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(共34张PPT)
项目八 相关与回归分析
学习目标
【知识目标】
掌握相关系数的含义、计算方法和应用
掌握一元线性回归的基本原理
【能力目标】
掌握回归方程的显著性检验
利用回归方程进行预测
任务一 变量间关系的度量
一、变量间的关系
二、相关关系的描述与测度
一、变量间的关系
是一一对应的确定关系
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
各观测点落在一条线上









x
y
函数关系的例子
某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2
企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
一、变量间的关系
变量间关系是不确定的数量关系,不能用函数关系精确表达
一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个
各观测点分布在直线周围









x
y
一、变量间的关系
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
一、变量间的关系
二、相关关系的描述与测度
(一）散点图
相关分析就是对两个变量之间关系的描述与度量,关注的是评价对象两两之间的相对变动,不需要明确区分自变量,因变量.
散点图: 用坐标的横轴代表变量x,纵轴代表因变量y,每组数据( )在坐标系中用一个点表示,n组数据在坐标系中形成的n个点称为散点,由坐标及散点形成的二维数据图叫散点图.
相关关系的图示












不相关









负线性相关









正线性相关












非线性相关







完全负线性相关
完全正线性相关









（二）相关关系的类型
1 按相关关系涉及变量(因素0的多少,可以分为单相关和复相关(多元相关)
2 按相关形式可分为线性相关和非线性相关
3 按相关的方向,线性相关可分为正相关和负相关
4 按变量之间的相关程度,可分为完全相关,高度相关,低度相关和不相关
（三）相关系数
是对变量之间关系密切程度的度量
根据线性相关变量的多少,分析问题的角度的不同,相关系数分为简单相关系数,偏相关系数,复相关系数
反映曲线相关变量之间关系密切程度的曲线相关系数称为相关指数
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r
相关系数
样本相关系数的计算公式
或化简为
相关系数
（相关系数取值及其意义）
r 的取值范围是 [-1,1]
|r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关
r =-1，为完全负正相关
r = 0，不存在线性相关
-1 r<0，为负相关
0|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切
通常：|r|>=0.8，高度相关; 0.5=<|r|<0.8，中度相关;o.3=< |r|<0.5，低度相关; |r|<0.3，不相关．
相关系数的显著性检验
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系
２．采用 t 检验
3．检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
计算检验的统计量：
根据给定的显著性水平 和自由度(n-2)，查t分布表找到相应的临界值,并作出决策
若 t >t ，拒绝H0
若 t 相关系数例题
一位工业心理学家获得了10个工人的智商值和劳动生产率,试计算智商值和劳动生产率之间的相关系数,并对进行显著性检验.(
样本序号 智商值x 劳动生产率y xy
1 110 5.2 12100 27.04 572.0
2 120 6.0 14400 36.00 720.0
3 130 6.3 16900 39.69 819.0
4 126 5.7 15876 32.49 718.2
5 122 4.8 14884 23.04 585.6
6 121 4.2 14641 17.64 508.2
7 103 3.0 10609 9.00 309.0
8 98 2.9 9600 8.41 284.2
9 80 2.7 6400 7.29 216.0
10 97 3.2 9409 10.24 310.4
合计 1107 44.0 124823 210.84 5042.6
相关系数计算
解：根据样本相关系数的计算公式有
相关系数的显著性检验
对计算的相关系数进行显著性检( 0.05)
1提出假设：H0： ；H1： 0
2计算检验的统计量
3根据显著性水平 ＝0.05，查t分布表得t (n-2)=2.306
由于 t =4.921>t (10-2)=2.306，拒绝H0，即样本相关系数是显著的,说明智商值与劳动生产率之间确实存在线性关系
任务二 一元线性回归
一、一元线性回归模型
二、最小二乘法
什么是回归分析？
侧重于考察变量之间的数量伴随关系
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式
对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量(因变量)的诸多变量(自变量)中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度
回归分析与相关分析的区别
相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
回归模型
1. 回答“变量之间是什么样的关系？”,描述因变量y如何依赖自变量 x和误差项 的方程
2． 因变量：
　在回归分析中，被预测或被解释的变　　　　量，用y表示
3．自变量：
　　在回归分析中，用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量，用x表示
4 主要用于预测和估计
回归模型的类型
一个自变量
两个及两个以上自变量
回归模型
多元回归
一元回归
线性回归
非线性回归
线性回归
非线性回归
一、一元线性回归模型
当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归
对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x + e
模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化
误差项 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
0 和 1 称为模型的参数
（一）回归方程
描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程
简单线性回归方程的形式如下
E( y ) = 0+ 1 x
方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值
1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值
（二）估计(经验)的回归方程
简单线性回归中估计的回归方程为
其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程
总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计
二、最小二乘法
使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即
用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
（图示）
x
y
(xn , yn)
(x1 , y1)









(x2 , y2)
(xi , yi)
｝
ei = yi-yi
＾
（ 和 的计算公式）
根据最小二乘法的要求，可得求解 的标准方程如下
估计方程例题
一位工业心理学家获得了10个工人的智商值和劳动生产率,试计算智商值和劳动生产率之间的回归方程
样本序号 智商值x 劳动生产率y xy
1 110 5.2 12100 27.04 572.0
2 120 6.0 14400 36.00 720.0
3 130 6.3 16900 39.69 819.0
4 126 5.7 15876 32.49 718.2
5 122 4.8 14884 23.04 585.6
6 121 4.2 14641 17.64 508.2
7 103 3.0 10609 9.00 309.0
8 98 2.9 9600 8.41 284.2
9 80 2.7 6400 7.29 216.0
10 97 3.2 9409 10.24 310.4
合计 1107 44.0 124823 210.84 5042.6
估计方程的求法
根据计算表中的数据，依据 和 的求解公式得
^
y = -3.9 + 0.075 x
一个二元线性回归的例子
(Excel 输出的结果)

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