资源简介

(共55张PPT)
项目五
平均指标与标志变异指标分析
【知识目标】
了解两类指标的概念和作用
掌握平均指标种类和计算方法
掌握标志变异指标种类和计算方法
【能力目标】
能够综合运用总量、相对指标、平均、变异指标对宏观和微观经济现象进行分析判断
学习目标
任务一 平均指标
平均指标的概念及作用
平均指标的种类及计算
一.平均指标的意义
㈠平均指标的概念及特点
平均指标是反映社会经济现象数量一般水平的综合指标。其表现形式为平均数。
平均指标也有静态与动态之分。
静态平均指标是反映一定时期内同类社会经济现象总体各单位标志值一般水平的综合指标。（本章所讲，仅指此种）
如：反映职工工资一般水平的“平均工资”；反映产品成本一般水平的“单位成本”。
1.抽象化数值。平均数不是哪一个单位的具体数值，而是抽象掉（抵消）了某一数量标志下各单位标志值之间的差异。
2.代表性数值。平均数在所有标志值中最适中、最有代表性，因而能够代表总体各单位在某一数量标志上达到的一般水平。
3.集中趋势值。平均数反映了总体分布的集中趋势，即在平均数周围分布的次数最多。表明大多数单位的标志值趋近于平均数，因此可以说平均数反映了总体的共性特征。
平均指标的三个特点（特征）
总体分布集中趋势
次数或频率
变量值
平均数
0
x
f
平均指标的意义
㈡平均指标的作用
1.对现象进行比较分析
不同总体在空间上比较差距；
同一总体在时间上比较变化。
年份 1990年 2000年 2005年 2006年
城 镇 1279 4998 7943 8697
农 村 585 1670 2555 2829
表明我国城乡人均消费性支出不断增长，消费水平在城乡间差别仍然较大。
【例】我国城乡居民人均消费性支出（元）
2.用于依存关系分析（与分组法结合）
3.用于估计推算
平均指标有算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数五种计算方法。
平均指标的作用
二.平均数的种类及计算
㈠算术平均数（法）
算术平均数是根据总体各单位标志值的算术和计算的平均数。它是计算平均数最常用的方法。
算术平均数的基本公式：
总体标志总量
算术平均数
=
总体单位总量
※注意平均数与具有“平均” 意义的强度相对数的区别。
※平均数与强度相对数的区别
【例】某工厂有职工100人，其中工人90人，上月生产某产品1800件。则：
平均数：
工人劳动生产率=1800/90=20件/人
强度相对数：
全员劳动生产率=1800/100=18件/人
计算平均数时，若已知总体单位总量和标志总量，可用基本公式（如上例）。
1.简单算术平均数
若所给资料是总体各单位的标志值(x)，则先将各标志值简单相加得出标志总量，再除以标志值的个数，求得平均数。用此法计算的平均数称为简单算术平均数。公式：
【例】某机械厂5名工人，每人日产零件数分别为20、21、22、24、25件。则人均日产零件数为：

n
x
x
=

n
x
x
=
20+21+22+24+25
5
=
=
22.4（件）
算术平均数
2.加权算术平均数
若所给资料为一变量数列，则需要先将各组的标志值乘以次数，得出各组的标志总量，并加总出总体的标志总量，再除以各组次数之和（总次数），求得平均数。用此法计算的平均数，称为加权算术平均数。公式：
式中：ｋ为组数，ｆ为各组次数，ｘ为各组标志值（组距数列以组中值代替）。


=
+
+
+
+
+
+
=
k
k
k
f
f
x
f
f
f
f
x
f
x
f
x
x
2
1
2
2
1
1
…
…
算术平均数
◎加权算术平均数算例——由单项数列
【例】某车间100名工人，按日产零件数分组编制的单项数列如下表：
则，平均每人日产零件数为：
每人日产零件数（件）Ｘ 工人数（人）ｆ 权重系数 每组日产零件数（件）
16
17
18
19
20 12
20
30
23
15 ０.１２
０.２０
０.３０
０.２３
０.１５ 192
340
540
437
300
合 计 100 １.００ 1809
（件）
09
.
18
100
1809
=
=
=


f
x f
x
◎加权算术平均数算例——由组距数列
【例】50名工人日产量分组资料：
日产零件（个） 工人数f 组中值x xｆ
105~109
110~114
115~119
120~124
125~129
130~134
135以上 3
5
8
14
10
6
4 107
112
117
122
127
132
137 　321
　560
　936
1708
1270
　792
　548
合 计 50 — 6135
（个）
6135

