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2024年湖南省长沙市中考数学复习与检测试卷（解析卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1 ．2024的相反数数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的相反数数是
故选：C
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意；
故选：D．
4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2 cm ，3 cm，5 cm B．3 cm，3 cm，6 cm
C．5 cm，8 cm，2 cm D．2 cm，5 cm，6 cm
【答案】D
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
【详解】解：A、2+3=5，故本选项错误．
B、3+3=6，故本选项错误．
C、2+5＜8，故本选项错误．
D、2+5＞6，故本选项正确．
故选：D．
5 . 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
6.如图，已知直线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴的度数为；
故选C．
7. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，
则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
时间/小时 7 8 9 10
人数 7 9 11 3
A．9，8 B．11，8 C．10，9 D．11，8.5
【答案】A
【分析】根据众数与中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：由图表可知，众数为9，
第10、11位对应的时间为8、8，
∴中位数为，
故选A．
8. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜3，
故选D．
9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若，，则__________
【答案】5
【分析】把化为，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
如图，在正方形中，，E为的中点，连接，
将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．

【答案】
【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
由旋转可得：，，
∴；
故答案为：．
14.计算的结果等于__________
【答案】
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故答案为：
如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），
如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）

【答案】
【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．
【详解】解：帽子底面圆周长为：，
则扇形弧长为， 扇形面积
故答案为：
如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
若．，则 ．

【答案】5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】1
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，
再把代入化简后的分式中进行计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，
成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，
飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，
仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【答案】（1）
（2）飞船从处到处的平均速度约为
【解析】
【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；
在中，根据直角三角形的性质得到，
在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
【小问2详解】
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，
要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，
学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行同卷调查，根据统计的数据，
绘制了如下图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了__________名学生；
(2)在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为__________．
(3)请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
(4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．
【答案】(1)200；
(2)；
(3)见解析；
(4)该校参加朗诵的学生有800名．
【分析】（1）根据选择合唱的人数除以所占的百分比，可以计算出本次调查共抽取的学生数；
（2）用乘以“书法”部分的百分比即可得解；
（3）根据（1）的结果及图中的数据可以计算出朗诵的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）用2000乘以朗诵人数所占百分比即可得解．
【详解】（1）解∶该校此次调查共抽取的学生数为∶名，
故答案为∶；
（2）解：“书法”部分所对应的圆心角的度数为∶，
故答案为：；
（3）解：朗诵的人数为∶名，
补全条形统计如下：

（4）解：名，
答∶该校参加朗诵的学生有名．
21. 在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，
结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
22. 为了美化周围环境，社区购买了A、B两种不同品种的花苗，
已知A种花苗的单价比B种花苗的单价多1.5元，
且用8000元购买A种花苗的数量与用5000元购买B种花苗的数量相同．
(1)求A、B两种花苗的单价各是多少元？
(2)根据实际情况需要，社区还需要增加购买一些花苗，
增加购买B种花苗数量是增加购买A种花苗数量的2倍，
若本次增加购买的总费用不超过7200元，求增加购买A种花苗的数量最多是多少株？
【答案】(1)A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元
(2)增加购买A种花苗的数量最多是800株
【分析】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，
根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，根据题意列出不等式，然后根据m为正整数求解即可．
【详解】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，
根据题意，得：，
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，
根据题意，得：，
解不等式，得：．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为800，
答：增加购买A种花苗的数量最多是800株．
23. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，
过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，
再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，
对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB＝2×3＝6，
∴AC＝
24. 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
(3)如图3，当时，求的值
【答案】(1)；
(2)1；
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，
得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解；
（2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，
设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，
代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，
再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，
然后由FB＝BG－FG求解即可；
（3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，
先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，
得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，
再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，
解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC
设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
∴（3－x）：3＝x：4，
解得 x＝，
即这个正方形的边长为；
（2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2，
∵tan∠DCF＝，
∴DG：CG＝1：2
设DG＝y，则CG＝2y，
∴BG＝4－2y，
∵DGAC，
∴DG：AC＝BG：BC，
∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，
∴tan∠GDF＝，
∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，
∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，
∴＝，
∵=，
∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，
∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．
25. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，
问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
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2024年湖南省长沙市中考数学复习与检测试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1 ．2024的相反数数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2 cm ，3 cm，5 cm B．3 cm，3 cm，6 cm
C．5 cm，8 cm，2 cm D．2 cm，5 cm，6 cm
5 . 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，已知直线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，
则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
时间/小时 7 8 9 10
人数 7 9 11 3
A．9，8 B．11，8 C．10，9 D．11，8.5
8. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若，，则__________
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
如图，在正方形中，，E为的中点，连接，
将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．

计算的结果等于__________
如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），
如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）

如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
若．，则 ．

解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，
成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，
飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，
仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列才艺展示活动，
要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主选择其中一项参加活动为此，
学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行同卷调查，根据统计的数据，
绘制了如下图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了__________名学生；
(2)在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为__________．
(3)请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
(4)若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校参加朗诵的学生人数．
21. 在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
22. 为了美化周围环境，社区购买了A、B两种不同品种的花苗，
已知A种花苗的单价比B种花苗的单价多1.5元，
且用8000元购买A种花苗的数量与用5000元购买B种花苗的数量相同．
(1)求A、B两种花苗的单价各是多少元？
(2)根据实际情况需要，社区还需要增加购买一些花苗，
增加购买B种花苗数量是增加购买A种花苗数量的2倍，
若本次增加购买的总费用不超过7200元，求增加购买A种花苗的数量最多是多少株？
23. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，
过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
24. 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
(3)如图3，当时，求的值
25. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，
问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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