B(1，2)代入y＝x2＋ax＋b，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－1.
7. C　【解析】y＝(x－1)2＋2向右平移1个单位后得到y＝(x－1－1)2＋2，即y＝(x－2)2＋2.
8. y＝2(x＋1)2－2
基础过关
1. B　【解析】∵y＝－(x＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)，∴顶点在第二象限．
2. A　【解析】 对称轴为直线x＝－＝－＝－1.
3. D　【解析】∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数的最小值为－2，当x＝0时，y＝x2－2x－1＝－1，当x＝3时，y＝32－2×3－1＝2，∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.
4. D　【解析】由题图可知，二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，－＞0，∴b＜0，∴点P(a，b)在第四象限．
5. D　【解析】由题意得，抛物线y＝a(x＋1)2是由抛物线y＝ax2沿x轴向左平移一个单位得到的，设抛物线平移后，点P的对应点为点P′，∴点P′在抛物线y＝a(x＋1)2上．∵点P(m，n)，∴点P′(m－1，n).
6. B　【解析】 二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后，可得新的二次函数为y＝(x＋1－2)2＋3－1＝(x－1)2＋2.
7. D
8. B　【解析】∵抛物线经过(－4，n)和(2，n)两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，∴－＝－1，解得m＝2，代入点坐标(2，n)得n＝22＋2×2－1＝7，则m－n＝2－7＝－5.
9. D　【解析】∵二次函数的图象过点(0，6)，∴m2－m＝6，解得m1＝3，m2＝－2.∵二次函数的对称轴在y轴左侧，∴－＜0，即m＞0，∴m＝3，∴二次函数的表达式为y＝x2＋3x＋6＝(x＋)2＋≥，∴该二次函数有最小值.
10. A　【解析】 ①当a＞0时，二次函数y＝ax2－a的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴上，一次函数y＝ax＋1的图象经过第一、二、三象限，且与y轴的交点为(0，1)；②当a＜0时，二次函数y＝ax2－a的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴上，一次函数y＝ax＋1的图象经过第一、二、四象限，且与y轴的交点为(0，1).综上所述，符合题意的只有选项A.
11. y＝－x2＋1(答案不唯一)　【解析】 由题意得b＝0，a＜0，c＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝－x2＋1.
12. 9　【解析】∵抛物线与x轴有且只有一个交点，∴一元二次方程x2－6x＋m＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(－6)2－4m＝0，解得m＝9.
13. 2　【解析】∵y＝－ax2＋2ax＋3(a>0)经过点P(m，3)，∴3＝－am2＋2am＋3，化简得－am2＋2am＝0，－am(m－2)＝0.∵a>0，∴解得m1＝0，m2＝2.∵m≠0，∴m＝2.
14. B　【解析】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1>0，c<0，∴a>0，b<0，∴abc>0，故①正确；∵－＝1，∴b＝－2a，故②错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(3，0)，(x1，0)，∴＝1，∴x1＝－1，∴与x轴的另一个交点为(－1，0)，∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－(－2a)＋c＝3a＋c＝0，故③正确；∵y＝ax2＋bx＋c＋k2是y＝ax2＋bx＋c向上平移k2个单位，∴y＝ax2＋bx＋c＋k2与x轴可能有两个交点，一个交点或无交点，∴ax2＋bx＋c＋k2＝0(a≠0)可能有两个不相等的实数根，也可能有两个相等的实数根，也可能没有实数根，故④错误；∵点(m，y1)，(－m＋2，y2)均在该二次函数y＝a(x＋1)(x－3)的图象上，∴y1＝a(m＋1)(m－3)，y2＝a(－m＋3)(－m－1)＝a(m－3)(m＋1)，∴y1＝y2，故⑤正确．正确的个数为3个．
15. (1)解：当m＝－1时，图象过点(1，0)和(－3，0)，
∴，
解得，
∴a＝－1，b＝－2.
(2)解：由题可知，图象过点(－m，0)和(3m，0)，
∴对称轴为直线x＝m.
∵图象过点(n，3)，(0，3)，
∴根据图象的对称性得n＝2m.
∵－2(3)证明：∵图象过点(－m，0)和(3m，0)，
∴根据图象的对称性得－＝m.
∴b＝－2am，顶点坐标为(m，am2＋bm＋3).
将点(－m，0)和(3m，0)分别代入表达式，
得，
解得，
∴am2＋bm＋3＝－1＋2＋3＝4.
∴＝4，
∴12a－b2＝16a，∴b2＋4a＝0.

展开更多......

收起↑