7
.
122
50
=
=
=

f
x f
x
解：工人平均日产量：
※关于加权算术平均数的几点说明
⑴加权算术平均数受标志值和次数两个因素的影响。标志值既定，次数对平均数具有权衡轻重作用，故称 “权数”或 “权重”。加权算术平均数总趋近于次数较多的标志值。
⑵若各组次数相同（f＝Ａ常数），权数作用相同或消失。此时加权算术平均数等于简单算术平均数，即：
n
x
n A
x
A
f
xf
x




=
=
=
简单算均数是加权
算均数的一个特例
⑶权数作用的实质，不在于各组次数多少，而在于各组次数占总次数比重即权重系数的大小。因此，加权算术平均数可采用权重系数作权数。
公式：
【例】根据前例100名工人日产零件分组的权重资料，计算平均每人日产零件数：
X =16×0.12+17×0.2+18×0.3+19×0.23+20×0.15
=1.92+3.4+5.4+4.37+3=18.09（件）
⑷根据组距数列计算的加权算术平均数，只是一个近似值。
f


=
f
x
x
※关于加权算术平均数的几点说明
(1)平均数与总次数之积等于总体标志总量。
(2)各标志值与平均数的离差之和等于零。
(3)各标志值与平均数的离差平方和最小。

=
x
n
x


=
xf
f
x

=
-
0
)
(
x
x

=
-
0
)
(
f
x
x
3.算术平均数的主要数学性质
简单算术平均数
加权算术平均数
调和平均数是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，故又称倒数平均数。它是在已知标志值和标志总量而无总体单位数时，计算平均数的一种变通方法。
1.简单调和平均数
当各标志值对应的标志总量为1 或相等时，采用简单调和平均法计算平均数。
由定义可得公式：
+
+
+
=
n
x
x
x
H
n
=
n

x
1
1
...
1
1
1
2
1
（二）调和平均数H
◎简单调和平均数
【例】有三种蔬菜，价格（元/千克）分别为0.5、0.4和0.2。试计算其平均价格。
平均价格
购买额
购买量
=
各买1千克，可用简单算术平均法计算：
平均价格：
n
x
x

=
=
0.5+0.4+0.2
3
=
0.37元/千克
H
n
3

x
1
=
=
0.5
1
+
+
1
0.4
1
0.2
=
平均价格：
0.32元/千克
各买1元，则用简单调和平均法计算：
2.加权调和平均数
当各标志值对应的标志总量不等时，存在权数问题，应以标志总量（m）作权数，对标志值的倒数进行加权，计算加权调和平均数。公式：

m
m
m
x
x
x
+
+

=
+
+
=
x
m
m
H
m
m
m
k
k
k
...+
+…
2
2
1
1
2
1
【例】前例三种蔬菜，若各买3、2、1元，则：
平均价格：
)
/
(
375
.
0
16
6
2
.
0
1
4
.
0
2
5
.
0
3
1
2
3
千克
元
=
=
+
+
+
+
=
H
调和平均数
3.加权调和平均数、加权算术平均数的应用
上式可见，加权调和平均数实际上是加权算术平均数的变形，两者只是适用资料不同：
已知标志值和标志总量时，计算加权调和平均数；
已知标志值和单位数时，计算加权算术平均数。
同理，由相对数或平均数数列计算平均数：
①分子、分母资料齐全，可直接加总、对比；
②有分子资料、无分母资料，加权调和平均；
③有分母资料、无分子资料，加权算术平均。
由相对数数列计算平均数
【例】某公司下属三个企业1、2月份产值计划执行情况
企业
名称 1月产值 2月产值
计划完成(%)ｘ 计划
(万元)f 实际
计划完成(%)ｘ 实际
(万元)ｍ 计划
ｍ/x
甲
乙
丙 102
110
95 50
40
60 51
44
57 94
104
100 51.7
46.8
56.0 55
45
56
合计 — 150 152 — 154.5 156
公司1月份计划完成%
公司2月份计划完成%
%
33
.
101
150
152
=
=
=


f
xf
x
%
04
.
99
156
5
.
154
=
=
=


x
m
m
H
由平均数数列计算平均数
【例】某企业两个分厂生产A产品的有关资料
524.37元
8000
419.5
=
=
=


x
m
m
H

元
.
508.73
5500
279.8
=
=
=

f
xf
x
产品批次 一 分 厂 二 分 厂
单位成本(元)ｘ 产量
(件) f 总成本(万元) 单位成本(元)ｘ 总成本
(万元)ｍ 产量(件)
ｍ/x
一批
二批
三批 520
510
500 1500
1800
2200 78.0
91.8
110.0 500
520
550 100.0
182.0
137.5 2000
3500
2500
合计 — 5500 279.8 — 419.5 8000
一分厂平均成本:
二分厂平均成本:
(三)几何平均数G
几何平均数是ｎ个变量值连乘积的ｎ次方根.
几何平均数是计算平均比率或平均速度最常用的方法。这是因为几何平均数的数学性质与社会经济现象的平均比率和平均速度形成的客观过程相一致。
凡是各变量值的连乘积等于总比率或总速度的情况，都适合用几何平均法计算平均比率或平均速度。
几何平均数也有简单与加权之分。
当各个变量值未经分组或出现次数相同时，采用简单几何平均数。公式：
n
n
G
x
x
x
n
x
P
=
×
×
=
…×
2
1
几何平均数一般需要开高次方。可以利用多功能计算器，或者通过对数转换。即：
可见，几何平均数的对数，实质上是各个变量值对数的算术平均数。
1.简单几何平均数
◎简单几何平均数算例
【例】某产品四道工序的合格率如表，试计算平均合格率（即该产品的合格率）。
车 间 合格率（%）ｘ 对数lgｘ
毛坯车间
粗加工间
精加工间
装配车间 97
93
91
87 1.98677
1.96848
1.95904
1.93952
合 计 — 7.85381
解:
4
lg
x

n
=
lgG
=
7.85381
=
1.96345
求反对数，得产品平均合格率G=91.93%
当各个变量值有不同的次数出现时，应采用加权几何平均数。公式：

P
=
·
·
·
=
+
+
+
f
f
k
x
x
x
x
f
f
f
f
f
f
k
k
G
...
2
1
2
1
2
1
...
【例】某银行近25年的投资年利率情况是：1年为8%，4年为5%，8年为4%，10年为3%，2年为2%。求平均年利率。
在计算平均年利率时，应还原为本利率。
2.加权几何平均数
◎加权几何平均数算例
平均年本利率计算表
本利率(%)ｘ 年数(次数)f lｇｘ f lｇｘ
108
105
104
103
102 1
4
8
10
2 2.03342
2.02119
2.01703
2.01284
2.00860 2.03342
8.08476
16.13624
20.12840
4.01720
合计 25 — 50.40002
=
25
50.40002
=2.016
G=103.75%
查:
平均年利率=103.75%-100%=3.75%
(四)众数MO
众数是总体中出现次数最多的标志值。因其符合 “集中趋势”这一平均数特征，故可作为平均数使用。
当次数分布比较集中即众数的次数占总次数的比重较大，则众数有较高的代表性；在呈对称分布时，众数有充分的代表性。
【例】1、2、3、3、3、4、5， MO=3=ｘ。
众数的优点是不受极端标志值的影响。在说明总体一般水平上有独到的作用。
◎众数的确定方法
1.单项数列的众数
众数的确定非常容易，次数较多的组的标志值就是众数。有时会出现复众数。
2.组距数列的众数
需要先确定众数组，再在众数组内比例推算出众数的近似值。
上限公式：
下限公式：
i
L
×
+
+
=
D
D
D
2
1
1
f
f
-
M
0
i
f
f
f
f
L
×
-
+
-
+
=
+
-
-
)
(
)
(
1
1
1
【例】组距数列的众数
某村农户人均纯收入
解:由下限公式推算
人均纯收入（百元） 农户数（户）
10以下
10--20
20--30
30--40
40以上 30
60
90
70
50
合 计 300
求众数(人均纯收入平均数)
（五）中位数Ｍe
中位数是将总体各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的标志值。
【例1】5、6、7、8、9，Me=7=ｘ
【例2】1、2、3、10、15，Me=3≠ｘ＝6.2
可见，在均匀分布时，中位数有较高的代表性，可用来说明各标志值的一般水平。
中位数的大小，只取决于中点位置，也不受极端数值的影响。
1.未分组资料中位数的确定方法
排序后用(ｎ+1)／2 确定中位数位。
+
=
+
为偶数时
当
为奇数时
当
ｎ
ｘ
ｘ
ｎ
ｘ
M
ｎ
ｎ
n+1
e
1
2
2
2
2
工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
日产零件 15 17 19 20 22 22 23 24 25
【例】9名工人日产零件数
中位数的位置=（9+1）／2=５.则Ｍe＝22（件）
前８名平均日产量Ｍe=（20+22）／2=21（件）
2.单项数列中位数的确定方法
先用∑f/2确定中位数位，再从累计次数中观察中位数组，其组值就是中位数。
【例】某厂100名工人日产零件数资料：
日产零件数（件） 工人数（人） 向上累计（人）
20
21
22
23
24
25 10
20
30
20
15
5 10
30
60
80
95
100
合计 100 —
中位数位
=100/2=50(名)
从向上累计次数
观察到第50名工
人在第三组，则
该组日产零件数
22即为中位数。
3.组距数列中位数的确定方法
用∑f/2确定中位数位，从累计次数中观察中位数组，然后比例推算中位数的近似值。
上限公式：
下限公式：
式中：
上总次数
向下累计至中位数组以
下总次数
向上累计至中位数组以
中位数组的次数



+
-
S
S
f
m
m
m
1
1
Ｕ
Ｌ
fm
∑f/2
∑f/2
Ｓｍ-１
Ｓｍ+１
Ｍe
◎组距数列中位数的确定
〖例〗某村农户人均纯收入资料：
人均纯收入（百元） 农户数（户） 向上累计（户） 向下累计（户）
10以下
10--20
20--30
30--40
40以上 30
60
90
70
50 30
90
180
250
300 300
270
210
120
50
合 计 300 — —
下限
公式：
从向上累计看，第150户（300/2）在20-30组。
第二节
计算和运用平均指标的原则
一.平均指标只能在同质总体内计算
二.用组平均数补充说明总平均数
三.用变量数列补充说明总平均数
四.平均分析与典型事例相结合
五.平均指标与变异指标结合运用
任务二 变异指标
变异指标的概念及作用
变异指标的种类及计算
离中趋势
一.变异指标的概念和作用
㈠变异指标的概念
变异指标是反映社会经济现象数量差异程度的统计指标。
静态变异指标是反映总体各单位标志值差异程度的指标，故又称标志变动度。
如果说平均指标反映的是总体共性和变量分布的集中趋势，那么变异指标所反映正是总体的差异性和变量分布的离中趋势。二者结合运用，才能全面地描述总体的数量特征。
（二）变异指标的作用
1.变异指标是评价平均数代表性的依据。
变异指标的数值大小与平均数的代表性高低成反比。
2.变异指标用来反映社会经济活动过程的均衡性、稳定性。
3.变异指标可以作为选择抽样方式、确定抽样数目和计算抽样误差的重要依据。
◎变异指标的概念和作用
二.变异指标的种类及计算
极 差
平均差
方差
标准差
变异系数
（一）极差（全距）Ｒ
极差是总体各单位标志值中两个极端数值之差。也称变异全距，简称全距。公式：
未分组数据或单项数列
最小值
最大值

-
-
=
)
(
min
max
X
X
R
Ｒ＝最大组上限-最小组下限　　　组距数列
极差是测定标志变动度的最简单的方法，计 算简便，容易理解，常用来说明变量的变动 范围，在工业产品质量控制方面有应用。
极差最易受极端标志值的影响，不能充分反映各单位之间的实际差异程度。
（二）平均差Ａ.D
平均差是总体各单位标志值与其算术平均数离差绝对值的算数平均数。依资料不同，有:
1.简单平均差—适用于未分组资料。
取绝对值的原因是
可见，平均差所反映的离中趋势，实质上是以算术平均数为中心，各标志值到平均数之间的平均距离。
2.加权平均差—适用于变量数列。
○简单平均差算例
甲、乙两个学习小组某门课考分如下表：
甲 组 乙 组
考分 离差 离差绝对值 考分 离差 离差绝对值
83
84
85
86
87 -2
-1
0
1
2 2
1
0
1
2 80
82
85
88
90 -5
-3
0
3
5 5
3
0
3
5
合计 — 6 合计 — 16
x
x
x
x
-
x
x
-
|
|
x
x
-
|
|
x
x
-
◎加权平均差算例
某系学生话费支出分组资料：
话费(元) 人数 组中值
30以下
30~40
40~50
50以上 10
70
90
30 25
35
45
55 250
2450
4050
1650 -17
-7
+3
+13 17
7
3
13 170
490
270
390
合计 200 — 8400 — — 1320
xf
x
f
x
x
-
|
|
x
x
-
f
|
|
x
x
-
平均话费支出：

（元）
42
200
8400
=
=
=

f
xf
x
话费支出平均差：
※平均差的优缺点
平均差意义明确，且根据所有标志值计算，受极端值影响较小，能够综合反映总体各单位标志值的差异程度。
但平均差采用取绝对值的方法来消除离差的+ - 号，不适于代数运算，因此它在实际应用上受到一定限制。
能使离差之和不等于零的方法，尚有对离差进行平方——计算方差和标准差。
（三）方差
方差是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数。
1.简单方差：
方差采取离差平方的方法来消除离差的正负号，使离差之和不等于零，在数学处理上优于平均差。但对离差取平方，有人为夸大离差之嫌，且多数计量单位的平方没有实际意义，故少用。我们可以将其作为理解和计算标准差的基础。
2
s
2.加权方差：
（四）标准差
标准差是各单位标志值与其算数平均数离差平方的算术平均数的平方根。故又称均方根差。
它实际上是通过开平方对方差进行的还原，作用与平均差相同，所不同的是数学处理方法。
1.简单标准差——适用于未分组资料，公式:
s
2.加权标准差——适用于变量数列，公式：
简单标准差算例
甲、乙两个学习小组某门课考分如下表：
甲 组 乙 组
考分 离差 离差平方 考分 离差 离差平方
83
84
85
86
87 -2
-1
0
1
2 ４
１
0
1
４ 80
82
85
88
90 -5
-3
0
3
5 25
9
0
9
25
合计 — 10 合计 — 68
x
x
-
x
x
x
x
-
2
)
(
x
x
-
2
)
(
x
x
-
加权标准差算例
某系学生月话费支出分组资料：
话费(元) 人数 组中值
30以下
30~40
40~50
50以上 10
70
90
30 25
35
45
55 250
2450
4050
1650 -17
-7
+3
+13 289
49
9
169 2890
3430
810
5070
合计 200 — 8400 — — 12200
f
x
xf
x
x
-
x
x
2
)
(
-
f
x
x
2
)
(
-
解:平均话费支出：

（元）
42
200
8400
=
=
=

f
xf
x
话费支出标准差：
是非标志指只有是、非或有、无两种标志表现的品质标志。如性别、城乡等。是非标志的标志表现非此即彼，故又称交替标志。
根据研究需要，对是非标志进行量化：用1表示是或有，用0表示非或无。总体单位数用N表示，表现为是或有的单位数用N1 表示，表现为非或无的单位数用N0 表示。则有：
N=N1+N0，N0=N-N1。
设成数P=N1/N和Q=N0/N，有P+Q=1或Q=1-Ｐ。
3.是非标志的平均数和标准差
是非标志的平均数和标准差的计算
是非标志的平均数和标准差采用加权平均法计算。
产品质量状况 量化x 产量
f
xf
合 格
不合格 1
0 N1
N0 N1
0
合 计 - N N1

P
N
N1
=
=
=

f
xf
x
（五）变异系数Ｖ
前述的极差属于绝对数，平均差和标准差属于平均数。它们有着与原数列相同的计量单位，其数值大小不仅取决于变量的离散程度，还受数列水平（即平均数）高低的影响。
为了比较不同性质或不同水平数列的标志变异程度，就需要计算变异系数。
变异系数（离散系数）是将极差、平均差或标准差与相应的平均数对比，以反映总体各单位标志值相对差异程度的变异指标。具体有极差系数、平均差系数和标准差系数。
变异系数

展开更多......

收起↑